Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћатематическа€ логика




ј. ≈е значение и обща€ характеристика. ћатематическа€ логика (называема€ также Ђлогистикойї или Ђсимволической логикойї) считаетс€ сегодн€ в большинстве случаев частной наукой и ее нередко преподают на естественных факультетах. Ћишь часть философов признает ее законным орудием философского анализа, большинство же от нее открещиваетс€. “ем не менее дл€ современной философии она имеет огромное значение, и не только потому, что р€д философов ее примен€ет (так, больша€ часть английских работ по философии без знани€ этой логики непон€тна), но и потому, что она оказала решающее воздействие на формирование различных философских школ и систем (неопозитивизм, ”айтхед, –ассел и др.) и дала возможность по-новому поставить некоторые философские проблемы. ѕоэтому, как бы к ней ни относитьс€, но некоторое знание этой дисциплины представл€етс€ необходимым дл€ понимани€ определенных вещей в современной философии. —оответственно, мы и представим здесь некоторые основные пон€ти€ и методы, а также некоторые положени€ и проблемы математической логики.

Ќачнем с вы€влени€ недоразумений, чтобы прежде всего установить, как нельз€ определ€ть математическую логику. ≈е нельз€ приравнивать к неопозитивизму. Ќа самом деле ее основател€ми были отнюдь не позитивисты, а насто€щие платоники (‘реге, ”айтхед, –ассел периода ЂPrincipia mathematicaї, Ћукасевич, ‘ренкель, Ўольц и р€д других), и сегодн€ приверженцы математической логики имеютс€ почти во всех школах. ƒалее, неверно определ€ть ее как Ђсимволическуюї. ѕравда, она нуждаетс€ в искусственных символах еще в большей мере, чем классическа€ логика, но это поверхностное €вление, имеющее мало отношени€ к существу математической логики. Ќаконец, неправомерно рассматривать математическую логику как попытку математизации философии, т.е. ее сведени€ к математике. ‘актически ”айтхедом и –асселом была поставлена пр€мо противоположна€ задача - сведение математикик логике.   недоразумени€м здесь часто ведет то обсто€тельство, что математическа€ логика нуждаетс€ в символах, похожих на символы математики. “ак например, математические логики пишут так же, как и математики, Ђх=уї, но символ Ђ=ї означает у них не количественное равенство, а тождество, то есть нематематическое отношение.

ƒействительно, существенные признаки математической логики таковы: исключение психологических соображений, применение логики к самой логике и формализаци€. »так, во-первых, - математическа€ логика исключает из рассмотрени€ все психологические и гносеологические соображени€. ќна занимаетс€ только анализом правильности чисто формальных логических законов, таких, как закон противоречи€, гипотетический силлогизм и др. ¬о-вторых, в математической логике логика примен€етс€ к самой логике. Ёто значит, что делаютс€ попытки вывести аксиоматически и совершенно точно логические законы из как можно меньшего числа принципов (аксиом и правил выведени€). ѕоэтому интерес математических логиков направлен больше на св€зь логических законов между собой и почти у всех учшх заметна тенденци€ к уменьшению числа принципов, даже за счет их простоты. ¬-третьих, математические логики нуждаютс€ в формализации. ѕод этим понимаетс€ следующий метод: сначала намеренно выбираютс€ некоторые символы, которые сами по себе имеют определенное значение; вслед за тем производитс€ полное отвлечение от этого значени€, и правила выведени€ стро€тс€ таким образом, чтобы они касались исключительно внешней, графической формы символов, но не их значени€. ¬ результате вс€ дедукци€ осуществл€етс€ Ђформализованнымї способом. »наче говор€, есть строгий закон математической логики, согласно которому в ходе доказательства нельз€ опиратьс€ ни на что другое, кроме формы символов и касающихс€ этой формы Ђформальныхї правил вывода.  огда же получена готова€ система, она подвергаетс€ содержательной интерпретации, причем сама система всегда отличаетс€ от своих интерпретаций. —огласно математическим логикам, преимущество такого подхода в том, что часто можно одной системе дать несколько интерпретаций и таким образом путем однократной работы обосновать несколько учений. — другой стороны, надо считатьс€ с тем фактом, что, име€ дело с чрезвычайно абстрактными и сложными положени€ми математической логики, практически невозможно строить правильные рассуждени€ без формализации.

