Взаимосвязь размеров деталей сборочной единицы определяет необходимую для нормальной работы изделия правильность положения одних деталей, их поверхностей или осей, относительно других деталей изделия, а взаимосвязь размеров отдельной детали определяет технологичность её изготовления.
Термины, определения и обозначения
Размерной цепью называется совокупность размеров, образующих замкнутый контур и непосредственно участвующих в решении задачи обеспечения необходимого допуска размера замыкающего звена. Различают конструкторские, технологические и измерительные размерные цепи, которые используются для обеспечения требуемой точности деталей и узлов соответственно при конструировании, изготовлении и измерении изделий.
Размерная цепь, размеры которой определяют взаимное положение поверхностей или осей одной детали, называется подетальной. Если же размеры, входящие в цепь определяют взаимное положение нескольких деталей узла или механизма, то такая размерная цепь называется сборочной или узловой. Простейшей элементарной сборочной размерной цепью является посадка.
Размеры, образующие размерную цепь называются звеньями размерной цепи. Причем величина конструктивного зазора или натяга, несовпадение осей или поверхностей в сборочной размерной цепи рассматриваются как отдельное самостоятельное звено, хотя номинальный размер этого звена часто равен нулю.
Замыкающим называется звено, являющееся исходным при постановке задачи или получающееся последним в результате ее решения.
Составляющим называется звено размерной цепи, функционально связанное с замыкающим звеном.
Все составляющие звенья подразделяются на увеличивающие и уменьшающие. Увеличивающим называется звено, с увеличением которого замыкающее звено увеличивается. Уменьшающим называется звено, с увеличением которого замыкающее звено уменьшается.
Компенсирующим или увязочным называется составляющее звено размерной цепи, изменением значения которого достигается требуемая точность замыкающего звена.
Увязочное звено предназначено для согласования отклонений замыкающего и составляющих звеньев размерной цепи. В результате расчёта отклонения увязочного звена, как правило, получаются нестандартными, поэтому в качестве увязочного рекомендуется выбирать одно из легкодоступных звеньев простой геометрической формы.
Изменение размеров составляющих звеньев по-разному влияет на размер замыкающего звена.
Передаточным отношением 
называется коэффициент, характеризующий степень влияния отклонения составляющего звена на отклонение замыкающего. Определяется 
как отношение отклонения замыкающего звена, вызванного отклонением составляющего, к величине отклонения этого составляющего звена.
Для размерных цепей с параллельными звеньями передаточные отношения =+1 для увеличивающих и =-1 для уменьшающих звеньев.
Виды размерных цепей
В приборостроении наиболее применяемыми являются две группы размерных цепей, различающиеся по месту в агрегате – (по)детальные и сборочные и различающиеся по расположению звеньев в цепи – линейные, угловые, плоские и пространственные.
(По)детальная размерная цепь (рис. 50) – это цепь, звеньями которой являются размеры одной детали.
Сборочная размерная цепь (рис. 51) – это цепь, звеньями которой являются размеры отдельных деталей. Такая цепь определяет точность расположения заданных поверхностей данной сборочной единицы или всего агрегата.
Линейная размерная цепь – это цепь, звеньями которой являются линейные размеры, расположенные на параллельных прямых линиях (рис. 50, 51). Составляющие звенья линейной размерной цепи обозначаются прописными буквами русского алфавита (кроме К, М, О, Р, Т).
Угловая размерная цепь – это цепь, звеньями которой являются угловые размеры (рис. 52), расположенные в одной плоскости и имеющие общую вершину. Составляющие звенья линейной размерной цепи обозначаются строчными буквами греческого алфавита (кроме 
, 
, , 
, 
).
Плоская размерная цепь – это цепь, звеньями которой являются линейные и угловые размеры, расположенные в одной или нескольких параллельных плоскостях (рис. 53).
Пространственная размерная цепь (рис. 54) – это цепь, звеньями которой являются линейные и угловые размеры, расположенные в пространстве произвольно.
Для удобства рассмотрения схем размерных цепей над буквами А, обозначающими звенья цепи, ставят стрелки разного направления: над увеличивающими замыкающее звено размерами, стрелка направлена направо, а над уменьшающими – влево.
Расчет размерных цепей заключается в установлении связей между размерами, их допусками и отклонениями всех звеньев. При этом решается либо прямая, либо обратная задача.
