Теория вопроса. Броуновское движение – непрерывное, беспорядочное перемещение малых частиц вещества, взвешенных в жидкости или газе

Броуновское движение – непрерывное, беспорядочное перемещение малых частиц вещества, взвешенных в жидкости или газе, - представляет собой одно из наиболее ярких и доступных наблюдению подтверждений основных положений молекулярно-кинетической теории вещества.

Взвешенная в жидкости, броуновская частица совершает хаотическое движение под действием ударов молекул. Вследствие их хаотического движения, импульс, передаваемый частице за макроскопически малый промежуток времени, является случайной величиной. Следовательно, случайной величиной будет и сила , действующая на частицу. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения частицы имеет вид

(1)

Сила возникает вследствие ударов молекул, и поскольку частица движется, то в направлении противоположном движению она получает в среднем больше ударов, чем с обратной стороны. Поэтому силу необходимо представить в виде двух слагаемых: - случайной силы со средним значением равным нулю < > = 0, и силы вязкого трения пропорциональной скорости частицы.

Следуя Эйнштейну где b – подвижность частицы.

(2)

Для шарообразной частицы подвижность была теоретически вычислена Стоксом:

где η – вязкость жидкости, a – радиус частицы.

Уравнение движения (2) в проекции на некоторое направление х будет

или

(3)

Очевидно, что средние значения проекций ускорения и силы равны нулю. Умножим все члены уравнения (3) на х:

Используя очевидные равенства и выражение (3) приводим к виду

(4)

Если предположить, что к системе броуновских частиц применима эргодическая гипотеза, то можно провести усреднение выражения (4) по ансамблю частиц. Поскольку операции усреднения и дифференцирования коммуникативны (перестановочны), то получим

(5)

Вследствие того, что броуновская частица находится в тепловом равновесии со средой, то по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, . Кроме того, поскольку смещение x частицы и сила являются независимыми случайными величинами, то . Обозначив в (5) получим неоднородное дифференциальное уравнение

(6)

общее решение которого имеет вид

(7)

где – значение в начальный момент времени, которое можно положить равным нулю. С учетом этого, из (7) следует

и

(8)

Если , то разложив экспоненту в ряд Маклорена до второго члена включительно, получим

Т.е. при малых промежутках времени t броуновская частица движется равномерно со средней скоростью теплового движения. При из (8) следует, что

(9)

Так как r²= x²+ y²+ z², то < r² > =< x² > +< y² > +< z² >, вследствие изотропности броуновского движения < x² > =< y² >=< z² >. Поэтому

(10)

Таким образом, средний квадрат смещения броуновских частиц пропорционален времени t наблюдения (формула Эйнштейна).