Ѕ. ќсновные пон€ти€. ¬ математической логике различаютс€ посто€нные и переменные. ѕеременные представл€ют собой буквы, вместо которых можно подставить другие знаки - посто€нные или сложносоставленные. ≈сли в высказывании (предложении) посто€нна€ замен€етс€ переменной, возникает функци€ - схема дл€ высказывани€, котора€ не истинна и не ложна (например, ЂX есть человекї - это функци€, не €вл€юща€с€ ни истинной, ни ложной, а Ђ—ократ есть человекї - истинное высказывание). ‘ункции могут быть снова превращены в высказывани€, если перед ними поставить квантор. ≈сть два вида кванторов: кванторы общности типа Ђдл€ всех X верно, что...ї [пишетс€: Ђ(X)ї] и кванторы существовани€ Ц Ђимеетс€ по крайней мере один X, дл€ которого верно, что...ї [пишетс€: Ђ(Ex)ї]. —имволы обычно подраздел€ют на так называемые основные категории и функторные категории. ќсновные категории - это имена (существительные) и высказывани€; функторы - это символы, определ€ющие другие символы, то есть это предикаты в самом широком смысле слова (например, Ђспитї, Ђиї, Ђилиї, Ђлюбитї и т.д.). “о, что определ€етс€ функтором, называетс€ его Ђаргументомї (так, Ђ‘рицї есть аргумент функтора Ђспитї в высказывании Ђ‘риц спитї). ‘ункторы дел€тс€ на: 1) образующие высказывани€, образующие имена и образующие функторы (Ђспитї - образующий высказывание функтор, так как Ђ‘риц спитї - высказывание; а Ђхорошийї - функтор, образующий им€, так как Ђхороший ребенокї - не высказывание, а им€); 2) функторы, определ€ющие имена, определ€ющие высказывани€ и определ€ющие функторы (Ђневерно, что...ї - функтор, определ€ющий высказывание, например: Ђневерно, что идет дождьї; а Ђспитї - функтор, определ€ющий им€, например, в высказывании Ђ‘риц спитї); 3) наконец, функторы подраздел€ютс€ по числу аргументов, которые они определ€ют, т.е. подраздел€ютс€ на одноместные, двухместные, трехместные и вообще л-местные функторы. ¬ то врем€ как в традиционной логике любые предикаты могут определ€ть только один субъект, в логистике один предикат (функтор) может определ€ть несколько субъектов (аргументов). Ќапример, предложение Ђ‘риц пьет пивої интерпретируетс€ в том смысле, что Ђпьетї - это двухместный функтор, а Ђ‘рицї и Ђпивої - его аргументы. —лово Ђдаетї считаетс€ трехместным функтором: Ђ‘риц дает трубку »оганнуї.

—огласно этим принципам математическа€ логика раздел€етс€ на три основных части: логика высказываний, или пропозициональна€ логика (называема€ также Ђтеорией дедукцииї), в которой все функторы €вл€ютс€ определ€ющими высказывание, логика предикатов и классов, имеюща€ дело с функторами, определ€ющими им€, и логика отношений, имеюща€ своим предметом специфические свойства многоместных функторов.

¬. Ћогика высказываний (пропозициональна€ логика). Ћогика высказываний имеет дело исключительно с высказывани€ми, образованными посредством так называемых функторов истинности. Ёти функторы €вл€ютс€ функторами, образующими высказывани€, определ€ющими высказывани€, большей частью одно - и двухместными функторами, особенность которых в том, что значение истинности (коротко называемое просто Ђзначениеї, т.е. истина или ложь) образованного с их помощью высказывани€ зависит исключительно от значени€ истинности его аргументов, а не от его смысла. “ак, например, отрицание есть функтор истинности, ибо значение отрицаемого истинного высказывани€ есть ложь, а значение отрицаемого ложного высказывани€ есть истина, о каком бы высказывании ни шла речь и что бы оно ни означало. Ќаиболее употребительные функторы таковы: отрицание (Ђневерно, чтої, изображаемое как Ђ~ї или как черта над символом Ђјї), логическа€ сумма (Ђлибо одно из двух, либо обаї, изображаема€ как ЂVї), логическое произведение (Ђиї, изображаемое как Ђ.ї или Ђ&ї), импликаци€ (Ђесли..., тої, в смысле Ђлибо посылка ложна, либо следствие истинної24, изображаемое как Ђ⊃ї или Ђ→ї), равенство (Ђесли и только еслиї, изображаемое как Ђ≡ї) и, наконец, функтор штриха Ўеффера (Ђни тот, ни другойї, изображаемый как Ђ|ї). ѕоследний функтор особенно важен, поскольку им одним можно определить все функторы истинности.

