Математическая логика

А. Ее значение и общая характеристика. Математическая логика (называемая также «логистикой» или «символической логикой») считается сегодня в большинстве случаев частной наукой и ее нередко преподают на естественных факультетах. Лишь часть философов признает ее законным орудием философского анализа, большинство же от нее открещивается. Тем не менее для современной философии она имеет огромное значение, и не только потому, что ряд философов ее применяет (так, большая часть английских работ по философии без знания этой логики непонятна), но и потому, что она оказала решающее воздействие на формирование различных философских школ и систем (неопозитивизм, Уайтхед, Рассел и др.) и дала возможность по-новому поставить некоторые философские проблемы. Поэтому, как бы к ней ни относиться, но некоторое знание этой дисциплины представляется необходимым для понимания определенных вещей в современной философии. Соответственно, мы и представим здесь некоторые основные понятия и методы, а также некоторые положения и проблемы математической логики.

Начнем с выявления недоразумений, чтобы прежде всего установить, как нельзя определять математическую логику. Ее нельзя приравнивать к неопозитивизму. На самом деле ее основателями были отнюдь не позитивисты, а настоящие платоники (Фреге, Уайтхед, Рассел периода «Principia mathematica», Лукасевич, Френкель, Шольц и ряд других), и сегодня приверженцы математической логики имеются почти во всех школах. Далее, неверно определять ее как «символическую». Правда, она нуждается в искусственных символах еще в большей мере, чем классическая логика, но это поверхностное явление, имеющее мало отношения к существу математической логики. Наконец, неправомерно рассматривать математическую логику как попытку математизации философии, т.е. ее сведения к математике. Фактически Уайтхедом и Расселом была поставлена прямо противоположная задача - сведение математикик логике. К недоразумениям здесь часто ведет то обстоятельство, что математическая логика нуждается в символах, похожих на символы математики. Так например, математические логики пишут так же, как и математики, «х=у», но символ «=» означает у них не количественное равенство, а тождество, то есть нематематическое отношение.

Действительно, существенные признаки математической логики таковы: исключение психологических соображений, применение логики к самой логике и формализация. Итак, во-первых, - математическая логика исключает из рассмотрения все психологические и гносеологические соображения. Она занимается только анализом правильности чисто формальных логических законов, таких, как закон противоречия, гипотетический силлогизм и др. Во-вторых, в математической логике логика применяется к самой логике. Это значит, что делаются попытки вывести аксиоматически и совершенно точно логические законы из как можно меньшего числа принципов (аксиом и правил выведения). Поэтому интерес математических логиков направлен больше на связь логических законов между собой и почти у всех учшх заметна тенденция к уменьшению числа принципов, даже за счет их простоты. В-третьих, математические логики нуждаются в формализации. Под этим понимается следующий метод: сначала намеренно выбираются некоторые символы, которые сами по себе имеют определенное значение; вслед за тем производится полное отвлечение от этого значения, и правила выведения строятся таким образом, чтобы они касались исключительно внешней, графической формы символов, но не их значения. В результате вся дедукция осуществляется «формализованным» способом. Иначе говоря, есть строгий закон математической логики, согласно которому в ходе доказательства нельзя опираться ни на что другое, кроме формы символов и касающихся этой формы «формальных» правил вывода. Когда же получена готовая система, она подвергается содержательной интерпретации, причем сама система всегда отличается от своих интерпретаций. Согласно математическим логикам, преимущество такого подхода в том, что часто можно одной системе дать несколько интерпретаций и таким образом путем однократной работы обосновать несколько учений. С другой стороны, надо считаться с тем фактом, что, имея дело с чрезвычайно абстрактными и сложными положениями математической логики, практически невозможно строить правильные рассуждения без формализации.