При решении прямой задачи по установленным предельным размерам или номинальному размеру с предельными отклонениями замыкающего звена определяют наиболее рациональные значения номинальных размеров, допусков и предельных отклонений всех составляющих звеньев размерной цепи.
При решении обратной задачи по известным значениям номинальных размеров с предельными отклонениями всех составляющих звеньев рассчитывают номинальный размер, допуск и предельные отклонения замыкающего звена.
Решение прямой задачи применяется при проектировании изделий или технологических процессов; решая обратную задачу, проверяют правильность решения прямой задачи.
Требуемая точность замыкающего звена может быть достигнута способами полной, неполной, групповой взаимозаменяемости, а также методами пригонки или регулирования.
При способе полной взаимозаменяемости детали соединяются при сборке без подбора, пригонки или регулирования. При этом значения замыкающего звена не выходят за установленные пределы у всех объектов (обеспечивается 100%-я сборка при любом самом неблагоприятном сочетании размеров годных деталей). Расчет носит название «расчет на максимум-минимум».
При методе неполной взаимозаменяемости детали также соединяются при сборке без подбора, пригонки или регулирования, но при этом у небольшой заранее обусловленной части объектов значения замыкающего звена могут выйти за установленные пределы. Расчет ведётся с применением положений теории вероятностей и носит название «вероятностный метод».
При групповой взаимозаменяемости соединение деталей производится по соответствующим группам, на которые они были предварительно рассортированы по своим размерам. Метод групповой взаимозаменяемости состоит в обработке сопрягаемых деталей с увеличенными, экономически приемлемыми для данного производства допусками, сортировке этих деталей на равное число групп и сборке их в изделия в соответствии с выбранными группами. В результате такой групповой сборки получаются изделия с меньшими колебаниями размера замыкающего звена.
При методе пригонки или регулирования точность замыкающего звена достигается изменением размера компенсирующей детали путем удаления определенного слоя металла (пригонки) или подбором сменных прокладок требуемой толщины (регулирование).
Основные способы расчета размерных цепей: расчет на максимум-минимум, учитывающий самые неблагоприятные сочетания предельных отклонений звеньев и вероятностный, учитывающий возможные вероятности рассеяния размеров и различных сочетаний отклонений составляющих звеньев.
Последовательность расчета сборочной размерной цепи
1. Формулируется задача и устанавливается замыкающее звено.
Ставится задача обеспечения работоспособности изделия, устанавливается замыкающее звено, влияющее на эксплуатационные показатели и собираемость изделия.
2. Устанавливаются предельные значения размеров замыкающего звена.
Предельные значения 
– наибольшее и 
– наименьшее устанавливаются исходя из теоретических исследований или на основе опыта эксплуатации аналогичных изделий.
3. Составляется замкнутый контур размерной цепи (рис. 55,а).
Последовательно, начиная от поверхности (или оси) детали, ограничивающей замыкающее звено, проставляют размеры деталей до их основных баз (поверхности, соприкасающейся с другой деталью). Последним звеном, образующим замкнутый контур размерной цепи, будет размер детали от ее основной базы (сопрягаемой поверхности, с которой сопрягается предыдущая деталь) до поверхности (или оси) этой детали, ограничивающей замыкающее звено с другой стороны.
4. Выявляются увеличивающие и уменьшающие звенья.
В сложных размерных цепях эти звенья легко определить, применяя правило обхода по контуру, Замыкающему звену присваивается определенное направление (стрелка направлена влево). Над остальными составляющими звеньями также проставляются стрелки так, чтобы получился замкнутый контур направления. Все составляющие звенья, имеющие то же направление стрелок, что и у замыкающего звена, будут уменьшающими, остальные – увеличивающими.
5. Определяются передаточные отношения составляющих звеньев (в размерных цепях с параллельными звеньями передаточное отношение 
).
6. Строится схема (графическое изображение) размерной цепи (рис.55,б). Вместо стрелок над буквенными обозначениями звеньев (например, 
, 
и т.д.) составляющие звенья можно изображать размерными линиями со стрелками, направленными у увеличивающих звеньев вправо, а у уменьшающих – влево.
7. Определяются номинальные размеры 
составляющих и замыкающих звеньев.
Номинальные размеры определяют по чертежу с учетом масштаба и округляют в соответствии с действующими стандартами.
