Аксиомы

1. Равные одному и тому же третьему также равны между собой.

2. Если к равным прибавить равные, то и целые будут равны.

3. Если от равных отнять равные, то полученные остатки будут равны.

4. Совмещающиеся друг с другом равны.

5. Целое больше своей части.

Как мы видим, Евклид различает два вида допущений: постулаты и аксиомы. Существуют различные версии по поводу того, какие различия он вкладывает в эти понятия. Наиболее вероятная из них состоит в том, что аксиомы представляют собой допущения, относящиеся к величинам вообще, а постулаты описывают возможности геометрических построений.

С современной точки зрения легко критиковать систему аксиом и постулатов Евклида. Мы видим, что в ней используется идея движения, но это понятие не определяется аксиоматически. В дальнейших рассуждениях Евклид применяет идею непрерывности, например при построении точки пересечения двух окружностей. А почему, собственно говоря, окружности, расстояние между центрами которых меньше или равно сумме радиусов, имеют, по крайней мере, одну общую точку? Ответ нам понятен, окружности непрерывные кривые, они не имеют разрывов. Но что это означает? Такого рода свойство должно описываться в аксиомах. Логические недостатки аксиоматики Евклида его комментаторы заметили очень давно. Их многочисленные усилия были направлены на устранение пробелов “Начал”. В течение почти 2000 лет появлялись под различными названиями работы, цель авторов которых состояла в “очищении Евклида от всяких пятен”. Многие пробелы удалось устранить, но основное пятно, а именно проблема 5-ого постулата, не поддавалось очищению.

В чем же состояла проблема 5 - ого постулата, почему она возникла и почему вызвала такой большой интерес у последователей Евклида? Можно указать две причины ее возникновения. Первая - сравнительно с остальными постулатами сложный характер его формулировки, похожей по своему смыслу на формулировку теоремы. Вторая - очень позднее его использование. Евклид доказывает 26 утверждений без помощи 5 - ого постулата, и только в 29 предложении оно впервые используется при доказательстве. Эти соображения ни в коей мере не подвергали сомнению справедливость самого утверждения, но наводили на мысль, не является ли пятый постулат следствием предыдущих аксиом и предложений.

В истории математики проблема 5 - ого постулата Евклида сыграла исключительно большую роль. Попытки ее решения привели к созданию неевклидовой геометрии, в первую очередь геометрии Лобачевского, перевернувшей все представление как о реальном физическом пространстве, так и о роли абстрактных математических теорий в их изучении. На протяжении более чем двух тысяч лет после Евклида не было крупных математиков, которые не пытались бы решить эту проблему. Но в их рассуждениях обязательно находился изъян, не доказанное, но используемое утверждение, которое на проверку само оказывалось равносильным пятому постулату. Дадим обзор рассуждений некоторых ученых, пытавшихся решить проблему пятого постулата.

Доказательство Посидония. Уроженец Сирии, работавший в Риме, философ, астроном и математик Посидоний (около 135 – 50 годы до нашей эры) положил в основу своих рассуждений следующее определение параллельных линий: «Параллельными называются такие прямые, которые находятся в одной плоскости, не сближаются и не удаляются, так, что все перпендикуляры, проведенные к одной из них из точек другой, равны между собой». Это определение основывается на том, что множество точек плоскости, расположенных в одной полуплоскости от данной прямой, и равноудаленных от нее, представляет собой прямую линию. Такое предположение, как будет доказано в дальнейшем, равносильно пятому постулату Евклида. Судя по всему, Посидоний основывался на идеях, изложенных в трактате Архимеда «О параллельных линиях». Сам этот трактат не дошел до нас, он известен из комментариев арабских математиков 10 – 11 веков нашей эры. Его принято считать первым сочинением, посвященным проблемам теории параллельных прямых, появившимся через несколько десятилетий после «Начал» Евклида.

Доказательство Прокла. Рассмотрим попытки доказательства указанного утверждения греческим математиком Проклом (410 – 475 годы нашей эры). Пусть даны две прямые и , пересеченные третьей , составляющей с данными углы a и b, сума которых меньше двух прямых углов (рис 2). Проведем через точку В прямую l, составляющую равный угол a с . Прямые l и не пересекаются. Этот факт, как будет показано позже, доказывается без использования пятого постулата. Возьмем точку С на прямой , опустим из нее перпендикуляр СD на l и будем бесконечно удалять точку С по прямой от точки В. При этом расстояние будет бесконечно возрастать и со временем станет больше расстояния между прямыми l и . Поэтому данные прямые пересекутся.

Можно увидеть, что в этих рассуждениях два неявных допущения: расстояние от одной стороны угла до другой, по мере удаления от вершины, неограничено возрастает; расстояние между двумя непересекающимися прямыми на плоскости ограничено.