Б. Основные понятия. В математической логике различаются постоянные и переменные. Переменные представляют собой буквы, вместо которых можно подставить другие знаки - постоянные или сложносоставленные. Если в высказывании (предложении) постоянная заменяется переменной, возникает функция - схема для высказывания, которая не истинна и не ложна (например, «X есть человек» - это функция, не являющаяся ни истинной, ни ложной, а «Сократ есть человек» - истинное высказывание). Функции могут быть снова превращены в высказывания, если перед ними поставить квантор. Есть два вида кванторов: кванторы общности типа «для всех X верно, что...» [пишется: «(X)»] и кванторы существования – «имеется по крайней мере один X, для которого верно, что...» [пишется: «(Ex)»]. Символы обычно подразделяют на так называемые основные категории и функторные категории. Основные категории - это имена (существительные) и высказывания; функторы - это символы, определяющие другие символы, то есть это предикаты в самом широком смысле слова (например, «спит», «и», «или», «любит» и т.д.). То, что определяется функтором, называется его «аргументом» (так, «Фриц» есть аргумент функтора «спит» в высказывании «Фриц спит»). Функторы делятся на: 1) образующие высказывания, образующие имена и образующие функторы («спит» - образующий высказывание функтор, так как «Фриц спит» - высказывание; а «хороший» - функтор, образующий имя, так как «хороший ребенок» - не высказывание, а имя); 2) функторы, определяющие имена, определяющие высказывания и определяющие функторы («неверно, что...» - функтор, определяющий высказывание, например: «неверно, что идет дождь»; а «спит» - функтор, определяющий имя, например, в высказывании «Фриц спит»); 3) наконец, функторы подразделяются по числу аргументов, которые они определяют, т.е. подразделяются на одноместные, двухместные, трехместные и вообще л-местные функторы. В то время как в традиционной логике любые предикаты могут определять только один субъект, в логистике один предикат (функтор) может определять несколько субъектов (аргументов). Например, предложение «Фриц пьет пиво» интерпретируется в том смысле, что «пьет» - это двухместный функтор, а «Фриц» и «пиво» - его аргументы. Слово «дает» считается трехместным функтором: «Фриц дает трубку Иоганну».

Согласно этим принципам математическая логика разделяется на три основных части: логика высказываний, или пропозициональная логика (называемая также «теорией дедукции»), в которой все функторы являются определяющими высказывание, логика предикатов и классов, имеющая дело с функторами, определяющими имя, и логика отношений, имеющая своим предметом специфические свойства многоместных функторов.

В. Логика высказываний (пропозициональная логика). Логика высказываний имеет дело исключительно с высказываниями, образованными посредством так называемых функторов истинности. Эти функторы являются функторами, образующими высказывания, определяющими высказывания, большей частью одно - и двухместными функторами, особенность которых в том, что значение истинности (коротко называемое просто «значение», т.е. истина или ложь) образованного с их помощью высказывания зависит исключительно от значения истинности его аргументов, а не от его смысла. Так, например, отрицание есть функтор истинности, ибо значение отрицаемого истинного высказывания есть ложь, а значение отрицаемого ложного высказывания есть истина, о каком бы высказывании ни шла речь и что бы оно ни означало. Наиболее употребительные функторы таковы: отрицание («неверно, что», изображаемое как «~» или как черта над символом «А»), логическая сумма («либо одно из двух, либо оба», изображаемая как «V»), логическое произведение («и», изображаемое как «^.» или «&»), импликация («если..., то», в смысле «либо посылка ложна, либо следствие истинно»²⁴, изображаемое как «⊃» или «→»), равенство («если и только если», изображаемое как «≡») и, наконец, функтор штриха Шеффера («ни тот, ни другой», изображаемый как «|»). Последний функтор особенно важен, поскольку им одним можно определить все функторы истинности.

С помощью этих функторов связываются переменные высказывания (т.е. переменные, вместо которых могут быть подставлены только высказывания). При этом используются скобки или, вместо них, точки. Так например, «pvq ⊃ qvp» следует читать: «если р или q, то q или р». Я.Лукасевич придумал способ записи, при котором можно обойтись без скобок и точек, записывая все функторы перед соответствующими аргументами. Существуют по меньшей мере два метода, дающие возможность простым способом проверить, является ли некоторое высказывание логическим законом или нет, а именно, матричный метод и метод нормальной формы. Кроме того, все предложения исчисления высказываний аксиоматически выводятся из немногих аксиом и даже из одной аксиомы Нико. Пропозициональная логика образует самую разработанную часть математической логики. Самими математическими логиками она рассматривается как самая простая и основная часть логики, служащая так сказать остовом для всего остального логического анализа и дедукции.

Г. Логика предикатов и логика классов. Вторая часть математической логики распадается на два раздела в соответствии с интенсиональной и экстенсиональной интерпретацией формул. При первой интерпретации, являющейся основной, высказывание разлагается на функтор, образующий высказывание, определяющий имя (обычно "φ" "ψ" "Χ" и т.д.), и имя (обычно «х», «у», «z» как переменные, «а», «b», «с» как постоянные), так что основная формула выглядит как «φ x». Такие формулы, когда они содержат переменные, называются «матрицами». Они связываются посредством функторов, определяющих высказывание, а при помощи кванторов преобразуются в высказывания. В частности, общее суждение «все "φ суть ψ" интерпретируется посредством так называемой «формальной импликации» "(x)φ x x ⊃x ψ:".а частное суждение «имеется некоторое φ, которое есть ψ» - посредством формулы «(Ex) ^. φx ^. ψx». Эта интерпретация привела к отбрасыванию некоторых положений аристотелевской силлогистики. Но если сначала подумали, что эти положения должны считаться ложными, то позже выяснилось, что речь идет лишь о другой интерпретации функторов и что аристотелевская логика, если ее понимать так, как понимал сам Аристотель, правильна.