8. Составляется основное уравнение размерной цепи. Исходя из условия замкнутости контура размерной цепи, сумма размеров увеличивающих звеньев равна сумме размеров уменьшающих и замыкающего звеньев. Для цепи, изображенной на рис. 55, имеем:
Распространив уравнение на произвольное число составляющих звеньев и решая его относительно замыкающего звена, получают основное уравнение размерной цепи с параллельными звеньями:
, (1)
где k – число увеличивающих составляющих звеньев, (m- 1) – число составляющих звеньев размерной цепи.
9. Выявляются звенья с известными предельными отклонениями. Такими звеньями являются размеры стандартных, покупных и заимствованных изделий (например, шарикоподшипников).
10. Определяются предельные отклонения (верхнее 
и нижнее 
) замыкающего звена:
; 
11. Определяется координата середины поля допуска (среднее отклонение) замыкающего звена:
.
12. Определяется допуск замыкающего звена:
, или 
1. Выбирается метод достижения требуемой точности замыкающего звена, экономически приемлемый для данного производства:
1) метод полной взаимозаменяемости (обеспечивается расчетом «на максимум-минимум»;
2) вероятностный метод (обеспечивается теоретико-вероятностным расчетом);
3) метод пригонки;
4) метод селекции.
Основные соотношения параметров, составляющих размерную цепь
Исходя из формулы 1, предельные размеры замыкающего звена:
(2)
(3)
Вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (3) и учитывая, что разность между наибольшим и наименьшим предельными размерами есть допуск, получим зависимость между допусками замыкающего 
и составляющих 
звеньев.
Для размерной цепи с параллельными звеньями:
(4)
Вычитая почленно из уравнения (2) или (3) уравнение (1) и учитывая, что разность между наибольшим (или наименьшим) предельным и номинальным размерами есть верхнее (или нижнее), отклонение, получим следующие уравнения для размерной цепи с параллельными звеньями:
(5)
(6)
Вместо уравнений 5 и 6 на практике часто пользуются зависимостью между средними отклонениями размеров замыкающего и составляющих звеньев.
Для размерных цепей с параллельными звеньями:
(7)
При решении обратной задачи по формулам (1), (4)÷(7) легко определяются номинальный размер, допуск и предельные отклонения замыкающего звена. Сложнее решается прямая задача.
При конструировании (прямая задача), возникает необходимость определить параметры составляющих звеньев размерной цепи при известном замыкающем звене. Решением данной задачи может быть большое количество вариантов сочетаний допусков и предельных отклонений составляющих звеньев.
Обычно в прикидочных расчетах пользуются способом равных допусков, т.е.
При большой разнице в номинальных размерах составляющих звеньев такой способ является некорректным, так как к большим звеньям будут предъявляться более жесткие требования по точности.
Решение прямой задачи методом «на максимум-минимум».
Известно, что допуск T есть произведение единицы допуска 
на коэффициент 
. Это справедливо для любого звена размерной цепи: 
,
где kj –число единиц допуска (величина постоянная для данного квалитета);
ij – единица допуска, характеризующая ту часть допуска, которая меняется с изменениями размера:
,
где 
– среднегеометрический размер интервала.
Итак, чтобы добиться одинаковых требований к точности изготовления составляющих звеньев, необходимо, чтобы коэффициенты kj были бы одинаковыми у всех звеньев размерной цепи:
или
.
Так как разброс размеров замыкающего звена должен быть равен сумме разбросов составляющих звеньев:
получаем:
откуда
(8)
Значения k характеризуют точность, с какой следует получать все составляющие звенья размерной цепи. Рассчитанное по формуле (8) значение 
заменяется ближайшим k из дискретного ряда значений (таблица 23), соответствующих установленным стандартом квалитетам (уровням точности).
Число единиц допуска k
Таблица 23
| Квалитет | |||||||||||||
| k |
Значения единицы допуска i для размеров до 500 мм в соответствии с принятым разбиением на 13 интервалов, приведено в таблице 24.