Первое допущение Прокл считал очевидным, но оно доказывается без использования пятого постулата, а второе утверждение эквивалентно этому постулату.

Теория параллельных линий Омара Хайяма. Математик, астроном и философ, известный нам как великолепный поэт, автор бессмертных “Рубайи”, Омар Хайям (1048 - 1131) посвятил теории параллельных линий первую книгу своих “Комментариев к трудностям во введениях книги Евклида”. Основываясь на правилах формальной логики Аристотеля, им была предпринята попытка существенного улучшения аксиоматики Евклида. Вместо 29 предложения Начал, именно с него начинается изложение теории параллельных линий, Хайям строит четырехугольник АВСD, который имеет два прямых угла А и D, прилегающих к стороне AD и равные боковые стороны AB и CD (рис. 3). Эта фигура сыграла важную роль в истории создания неевклидовой геометрии, ее обычно называют четырехугольником Саккери.

Хайям доказывает, что углы a и b равны между собой и подробно рассматривает так называемые гипотезы прямого, тупого и острого углов (a и b - прямые, тупые или острые углы). На рис. 3 изображен случай гипотезы острого угла. Достаточно строго была опровергнута гипотеза тупого угла. Неявное предположение, равносильное рассуждениям Прокла, привело к опровержению гипотезы острого угла. Хайям доказал, что гипотеза прямого угла равносильна пятому постулату Евклида.. Таким образом, неявное логическое допущение позволило Хайяму считать решенной проблему пятого постулата. Теория параллельных линий Хайяма была первой в истории, в которой пятый постулат доказывался не на “постулировании основания”, а при использовании другого, более наглядного предположения.

Теория параллельных линий Валлиса. Крупнейший математик XYII века Джон Валлис (1616 - 1703) в своем трактате «О пятом постулате и пятом определении в книге Евклида, геометрическое рассуждение» приводит свое доказательство пятого постулата Евклида. При этом он вводит следующий постулат: «Для всякой фигуры возможна подобная ей фигура произвольной величины». Валлис обосновывает естественность этого предположения ссылкой на третий постулат Евклида: «Из любого центра можно описать окружность любым радиусом». Рассуждения Валлиса проводились по следующей схеме. Пусть даны две прямые l и m, пересеченные третьей прямой n, так что сумма углов меньше двух прямых углов (рис. 4). Проведем через точку пересечения прямых l и m прямую , параллельную l и сместим ее на достаточно малое расстояние по направлению к прямой l. Мы получим треугольник . Так как существует треугольник, подобный построенному со стороной , то прямая l пересекает прямую m.. Ошибка в этих рассуждениях состоит в самом предположении о существовании треугольника, подобного данному. Оно равносильно пятому постулату Евклида.

Теория параллельных линий Саккери. В 1773 году в Милане была издана книга «Евклид, очищенный от всяких пятен, или геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии», ставшая важным шагом на пути открытия неевклидовой геометрии. Ее автором был Джироламо Саккери (11667 - 1773). В книге подвергнуто критике доказательство пятого постулата Евклида Д. Валлиса. Затем Саккери рассматривает тот же четырехугольник с равными боковыми сторонами и двумя прямыми углами при основании, что и Омар Хайям (см. рис. 3). Опровергнув гипотезу тупого угла и доказав, что гипотеза прямого угла равносильна пятому постулату Евклида, Саккери исследует гипотезу острого угла и получает достаточно много утверждений, справедливых в геометрии Лобачевского. Исследуя взаимное расположение двух непересекающихся прямых, он доказывает, что, либо две прямые имеют единственный общий перпендикуляр и бесконечно удаляются друг от друга по обе его стороны, либо бесконечно удаляются с одной стороны и асимптотически приближаются друг к другу с другой. В этом случае он считает, что прямые касаются друг друга в бесконечности, откуда и заключает, что «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямых линий».

Чувствуя шаткость такого вывода, Саккери рассматривает множество точек, равноудаленных от прямой. Он доказывает, что при гипотезе острого угла оно представляет собой кривую линию. При вычислении длины дуги этой линии с помощью бесконечно малых им была допущена ошибка, из которой следует, что длина этой дуги равна расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных из ее концов на прямую. Получив такое противоречие, Саккери вновь объявляет гипотезу острого угла опровергнутой. Свои рассуждения он заканчивает замечанием, показывающим его неудовлетворенность проделанными рассуждениями: «Не могу не указать здесь разницу между приведенными опровержениями обеих гипотез. При гипотезе тупого угла все ясно, как свет божий. Между тем, опровергнуть гипотезу острого угла не удается иначе, как доказав, что длина криволинейной дуги равна длине прямолинейного базиса».