Кроме одноместных математическая логика занимается и двух - и многоместными предикатами. Среди них особенно важную роль играет тождество. В соответствии с лейбницевским principium indiscernabilium (принципом тождества неразличимых - ред.) тождество определяется так, что л; и у тождественны тогда и только тогда, когда все свойства х являются также свойствами у и наоборот. Из этого определения можно вывести различные так называемые тезисы экстенсиональности, которые, однако, ведут к некоторым философским трудностям, поскольку по отношению к этим тезисам два атрибута, появляющиеся всегда вместе, должны быть тождественными. Понятие тождества используется также для определения так называемых дескрипций (например, «автор Фауста» вместо Гёте). Теория дескрипций была разработана Расселом с целью избежать принятия существования (как у Мейнонга), например, четырехугольных окружностей, ибо согласно этой интерпретации предложение «четырехугольная окружность не существует» означает всего лишь «не существует предмета, который был бы одновременно окружностью и четырехугольником». О существовании можно говорить лишь в отношении признаков, или свойств (Kennzeichnungen). «Существует предмет, обладающий свойством φ», подразумевает, что есть просто некий предмет, и если ему приписывается какое-то свойство, он должен существовать.

Логика классов образует экстенсиональное дополнение к логике предикатов. Класс (множество, обозначаемое обычно через "α", "β", "γ" и т.д.) всегда определяется каким-нибудь предикатом; он представляет собой множество всех предметов, обладающих определенным свойством. Например, класс людей состоит из всех предметов, обладающих качеством человечности. Важнейшим понятием логики классов является понятие элемента: «x ε α» (читается: «х является элементом а», или «х принадлежит к а»). Существует также пустой класс, не имеющий элементов. На основе определения классов и положений логики предикатов можно образовывать различные определения связей между классами; они соответствуют связям между высказываниями.

Д. Логика отношений. Логика отношений в свою очередь образует экстенсиональное дополнение к логике двух- и многоместных предикатов, точно так же, как логика классов является экстенсиональным дополнением к логике одноместных предикатов. Поскольку уже двухместные отношения (единственные разработанные на сегодня) имеют очень много особых свойств, логика отношений является самым большим разделом математической логики. Здесь мы можем указать лишь на некоторые основные понятия. Само отношение понимается экстенсионально, как пара предметов; оно (как и класс) определяется некоторым (двухместным) предикатом. Например, отношение любви - это множество пар людей, которые любят друг друга. В качестве символа здесь употребляются обычно «х R у». Каждое отношение имеет свое обратное (конверсию) (например, «больший чем» есть обратное к «меньший чем»). Выделяются различные относительные дескрипции (Kennzeichnungen): индивидуальные (супруг голландской королевы), множественные (составители «Британской энциклопедии»), двусторонне множественные (авторы итальянских стихов) и вообще так называемая предметная область (пишется «D ^, R», например, «авторы»). Еще важнее понятия, служащие для сцепления (Verkettung), так, прежде всего относительное произведение (квадрат половины, брат матери и т.д.) и связанная с ним относительная степень (отец отца это отец во второй степени). Еще одна группа понятий образуется свойствами отношений, из которых некоторые рефлексивны (т.е. у которых верно «х R х» ), другие симметричны (если х R у, то и у R х), третьи транзитивны (если х R у и у R z, то х R z). Важнейшее из понятий, служащих для построения рядов, это понятие наследственного отношения (R или R² или R³ и т.д.).

Е. Семиотика. С математической логикой тесно связана так называемая семиотика (Ч.Моррис), которая сегодня широко используется математическими логиками. Это теория символов и она делится на три части: 1) логический синтаксис - теория отношений символов друг к другу; 2) логическая семантика - теория отношений между символом и тем, что он обозначает; 3) логическая прагматика - теория отношений между символами, их значениями и употребляющими их людьми. Последняя еще только начинает разрабатываться, тогда как первые две представляют собой, особенно благодаря А.Тарскому и Р.Карнапу, хорошо разработанные дисциплины. Основная идея семиотики - это требование проводить четкое различие между символом и тем, что он означает. Поэтому, когда говорят о каком-нибудь слове, это слово должно получить особое именование. Например, когда говорят о слове «кошка», нельзя это делать тем же самым способом, каким мы пользуемся, говоря о живой кошке. Соответственно, следует четко различать язык S и метаязык языка S, каковой имеет своим предметом сам язык S. Так, существует, например, метаматематика (теория математического языка) и металогика (теория логического языка).

