История попыток доказательства пятого постулата Евклида

Лекция 5.

Литература [1]§ 67 ‑ 70, [2]§ 8

Первые геометрические представления зародились в глубокой древности и были вызваны чисто практическими потребностями. Само слово “Геометрия” переводится с древнегреческого языка как “Землемерие”. Можно представить себе множество реальных, насущных задач, для решения которых необходимо использовать простейшие геометрические умения и навыки: провешивание прямой линии на местности, построение прямого угла, измерение площади земельного участка или объема сосуда и т.п. Развитию геометрических учений в древности посвящена обширная историческая литература. В нашу задачу не входит ее подробное описание. Остановимся только на краткой характеристике геометрических достижений древнегреческих математиков.

В истории развития цивилизации научные достижения древнегреческих ученых занимают особое место. Мыслители древней Греции впервые занимались научными исследованиями ради занятий наукой, отталкиваясь от их практической и утилитарной направленности, но и абстрагируя от нее. Они заложили и разработали методологические основы современной научной деятельности.

За сравнительно короткий период 7 по 3 век до нашей эры древнегреческие ученые превратили разрозненные геометрические знания и представления в систематизированную научную теорию, характеризуемую высокой степенью абстракции. Начало древнегреческой эпохи развития геометрии связывают с Фалесом из города Милета (635 - 548 г.г. до наше эры). Он считается родоначальником греческой науки и философии. Ему приписывают, например, доказательства свойств вертикальных углов, углов при основании равнобедренного треугольника, свойств отрезков, отсекаемых параллельными прямыми от сторон угла и ряд других. Однако только пифагорейцы, последователи древнегреческого ученого Пифагора (570 - 471 г.г. до нашей эры) придали геометрии характер науки, рассматривая геометрические свойства фигур и пространственных тел с интеллектуальной и нематериальной точки зрения. В школе Пифагора, в частности, были доказаны свойства суммы углов треугольника, геометрический способ решения квадратных уравнений, знаменитая теорема Пифагора, существования несоизмеримых отрезков и пяти типов правильных многогранников, экстремальные свойства круга и шара.

Интересно отметить отношение к математике в школе Платона (429 -348 г.г. до нашей эры). Хотя Платон не сделал математических открытий, но, как писал известный историк математики Гейберг, логическая выучка, заложенная им, в значительной мере содействовала систематическому построению элементарной математики. Он придал ей ту логическую точность и безупречность, которая стала впоследствии ее отличительной чертой. Известно предание, что над входом в организованную им Академию было написано: “Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии”. Следует отметить, что такое отношение к математике было характерно для большинства научных школ в древней Греции. Объем научных знаний в античные времена был достаточно невелик, и каждый античный ученый являлся специалистом, по сути, во всех их областях. Он учил своих учеников всему, что знал и умел. Вершиной всех наук считалась философия. Но для ее постижения необходимо было изучить геометрию, которая являла собой пример логически стройного и безупречного научного знания, закладывающего методологические основы изучения наиболее общих явлений окружающего мира.

К третьему веку до нашей эры, накопив обширный фактический материал, древнегреческие ученые были поставлены перед необходимостью его систематизации и приведения в стройную логическую систему. За решения этой задачи принимались различные ученые. Однако их произведения не дошли до наших дней и были забыты после появления на свет знаменитых “Начал” Евклида.

О жизни Евклида (около 330 - 275 г.г. до нашей эры) почти ничего неизвестно. С достоверностью можно только сказать, что он являлся учеником школы Платона и преподавал математику в Александрии во времена царя Птолемея 1, одного из сподвижников Александра Македонского. В философском смысле структура “Начал” следует четкой логической схеме построения научной теории, разработанной в школах Платона и Аристотеля. Из этой схемы вытекает, что научная теория состоит в исследовании причин, объясняющих связь явлений. Научные положения должны выводиться из первоначальных посылок с помощью умозаключений, построенных по законам формальной логики. Поэтому в основу “Начал” Евклид положил определения, сформулировал аксиомы и постулаты, а затем логически безупречно выводил из них остальные предложения, описывающие геометрические свойства плоских фигур и пространственных тел. Такая структура “Начал” определила их дальнейшую судьбу. Более двух тысячелетий они использовались при обучении школьников математике, выдержала с 1482 года более 500 изданий (больше издавалась только библия), а в Англии до середины 19 века обучение в школах велось по “Началам” Евклида. Известно, что двенадцатилетний Эварист Галуа, знаменитый французский математик, заложивший основы современной алгебры, благодаря этой книге за одну ночь постиг всю красоту и прелесть занятий математикой, читая формулировки положений, доказывая их самостоятельно и размышляя, сверяясь с книгой, над дальнейшими путями развития теории.

Начала состоят из 14 книг. До нас дошло только 13, последняя 14 книга, посвященная теории конических сечений, была утеряна и нам о ней известно только благодаря комментариям последователей Евклида. Каждая книга начинается с определений, постулатов и аксиом. Первая из них содержит 35 определений, 5 постулатов и 5 аксиом. По меткому выражению Ламберта, Евклид поступает так, “как поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить учеников с названиями орудий своего труда”.

Рассмотрим некоторые из определений первой книги:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Концы линии суть точки.

4. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же или края поверхности суть линии.

7. Плоская поверхность есть та, которая одинакова расположена относительно всех своих прямых.

Предварительный анализ приведенных определений показывает, что они имеют чисто описательный характер. В качестве основных понятий принимаются элементы длины и ширины, с помощью которых определяются точки, прямые и плоскости. Такой подход легко объясним, если вспомнить, что эти основные понятия пришли в геометрию из практики. Измерение длины линии - основная операция в землемерии. Определения Евклида отражают естественный путь абстракций, но не имеют точного содержания, пригодного для логических построений, весьма туманны и не используются в дальнейших рассуждениях. Вспомним современные школьные учебники. Их авторы не дают определения точки, прямой и плоскости. Они описывают их, дают понять, что эти понятия не определяются, а концентрируют в себе некоторые свойства, называемые геометрическими, материальных объектов: луча света (прямая), плоской поверхности стола (плоскость), точечного следа карандаша на бумаге (точка).

Приведем формулировки постулатов и аксиом первой книги “Начал”.