Марковские процессы (м.п.)

М.п. обладают отсутствием последствия. Т.е. если рассматривать текущее состояние процесса - как настоящее, совокупность возможных состояний - как прошлое, совокупность возможных состояний - как будущее, то для м.п. при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого, а определяется лишь настоящим. Т. е. вероятностное распределение состояния процесса в момент времени зависит лишь от того, в каком состоянии процесс находился в ближайшем прошлом (при ) но не зависит от его состояний, предшествующих .

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь и при изучении таких процессов можно применять марковские модели. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях.

 

Марковские процессы являются моделями очень многих процессов в естественных науках

· Биология: процессы рождения и гибели - популяции, мутации, эпидемии.

· Физика: радиоактивные распады, теория счетчиков элементарных частиц, процессы диффузии.

· Химия: теория следов в ядерных фотоэмульсиях, вероятностные модели химической кинетики.

· Астрономия: теория флуктуационной яркости млечного пути.

· Теория массового обслуживания: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем, обработка информации серверами.

 

ЕОнегин

Пусть в настоящий момент t₀ система находится в определенном состоянии S ₀. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t ₀ (предысторию процесса). Можем ли мы предсказать будущее, т.е. что будет при t > t ₀? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S ₁ или останется в состоянии S ₀ и т.д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t ₀ количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x ₀, y ₀. Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t ₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t ₀ самолеты.

 

 

Дискретные цепи Маркова –

 

м.п. со счетными состояниями и моментами времени. Переходы из состояния в состояние возможны только в целочисленные моменты времени

Число называется вероятностью перехода системы из состояния в состояние за один шаг в момент времени . Если переходная вероятность не зависит от , то цепь Маркова называется однородной.

 

Ниже мы будем рассматривать однородные цепи.

 

Матрица P, элементами которой являются вероятности перехода , называется переходной матрицей: Она является стохастической: ; . -условные вероятности.

 

Садовник в результате химического анализа почвы оценивает ее состояние одним из трех чисел — хорошее (1), удовлетворительное (2) или плохое (3). В результате наблюдений на протяжении многих лет садовник заметил, что продуктивность почвы в текущем году зависит только от ее состояния в предыдущем году. Поэтому вероятности перехода почвы из одного состояния в другое можно представить следующей цепью Маркова с матрицей P1:

0.20	0.50	0.30
0.00	0.50	0.50
0.00	0.00	1.00

 

 

. Однако в результате агротехнических мероприятий садовник может изменить

переходные вероятности в матрице P1. Тогда матрица P1 заменится на матрицу P2:

 

0.30	0.60	0.10
0.10	0.60	0.30
0.05	0.40	0.55

 

 

Матрица

является с.

 

Матрица перехода за шагов .

Рассмотрим, как изменяются состояния процесса с течением времени. Будем рассматривать процесс в последовательные моменты времени, начиная с момента 0. Зададим начальное распределение вероятностей , где m - число состояний процесса, - вероятность нахождения процесса в состоянии i в начальный момент времени. Вероятность называется безусловной вероятностью состояния i в момент времени . . Компоненты вектора показывают, какие из возможных состояний цепи в момент времени n являются наиболее вероятными.

Знание последовательности при позволяет составить представление о поведении системы во времени.

 

 

Если задано начальное распределение , то

Цепь Маркова полностью определена, если заданы начальное распределение и матрица перехода за 1 шаг

Уравнение Колмогорова-Чепмена (равенство Маркова)

.

 

 

 

 

Классификация состояний цепи. По Колмогорову

1. Состояние достижимо из состояния , если существует такое , что .

2. Состояния и называются сообщающимися, если они достижимы друг из друга

3. Состояние называется несущественным, если существует такое состояние , что достижимо из состояния , а недостижимо из состояния . Состояния называется существенным в противном случае.

 

 

 

 

Множество всех существенных состояний разбивается на непересекающиеся классы сообщающихся состояний так, что любые два состояния из одного класса сообщаются между собой, а для любых двух состояний и из разных классов . Цепь Маркова, все состояния которой составляют один класс сообщающихся состояний, называется неразложимой.

 

Пусть

-вероятность того, что система впервые вернется в за шагов вероятность того, что система когда-нибудь вернется

 

 

4.Состояние называется возвратным, если вероятность =1, и невозвратным при .

5.Состояние называется нулевым, если и ненулевым в противном случае.

6.Состояние называется периодическим, если наибольший общий делитель

 

Основные теоремы

Т1. Для того, чтобы состояние было возвратным, необходимо и достаточно, чтобы , если невозвратно, то .

 

Теорема солидарности.

Если цепь Маркова неразложима, то все ее состояния принадлежат к одному и тому же типу: если хотя бы одно из них возвратное, то все возвратные; если хотя бы одно из них нулевое, то все нулевые; если хотя бы одно периодичное с периодом , то все периодичные с периодом .

 

Неразложимая цепь Маркова называется периодической, если все состояния периодичны с периодом .

 

Для однородных конечных цепей Маркова элементы матрицы определяются по формуле Перрона:

 

,

 

где – число различных характеристических чисел (корней уравнения , где – единичная матрица), – их кратность , а – алгебраическое дополнение для элемента в определителе

 

,

 

 

Эргодические цепи Маркова.

Будем рассматривать только однородные цепи Маркова с конечным или счетным числом состояний. Для таких цепей при определенных условиях выполняется следующее свойство:

при , причем предельное распределение вероятностей состояний ЦМ не зависит от начального распределения, а определяется лишь переходной матрицей Р. В этом случае говорят, что ЦМ обладает эргодическим свойством, которое фактически означает, что вероятности состояний по мере увеличения п практически перестают изменяться, а система, описываемая соответствующей цепью, переходит в стационарный режим функционирования.

 

 

Однородная цепь Маркова, для которой вероятности не зависят от , называется стационарной. Распределение вероятностей называется стационарным, если

всегда стаціонарно, а не всегда предельноы

Пр

В общем случае вероятности , если они существуют, находятся в результате предельного перехода

 

, ,

 

и называются финальными вероятностями. Если начальные вероятности совпадают с соответствующими финальными вероятностями , то цепь Маркова будет стационарной

 

Теорема (эргодическая). Пусть однородная ЦМ имеет переходную матрицу Р и обладает следующими свойствами:

1) цепь неразложима и непериодична;

2) найдется такое состояние , что время возвращения в него, т. е. дискретная случайная величина с распределением имеет конечное математическое ожидание

Выполнение условий 1, 2 необходимо и достаточно для того, чтобы для любых i,j = 0,1,... существовали не зависящие от пределы при .

Числа являются единственным решением системы уравнений

(**)

(**) следует из. Для стационарного режима при вероятность совпадает с :

Нахождение

1) составить систему уравнений

2) заменить в полученной системе одно из уравнений на условие нормировки

3) решить систему