— помощью этих функторов св€зываютс€ переменные высказывани€ (т.е. переменные, вместо которых могут быть подставлены только высказывани€). ѕри этом используютс€ скобки или, вместо них, точки. “ак например, Ђpvqqvpї следует читать: Ђесли р или q, то q или рї. я.Ћукасевич придумал способ записи, при котором можно обойтись без скобок и точек, записыва€ все функторы перед соответствующими аргументами. —уществуют по меньшей мере два метода, дающие возможность простым способом проверить, €вл€етс€ ли некоторое высказывание логическим законом или нет, а именно, матричный метод и метод нормальной формы.  роме того, все предложени€ исчислени€ высказываний аксиоматически вывод€тс€ из немногих аксиом и даже из одной аксиомы Ќико. ѕропозициональна€ логика образует самую разработанную часть математической логики. —амими математическими логиками она рассматриваетс€ как сама€ проста€ и основна€ часть логики, служаща€ так сказать остовом дл€ всего остального логического анализа и дедукции.

√. Ћогика предикатов и логика классов. ¬тора€ часть математической логики распадаетс€ на два раздела в соответствии с интенсиональной и экстенсиональной интерпретацией формул. ѕри первой интерпретации, €вл€ющейс€ основной, высказывание разлагаетс€ на функтор, образующий высказывание, определ€ющий им€ (обычно "φ" "ψ" "Χ" и т.д.), и им€ (обычно Ђхї, Ђуї, Ђzї как переменные, Ђаї, Ђbї, Ђсї как посто€нные), так что основна€ формула выгл€дит как Ђφ xї. “акие формулы, когда они содержат переменные, называютс€ Ђматрицамиї. ќни св€зываютс€ посредством функторов, определ€ющих высказывание, а при помощи кванторов преобразуютс€ в высказывани€. ¬ частности, общее суждение Ђвсе "φ суть ψ" интерпретируетс€ посредством так называемой Ђформальной импликацииї "(x)φ x x ⊃x ψ:".а частное суждение Ђимеетс€ некоторое φ, которое есть ψї - посредством формулы Ђ(Ex) . φx . ψxї. Ёта интерпретаци€ привела к отбрасыванию некоторых положений аристотелевской силлогистики. Ќо если сначала подумали, что эти положени€ должны считатьс€ ложными, то позже вы€снилось, что речь идет лишь о другой интерпретации функторов и что аристотелевска€ логика, если ее понимать так, как понимал сам јристотель, правильна.

 роме одноместных математическа€ логика занимаетс€ и двух - и многоместными предикатами. —реди них особенно важную роль играет тождество. ¬ соответствии с лейбницевским principium indiscernabilium (принципом тождества неразличимых - ред.) тождество определ€етс€ так, что л; и у тождественны тогда и только тогда, когда все свойства х €вл€ютс€ также свойствами у и наоборот. »з этого определени€ можно вывести различные так называемые тезисы экстенсиональности, которые, однако, ведут к некоторым философским трудност€м, поскольку по отношению к этим тезисам два атрибута, по€вл€ющиес€ всегда вместе, должны быть тождественными. ѕон€тие тождества используетс€ также дл€ определени€ так называемых дескрипций (например, Ђавтор ‘аустаї вместо √Єте). “еори€ дескрипций была разработана –асселом с целью избежать прин€ти€ существовани€ (как у ћейнонга), например, четырехугольных окружностей, ибо согласно этой интерпретации предложение Ђчетырехугольна€ окружность не существуетї означает всего лишь Ђне существует предмета, который был бы одновременно окружностью и четырехугольникомї. ќ существовании можно говорить лишь в отношении признаков, или свойств (Kennzeichnungen). Ђ—уществует предмет, обладающий свойством φї, подразумевает, что есть просто некий предмет, и если ему приписываетс€ какое-то свойство, он должен существовать.

Ћогика классов образует экстенсиональное дополнение к логике предикатов.  ласс (множество, обозначаемое обычно через "α", "β", "γ" и т.д.) всегда определ€етс€ каким-нибудь предикатом; он представл€ет собой множество всех предметов, обладающих определенным свойством. Ќапример, класс людей состоит из всех предметов, обладающих качеством человечности. ¬ажнейшим пон€тием логики классов €вл€етс€ пон€тие элемента: Ђx ε αї (читаетс€: Ђх €вл€етс€ элементом аї, или Ђх принадлежит к аї). —уществует также пустой класс, не имеющий элементов. Ќа основе определени€ классов и положений логики предикатов можно образовывать различные определени€ св€зей между классами; они соответствуют св€з€м между высказывани€ми.