Значения единицы допуска i
Таблица 24
| Интервал размеров, мм | ij, мкм | Интервал размеров, мм | ij, мкм | Интервал размеров, мм | ij, мкм |
| До 3 | 0,55 | Св. 30 до 50 | 1,56 | Св.250 до 315 | 3,22 |
| Св. 3 до 6 | 0,73 | Св. 50 до 80 | 1,86 | Св. 315 до 400 | 3,54 |
| Св.6 до10 | 0,90 | Св.80 до 120 | 2,17 | Св. 400 до 500 | 3,89 |
| Св. 10 до 18 | 1,08 | Св.120 до 180 | 2,52 | ||
| Св. 18 до 30 | 1,31 | Св.180 до 250 | 2,89 |
Если в результате расчёта цепи получается, что расчётное число единиц допуска k расч. не равно числу k, соответствующему определённому уровню точности (квалитету), целесообразно назначать допуски составляющих элементов по двум соседним квалитетам, причём для больших по величине размеров – по более грубым квалитетам, и наоборот. Если при этом не удаётся обеспечить строгого равенства суммы допусков составляющих звеньев заданной величине допуска замыкающего звена, то одно из составляющих звеньев (простое по конструкции, легко обрабатываемое) выбирают в качестве увязочного, вычисляя отдельно его допуск и предельные отклонения.
Требуемая точность замыкающего звена при изложенном способе решения задачи достигается при любом сочетании действительных размеров, составляющих размерную цепь. Обеспечивается полная взаимозаменяемость без каких-либо воздействий на составляющие размеры. При этом предполагается, что в размерной цепи одновременно могут оказаться все звенья с предельными значениями, причем в самых неблагоприятных сочетаниях: все увеличивающие звенья с верхними предельными размерами, а уменьшающие с нижними; или наоборот.
Предельные отклонения размеров составляющих звеньев рекомендуется назначать: на охватываемые («валы») – по h, на охватывающие («отверстия») – по H, на остальные размеры – по 
, то есть симметричные отклонения.
Данные расчета удобно оформлять в виде таблицы.
Пример.
На рис. 56 изображен фрагмент конструкции, у которой для компенсации тепловых
деформаций деталей необходимо обеспечить при сборке осевой зазор 
=1.0+0.2 между торцом крышки и наружным кольцом подшипника. Требуется назначить допуски и отклонения на составляющие звенья размерной цепи, при которых обеспечивается собираемость механизма при любом сочетании размеров. Допуски и отклонения на размеры подшипников качения назначать условно, как и на другие детали.
Решение.
1. Определение номинальных размеров составляющих звеньев.
Номинальные размеры стандартных деталей находят по соответствующим стандартам. Остальные размеры составляющих звеньев, кроме звена А7, выбранного в качестве увязочного (изменением характеристик которого добиваются строгого выполнения условий основного уравнения размерной цепи), определяют непосредственно по чертежу.
Для нахождения номинального размера А7 воспользуемся зависимостью
;
1=65-9-8-28-8-9-4+A7.
A7= 2.0 мм
2. Определение средней точности размерной цепи.
.
Найденное число единиц допуска практически соответствует 8-му квалитету точности. Предельные отклонения на составляющие звенья, кроме А7, рекомендуется назначать на охватываемые размеры – по h, на охватывающие размеры – по Н, на остальные – 
, т.е. симметричные предельные отклонения.
Результаты поэтапных расчетов сведены в табл. 25.
Результаты поэтапных расчетов
Таблица 25
| Обозна чение | Номинальный размер | i, мкм | Обозн. основн. откло-нения | Квали-тет | Допуск Т | Верхнее откл-ние В | Нижнее откл-ние Н | Середина поля допуска, С |
| мкм | ||||||||
| -- | -- | -- | +200 | +100 | |||
| 0.9 | h | -22 | -11 | ||||
| 0.9 | h | -22 | -11 | ||||
| 1.31 | h | -33 | -16.5 | ||||
| 0.9 | h | -22 | -11 | ||||
| 0.9 | h | -22 | -11 | ||||
| 0.73 | 
| +9 | -9 | ||||
| 0.55 | -- |  8
| +70 | +55 | +62.5 | ||
| 1.86 | h | -46 | -23 |
3.Определение допуска звена 
200=22+22+33+22+22+18+ Т7 +46
Т7 =15 мкм
4. Определение предельных отклонений звена
+200 = 
(-22)-(-22)-(-33)-(-22)-(-9)
Метод неполной взаимозаменяемости (теоретико-вероятностный метод).
Метод исходит из предположения, что сочетание действительных размеров составляющих звеньев в изделии носит случайный характер и вероятность самого их неблагоприятного сочетания весьма мала.
Такой метод расчета, который учитывает рассеяние размеров и вероятность их различных сочетаний, называется вероятностным методом расчета. Метод допускает малый процент изделий, у которых замыкающее звено выйдет за рамки поля допусков. При этом расширяются допуски размеров, составляющих цепь, и тем самым снижается себестоимость изготовления изделий.