Теория параллельных линий Ламберта. Иоганн Генрих Ламберт (1728 - 1777) - известный математик XYIII века, прославившийся доказательством иррациональности чисел p и e, в 1786 году опубликовал трактат «Теория параллельных линий», в котором он рассматривал трипрямоугольник, четырех угольник с тремя прямыми углами. Предполагая, что четвертый угол может быть прямым, тупым или острым, Ламберт так же, как Саккери, доказывает, что гипотеза прямого угла равносильна пятому постулату Евклида, гипотеза тупого угла противоречит евклидовой геометрии и отмечает, что она справедлива в сферической геометрии. Исследуя гипотезу острого угла, он доказывает больше утверждений, справедливых в геометрии Лобачевского, чем те, которые были доказаны Саккери. Наиболее важными из них являются следующие: если имеет место гипотеза острого угла, то сумма углов треугольника меньше двух прямых углов, существует абсолютная мера измерения отрезков и площадей фигур, отсутствует подобие. Исследуя аналогии, которые возникают при доказательствах соответствующих утверждений при гипотезах тупого и острого углов, Ламберт делает поразительное заключение: «Я почти должен бы сделать вывод, что третья гипотеза (гипотеза острого угла) имеет место на некоторой мнимой сфере. По меньшей мере, должно же быть что-то, из-за чего она на плоскостях так долго не дает себя опровергнуть, как это имело место при второй гипотезе (гипотезе тупого угла)». Ламберт, оставаясь твердо уверенным в том, что геометрия Евклида является единственной непротиворечивой, не смог найти противоречия в гипотезе острого угла и пришел к выводу, что все попытки доказательства пятого постулата не будут успешными.

Попытки Лежандра доказательства пятого постулата Евклида. Адриан Мари Лежандр – крупный французский математик конца 18 и начла 19 веков (1753 – 1833 г.г.), член Парижской академии наук, профессор Высшей политехнической школы, великого детища Наполеона Бонапарта. В 1974 году вышло первое издание его сочинения «Начала геометрии», которое по мысли автора представляла собой учебник геометрии, который должен был заменить «Начала» Евклида в качестве школьного учебника. В конце XYIII и начале XIX веков вышло несколько изданий «Начал геометрии», последнее издание датируется 1823 годом. Практически в каждом издании учебника Лежандр предпринимал безуспешные попытки доказательства пятого постулата Евклида. При этом им были исследованы важнейшие свойства суммы углов треугольника и установлена зависимость между пятым постулатом и утверждением, что эта сумма равна двум прямым. Без использования пятого постулата и его следствий, Лежандр доказал, что сумма углов треугольника не может превышать двух прямых углов и, если сумма углов какого либо треугольника равна двум прямым, то тогда на плоскости сумма углов любого другого треугольника также совпадает с двумя прямыми углами и, следовательно, выполняется условие пятого постулата Евклида. Большинство «доказательств» Лежандра пятого постулата Евклида были связаны с безуспешными построениями без использования теории параллельных линий примера треугольника, сумма углов которого равна двум прямым. Исследования Лежандра, несмотря на допущенные ошибки, благодаря широкому распространению его учебника, оказали существенное влияние на открытие неевклидовой геометрии.

Открытие неевклидовой геометрии. Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в начале 19 века к открытию новой геометрической теории. Почти одновременно идея о ее существовании была высказана тремя великими математиками того времени К.Ф. Гауссом, Я. Бояи и Н.И. Лобачевским. Впервые об открытии новой геометрии заявил Николай Иванович Лобачевский (1793 - 1856). В 1826 году им было сделано сообщение на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В 1829 году он опубликовал свои результаты в работе «О началах геометрии». Заменив аксиому параллельности евклидовой геометрии ее отрицанием, Н.И. Лобачевский построил новую геометрическую теорию, названную им «Воображаемой геометрией», которая в настоящее носит название «Геометрия Лобачевского». Затем на протяжении тридцати лет им было опубликовано несколько трудов, в которых развивались идеи, заложенные в первой работе, и искались приложения этой теории к другим областям математики. В первую очередь заслуга великого русского математика состоит в том, что он первый заявил о возможности существования геометрического пространства, отличного от евклидова. Следует отметить, что работы Лобачевского не встретили понимания у математиков того времени. Известно крайне резкое отрицательное мнение об этом открытии академика М.И. Остроградского, который, по сути, инспирировал публикации в реакционных журналах, направленных против как самого Н.И. Лобачевского, так и против его открытия. Своим авторитетом М.И. Остроградский существенно замедлил процесс признания великой математической теории.