ƒ. Ћогика отношений. Ћогика отношений в свою очередь образует экстенсиональное дополнение к логике двух- и многоместных предикатов, точно так же, как логика классов €вл€етс€ экстенсиональным дополнением к логике одноместных предикатов. ѕоскольку уже двухместные отношени€ (единственные разработанные на сегодн€) имеют очень много особых свойств, логика отношений €вл€етс€ самым большим разделом математической логики. «десь мы можем указать лишь на некоторые основные пон€ти€. —амо отношение понимаетс€ экстенсионально, как пара предметов; оно (как и класс) определ€етс€ некоторым (двухместным) предикатом. Ќапример, отношение любви - это множество пар людей, которые люб€т друг друга. ¬ качестве символа здесь употребл€ютс€ обычно Ђх R уї.  аждое отношение имеет свое обратное (конверсию) (например, Ђбольший чемї есть обратное к Ђменьший чемї). ¬ыдел€ютс€ различные относительные дескрипции (Kennzeichnungen): индивидуальные (супруг голландской королевы), множественные (составители ЂЅританской энциклопедииї), двусторонне множественные (авторы италь€нских стихов) и вообще так называема€ предметна€ область (пишетс€ ЂD , Rї, например, Ђавторыї). ≈ще важнее пон€ти€, служащие дл€ сцеплени€ (Verkettung), так, прежде всего относительное произведение (квадрат половины, брат матери и т.д.) и св€занна€ с ним относительна€ степень (отец отца это отец во второй степени). ≈ще одна группа пон€тий образуетс€ свойствами отношений, из которых некоторые рефлексивны (т.е. у которых верно Ђх R хї ), другие симметричны (если х R у, то и у R х), третьи транзитивны (если х R у и у R z, то х R z). ¬ажнейшее из пон€тий, служащих дл€ построени€ р€дов, это пон€тие наследственного отношени€ (R или R2 или R3 и т.д.).

≈. —емиотика. — математической логикой тесно св€зана так называема€ семиотика („.ћоррис), котора€ сегодн€ широко используетс€ математическими логиками. Ёто теори€ символов и она делитс€ на три части: 1) логический синтаксис - теори€ отношений символов друг к другу; 2) логическа€ семантика - теори€ отношений между символом и тем, что он обозначает; 3) логическа€ прагматика - теори€ отношений между символами, их значени€ми и употребл€ющими их людьми. ѕоследн€€ еще только начинает разрабатыватьс€, тогда как первые две представл€ют собой, особенно благодар€ ј.“арскому и –. арнапу, хорошо разработанные дисциплины. ќсновна€ иде€ семиотики - это требование проводить четкое различие между символом и тем, что он означает. ѕоэтому, когда говор€т о каком-нибудь слове, это слово должно получить особое именование. Ќапример, когда говор€т о слове Ђкошкаї, нельз€ это делать тем же самым способом, каким мы пользуемс€, говор€ о живой кошке. —оответственно, следует четко различать €зык S и мета€зык €зыка S, каковой имеет своим предметом сам €зык S. “ак, существует, например, метаматематика (теори€ математического €зыка) и металогика (теори€ логического €зыка).

¬ы€снилось, что формализованна€ аксиоматическа€ система всегда должна содержать и металогические элементы. “ака€ система состоит вообще из следующих элементов: 1) неопредел€емые символы; 2) аксиомы, т.е. положени€, принимаемые без доказательства; 3) правила формировани€, определ€ющие, какие символы или группы символов (формулы) имеют смысл в системе; 4) правила вывода, позвол€ющие дедуцировать из аксиом новые предложени€. Ќо третьи и четвертые элементы это не логические, а металогические формулы, так как они имеют дело с символами самой логики. –азумеетс€, такие предложени€ могут быть оп€ть формализованы, но в этом случае придетс€ употребл€ть мета-металогические предложени€, так что в конечном итоге никака€ система не может быть полностью формализована во всех своих составных част€х.