Допуская некоторый процент брака в партии изделий, производят модификацию (расширение) исходного допуска (Т∆) замыкающего звена размерной цепи (рис. 57), при этом сумма значений допусков звеньев, составляющих цепь равна величине модифицированного допуска (Т′∆) замыкающего звена.
Задачей корректного расчета является назначение допусков на составляющие звенья, соответствующих одинаковому уровню точности изготовления (квалитету).
Зависимость допусков замыкающего и составляющих звеньев в размерных цепях с параллельными звеньями имеет следующий вид:
(8)
где t 
– коэффициент риска, характеризующий вероятность выхода отклонений замыкающего звена за пределы допуска; j – относительное среднее квадратическое отклонение, или коэффициент, характеризующий закон рассеяния размеров.
В зависимости от принятого процента брака Р% значения коэффициента риска t при нормальном законе распределения отклонений и равновероятном их выходе за обе границы поля допуска выбирают из ряда значений, приведенного в таблице 26.
Таблица соответствия коэффициента риска к допустимому % брака
Таблица 26
| Р, % | 32.00 | 10.00 | 4.50 | 1.00 | 0.27 | 0.10 | 0.01 |
| t | 1.00 | 1.65 | 2.00 | 2.57 | 3.00 | 3.29 | 3.89 |
Коэффициент 
принимается 1/9 при нормальном законе распределения отклонений (для изделий крупносерийного производства); 1/6 при распределении отклонений по закону треугольника (закону Симпсона); 1/3 при распределении отклонений по закону равной вероятности (для изделий мелкосерийного и индивидуального производства).
Формула 8 устанавливает связь между допуском на замыкающий размер и допусками на составляющие звенья.
Для того чтобы добиться одинаковой точности составляющих звеньев размерной цепи, воспользуемся известной формулой 
и подставим ее в выражение 8. Потребуем, чтобы k у всех звеньев были одинаковыми, тогда:
;
Окончательно получим:
Значение k характеризует точность, с которой следует изготовить все составляющие звенья размерной цепи при заданных условиях.
Пример
Пусть в конструкции, рассмотренной в предыдущем примере, необходимо назначить допуски и отклонения на составляющие звенья при Р =0.27% и при нормальном законе распределения рассеяния размеров составляющих звеньев.
Допуски и отклонения на ширину подшипниковых колец назначать условно, как и на другие детали.
Решение.
1. Определение номинальных размеров составляющих звеньев выполняется аналогично соответствующему пункту решения задачи методом максимума-минимума.
2. Определение средней точности размерной цепи
Воспользуемся зависимостью
.
.
.
Найденное число единиц допуска близко к стандартному значению k =64, соответствующему 10-му квалитету. Сравнивая результаты расчёта с предыдущим методом, заметим, что данный расчёт позволяет выполнить размеры на два (!) квалитета грубее.
Результаты поэтапных расчетов сведены в табл. 27.
Результаты поэтапных расчетов
Таблица 27
| Обозна-чение | Номин. размер | i, мкм | Основн. откл-ние | Квалитет | Допуск T | Верхнее откл. B | Нижнее откл. H | Среднее откл. C |
| мкм | ||||||||
|
| – | – | – | +200 | +100 | |||
 
| 0.90 | h | -58 | -29 | ||||
| 0.90 | h | -58 | -29 | ||||
| 1.31 | h | -84 | -42 | ||||
| 0.90 | h | -58 | -29 | ||||
| 0.90 | h | -58 | -29 | ||||
| 0.73 |
| +24 | -24 | ||||
| 0.55 | – | +22 | -18 | +2 | |||
| 1.86 | h | -120 | -60 |
3. Определение предельных отклонений звена 
.
+100=(-60)+ С7 –(-29)–(-29)–(-42)–(-29)–(-29)–0.
С7 =2 мкм.
мкм.
мкм.
Метод пригонки
Требуемая точность замыкающего звена достигается изменением размера компенсирующего звена путем снятия с него слоя металла. При этом допуски на составляющие звенья назначаются по экономически приемлемым квалитетам. Получающийся после этого у замыкающего звена избыток поля рассеяния при сборке устраняют за счет компенсатора.
Смысл расчета заключается в определении припуска на пригонку, достаточного для компенсации величины превышения предельных значений замыкающего звена и вместе с тем, наименьшего для оптимизации объема пригонки.
Роль компенсатора обычно выполняет деталь, простая по конструкции и легкодоступная при разборке механизма