Как уже отмечалось, практически одновременно к тем же идеям о существовании геометрического пространства, отличного от евклидова, пришел замечательный венгерский математик Янош Бояи (1802 - 1860). Его отец, известный математик Фаркаш Бояи, всю свою жизнь занимался проблемой пятого постулата. В дальнейшем мы исследуем положения, с помощью которых он пытался доказать пятый постулат Евклида. Узнав о научных увлечениях своего сына, он писал ему: «Молю тебя не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Я изучил все пути до конца и не встретил ни одной идеи, которая не была бы разработана мною. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил». Однако Янош, вопреки воле отца, продолжал работать над новыми геометрическими идеями. В 1823 году, будучи молодым, двадцатиоднолетним инженером венгерской армии, он писал отцу: «В настоящее время я еще не достиг цели, но получил такие замечательные результаты, что было бы чрезвычайно жаль, если бы они погибли. Когда Вы с ними познакомитесь, то сами признаете это. Пока скажу: я из ничего создал целый мир».

В 1832 году вышла в свет книга Фаркаша Бояи, в которой в качестве приложения была напечатана работа его сына, в которой излагались основы новой геометрической теории, открытые, судя по всему, в 1826 году. Книга была написана на латинском языке, приложение по латыни - appendix, поэтому труд Яноша Бояи получил в литературе название «Аппендикс». Он был написан чрезвычайно кратко, с применением большого числа условных обозначений. Если сравнивать труды Н.И. Лобачевского и «Аппендикс» Я. Бояи, то можно сказать, что Лобачевский продвинулся в изучении геометрических свойств нового пространства существенно дальше и первым опубликовал свои результаты. Поэтому приоритет Н.И. Лобачевского здесь бесспорен. Хотя в «Аппендиксе» содержатся исследования по геометрическим свойствам треугольников и так называемым «предельным кривым», которые гораздо глубже соответствующих исследований, опубликованных Лобачевским.

Великий Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), которого современники называли «королем математики», начал интересоваться теорией параллельных линий в 1792 году. Известна его обширная переписка с друзьями, в которой он обсуждал проблемы пятого постулата. Познакомившись в 1832 году с «Аппендиксом» Я. Бояи он писал его отцу: «Хвалить ее (работу) значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, весь путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, сплошь совпадают с моими собственными, имеющими частично давность в 30 - 35 лет. Я, действительно, этим в высшей степени поражен. Мои намерения были ничего при жизни не публиковать о моей собственной работе, которая, впрочем, до настоящего времени мало нанесена на бумагу». Гаусс был знаком с трудами Н.И. Лобачевского и очень высоко отзывался о них. Прочитав одну из них в переводе на, он принялся изучать русский язык, чтобы изучить остальные работы. Таким образом, придя гораздо раньше Лобачевского и Бояи к идеям новой геометрической теории, Гаусс не стал публиковать свои результаты, опасаясь быть непонятым.

В 1868 году итальянский математик Эуджинио Бельтрами (1835 - 1900) в работе «Об опыте интерпретации неевклидовой геометрии» доказал замечательный факт, что геометрия Лобачевского осуществляется на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (псевдосферах). Бельтрами установил также, что точки псевдосферы можно взаимно однозначно отобразить на внутренние точки круга, при этом геодезическим линиям (т.е. прямым в интерпретации геометрии Лобачевского на псевдосфере) соответствуют хорды круга. Бельтрами не вывел формулы для вычисления расстояния между точками в этой модели и не исследовал, как интерпретируются движения. Однако эта модель, в которой точки всей плоскости Лобачевского изображаются внутренними точками круга на евклидовой плоскости, дала первое доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского.

В 1872 году, молодой немецкий математик Феликс Клейн, профессор Эрлангенского университета, в работе «О так называемой неевклидовой геометрии», опираясь на результаты английского математика Артура Келли, построил интерпретацию геометрии Лобачевского на проективной плоскости. Им было дано полное геометрическое исследование свойств геометрии Лобачевского на этой модели и было установлено, что интерпретация Бельтрами в круге на евклидовой плоскости является ее частным случаем. Таким образом, вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского был полностью закрыт.

Геометрия Лобачевского оказала огромное влияние на формирование современного взгляда на геометрию как абстрактную, аксиоматическую науку и одновременно как на геометрию реального физического пространства, описывающую объективные, природные закономерности. Анализируя суть проблемы пятого постулата Евклида, становиться ясно, что ее основа заложена в процессе исследования системы аксиом евклидова пространства. В конце 60–х годов 19 века, когда идеи Лобачевского получили полное признание, задача построения логически безупречной основы евклидовой геометрии стала особенно актуальной. К концу 19 века было опубликовано много работ, посвященных этому вопросу, но наиболее полное и ясное решение проблемы обоснования евклидовой геометрии было изложено в знаменитой книге Давида Гильберта «Основания геометрии». Она была опубликована в 1899 году и в 1903 году была удостоена международной премии имени Н.И. Лобачевского. В книге приведен полный, достаточно простой и ясный перечень аксиом трехмерного евклидова пространства, а также проведен их анализ, т.е. установлена их непротиворечивость, независимость основных аксиом и их полнота.