Ќа основе семиотики стало возможным изобрести точные методы, с помощью которых можно доказать, что та или ина€ система свободна от противоречий, что ее аксиомы независимы друг от друга (т.е. что ни одна из них не выводитс€ из другой) и что она полна (т.е. что любое предложение, не выводимое из ее аксиом, противоречит какому-либо предложению системы). “очные методы были разработаны и дл€ аксиоматизации. ¬ажнейшим открытием здесь €вилась теорема √Єдел€. ¬ 1930 г.  .√Єдель доказал, что в системе ЂPrincipia mathematicaї и во многих других имеютс€ предложени€, неразрешимые на основании их аксиом, т.е. о которых нельз€ сказать, истинны они или ложны.

∆. Ќекоторые специальные проблемы и теории. ¬ заключении мы хотели бы указать на некоторые из многих проблем математической логики, представл€ющие особый интерес дл€ философии.

1) Ћогика и математика. ”айтхед и –ассел попытались вывести всю математику из чистой логики, вследствие чего их и их сторонников стали называть Ђлогицистамиї. ƒруга€ школа, интуиционистска€, возглавл€ема€ Ћ.Ё.я.Ѕрауэром, отрицает возможность такой редукции. ќна утверждает, что логика есть лишь метод, развившийс€ вместе с математикой, и что закон исключенного третьего не всегда действует в математике. “реть€, формалистическа€ школа, главным представителем которой €вл€етс€ ƒ.√ильберт (1862-1943), толкует основные термины математики как неопределенные символы и стремитс€ лишь к созданию безупречных, непротиворечивых систем.

2) “еори€ типов. ¬ 1896 г. Ѕурали-‘орти обнаружил противоречие в теории множеств  антора. ¬ июне 1901 г. –асселу удалось доказать, что дело здесь не в математике, а в логике, и что в частности логическа€ система √.‘реге содержит противоречи€. —егодн€ известны многие такие противоречи€, которые вывод€тс€ из посылок, кажущихс€ очевидными. »х называют Ђантиноми€миї или Ђпарадоксамиї. —ама€ знаменита€ из них - расселовска€ антиноми€ классов: включают ли все классы самих себ€ в качестве элемента или не включают, как в том и другом случае обстоит дело с классом всех не включающих самих себ€ классов? ќказываетс€, любой ответ на этот вопрос ведет к противоречию. „тобы разрешить эту антиномию, –ассел и ”айтхед построили свою теорию типов (theory of types), согласно которой объекты распредел€ютс€ по различным типам (уровн€м). “ак, например (в области классов), единичный объект относитс€ к уровню 1, класс единичных объектов - к уровню 2, класс классов данного вида - к уровню 3 и вообще, если Ђхї есть элемент Ђаї, тогда Ђаї должно относитьс€ к более высокому уровню, чем Ђхї. ѕозже вы€снилось, что некоторые антиномии (например, древн€€ антиноми€ ЂЋжецї) €вл€ютс€ не логическими, а семантическими антиноми€ми, возникшими из смешени€ €зыка и мета€зыка. “еори€ типов была в некоторых отношени€х упрощена, но в конце концов она себ€ оправдала. Ќесмотр€ на многие попытки до сих пор не удалось построить без нее непротиворечивую систему математической логики.

3) ћногозначные логики. ¬ 1920 г. я.Ћукасевич, а годом позже и независимо от него ≈.ѕост обнаружили, что нар€ду с Ђклассическойї математической логикой, признающей лишь два значени€ (истинность и ложность, символически 1 и 0), возможны и другие логики, в которых допускаютс€ более чем два значени€, и которые непротиворечивы и полны. ¬ этих логиках, однако, отсутствуют некоторые важные положени€ классической логики, например, всегда отсутствует закон исключенного третьего. “акие системы были построены строго аксиоматически, чем было доказано, что они как формальные системы безупречны. Ќо допускают ли эти системы какую-либо интерпретацию, котора€ превратила бы их в логические системы, остаетс€ до сих пор спорным вопросом. ¬ то врем€ как некоторые математические логики надеютс€, что с их помощью можно будет решить различные проблемы веро€тностной и модальной логики, другие, напротив, считают их вообще не логическими системами.

ѕоследние достижени€ математической логики, такие, как комбинаторна€ логика или так называемые естественные логики, нам придетс€ оставить без рассмотрени€. Ћогика в целом разрабатываетс€ весьма усердно, так что все врем€ по€вл€ютс€ новые идеи и системы.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2181 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

545 - | 486 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.017 с.