Выяснилось, что формализованная аксиоматическая система всегда должна содержать и металогические элементы. Такая система состоит вообще из следующих элементов: 1) неопределяемые символы; 2) аксиомы, т.е. положения, принимаемые без доказательства; 3) правила формирования, определяющие, какие символы или группы символов (формулы) имеют смысл в системе; 4) правила вывода, позволяющие дедуцировать из аксиом новые предложения. Но третьи и четвертые элементы это не логические, а металогические формулы, так как они имеют дело с символами самой логики. Разумеется, такие предложения могут быть опять формализованы, но в этом случае придется употреблять мета-металогические предложения, так что в конечном итоге никакая система не может быть полностью формализована во всех своих составных частях.

На основе семиотики стало возможным изобрести точные методы, с помощью которых можно доказать, что та или иная система свободна от противоречий, что ее аксиомы независимы друг от друга (т.е. что ни одна из них не выводится из другой) и что она полна (т.е. что любое предложение, не выводимое из ее аксиом, противоречит какому-либо предложению системы). Точные методы были разработаны и для аксиоматизации. Важнейшим открытием здесь явилась теорема Гёделя. В 1930 г. К.Гёдель доказал, что в системе «Principia mathematica» и во многих других имеются предложения, неразрешимые на основании их аксиом, т.е. о которых нельзя сказать, истинны они или ложны.

Ж. Некоторые специальные проблемы и теории. В заключении мы хотели бы указать на некоторые из многих проблем математической логики, представляющие особый интерес для философии.

1) Логика и математика. Уайтхед и Рассел попытались вывести всю математику из чистой логики, вследствие чего их и их сторонников стали называть «логицистами». Другая школа, интуиционистская, возглавляемая Л.Э.Я.Брауэром, отрицает возможность такой редукции. Она утверждает, что логика есть лишь метод, развившийся вместе с математикой, и что закон исключенного третьего не всегда действует в математике. Третья, формалистическая школа, главным представителем которой является Д.Гильберт (1862-1943), толкует основные термины математики как неопределенные символы и стремится лишь к созданию безупречных, непротиворечивых систем.

2) Теория типов. В 1896 г. Бурали-Форти обнаружил противоречие в теории множеств Кантора. В июне 1901 г. Расселу удалось доказать, что дело здесь не в математике, а в логике, и что в частности логическая система Г.Фреге содержит противоречия. Сегодня известны многие такие противоречия, которые выводятся из посылок, кажущихся очевидными. Их называют «антиномиями» или «парадоксами». Самая знаменитая из них - расселовская антиномия классов: включают ли все классы самих себя в качестве элемента или не включают, как в том и другом случае обстоит дело с классом всех не включающих самих себя классов? Оказывается, любой ответ на этот вопрос ведет к противоречию. Чтобы разрешить эту антиномию, Рассел и Уайтхед построили свою теорию типов (theory of types), согласно которой объекты распределяются по различным типам (уровням). Так, например (в области классов), единичный объект относится к уровню 1, класс единичных объектов - к уровню 2, класс классов данного вида - к уровню 3 и вообще, если «х» есть элемент «а», тогда «а» должно относиться к более высокому уровню, чем «х». Позже выяснилось, что некоторые антиномии (например, древняя антиномия «Лжец») являются не логическими, а семантическими антиномиями, возникшими из смешения языка и метаязыка. Теория типов была в некоторых отношениях упрощена, но в конце концов она себя оправдала. Несмотря на многие попытки до сих пор не удалось построить без нее непротиворечивую систему математической логики.

3) Многозначные логики. В 1920 г. Я.Лукасевич, а годом позже и независимо от него Е.Пост обнаружили, что наряду с «классической» математической логикой, признающей лишь два значения (истинность и ложность, символически 1 и 0), возможны и другие логики, в которых допускаются более чем два значения, и которые непротиворечивы и полны. В этих логиках, однако, отсутствуют некоторые важные положения классической логики, например, всегда отсутствует закон исключенного третьего. Такие системы были построены строго аксиоматически, чем было доказано, что они как формальные системы безупречны. Но допускают ли эти системы какую-либо интерпретацию, которая превратила бы их в логические системы, остается до сих пор спорным вопросом. В то время как некоторые математические логики надеются, что с их помощью можно будет решить различные проблемы вероятностной и модальной логики, другие, напротив, считают их вообще не логическими системами.

Последние достижения математической логики, такие, как комбинаторная логика или так называемые естественные логики, нам придется оставить без рассмотрения. Логика в целом разрабатывается весьма усердно, так что все время появляются новые идеи и системы.