Теорема умножения

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло. Р(А·В)=Р(А)∙Р(В│А) или Р (А·В)=Р(В)∙Р(А│В).

Доказательство. Пусть из общего числа N исходов эксперимента наступлению события А благоприятствуют M исходов, а наступлению В благоприятствует К исходов из числа М исходов, благоприятствующих событию А. Это значит, что совместному наступлению событий А и В благоприятствует К исходов из общего их числа N.

N исходов эксперимента

 

М исходов благоприятных А

 

К исходов благоприятных В

Поэтому, Р(А·В)= . Домножим числитель и знаменатель дроби на M, тогда Р(А·В)= .

Здесь первый множитель представляет собой вероятность события А, то есть Р(А)= , а второй выражает вероятность события В при условии, что А произошло, то есть Р(А│В)= .

Таким образом, Р(А·В)=Р(А)∙Р(В│А).

Эту теорему можно обобщить на случай нескольких событий.

Следствие. Вероятность совместного появления событий А₁, А₂, А₃,…, А_n равна произведению вероятности одного из событий на условные вероятности остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Р(А₁∙А₂∙А₃∙…∙А_n)= Р(А₁)∙Р(А₂ │А₁)∙Р(А₃│А₁∙А2) ∙…∙Р(А_n │А₁∙А₂∙А₃∙…∙А_n-1)

В частности для трех событий Р(А∙В∙С)= Р(А)∙Р(В│А)∙Р(С│А∙В)

Пример. Среди 100 лотерейных билетов имеется 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных лотерейных билета окажутся выигрышными.

Решение. 100 билетов

 

5 выигрышных 95 без выигрыша

 

Введем события А={1 билет - выигрышный}

В={2 билет - выигрышный}

По теореме умножения Р(А·В)=Р(А)∙Р(В│А)= .

Сформулируем корректное определение независимости событий.

Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей Р(А·В)=Р(А)∙Р(В).

Если события А и В независимы, то условная вероятность Р(А│В) равна безусловной Р(А), а условная вероятность Р(В│А) равна безусловной Р(В).

 

Контрольные вопросы:

1. Какие события называются совместными?

2. Сформулируйте и обоснуйте теорему сложения. Приведите пример ее использования.

3. Что называется условной вероятностью? Приведите примеры.

4. Сформулируйте и обоснуйте теорему умножения. Приведите пример ее использования.

5. Сформулируйте следствие из теоремы умножения. Приведите пример его использования.

 

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.