Теорема Котельникова

Принципиально важным теоретически и практически является вопрос о выборе числа отсчетов сигнала для его преобразования в цифровую форму и дальнейшего восстановления сигнала по его отсчетам. Как часто надо делать равномерные выборки произвольного сигнала, чтобы после преобразования в цифровую форму, а затем снова в аналоговую была сохранена форма сигнала? Ответ на этот важный вопрос дает теорема об отсчетах или теорема Котельникова (за рубежом именуе­мая также теоремой Найквиста, теоремой об отсчетах и т. д.): «Если спектр сигна­ла e{t) ограничен высшей частотой f_B, то он без потери информации может быть представлен дискретными отсчетами с числом, равным 2f_B». При этом сигнал восстанавливается по его отсчетам e(kdt), следующим с интервалом времени dt=1/f_B, с помощью фильтра, реализующего восстановление по формуле:

(8.1)

Для восстановления непрерывного сигнала по его выборкам достаточно распо­лагать функцией sinc(t)=sin(t)/t с учетом ее особого значения sinc(t)=l при x = 0.

Чтобы восстановить исходный сигнал по его отсчетам надо иметь численные значения их и значение интервала дискретизации dt. Все эти данные нетрудно хранить в запоминающем устройстве. Если увеличить dt при восстановлении сиг­нала по формуле (8.1) в к раз, то восстановленный сигнал без изменения формы будет растянут в к раз и его можно отобразить на экране достаточно низкочастот­ной ЭЛТ с простым низкочастотным усилителем.

Для восстановления сигнала не обязательно пользоваться фильтром на основе базиса Котельникова. Возможно применение и более простых фильтров, вплоть до обычного конденсатора или RС-фильтров нижних частот. Правда, при этом нужно несколько увеличивать частоту выборок.

Обычно низкочастотные сигналы воспроизводятся с тем же шагом, что и при их дискретизации. Это означает работу в реальном масштабе времени. Однако высокочастотные сигналы обычно воспроизводятся при умножении периода дискретизации. Этот переход иногда заметен и бросается в глаза.

Однако увеличение частоты работы АЦП является не единственным путем по­вышения временной разрешающей способности современных цифровых и аналогово-цифровых осциллографов. У некоторых моделей осциллографов для повы­шения разрешающей способности вместо равномерно распределенных отсчетов используются неравномерно распределенные отсчеты с периодом, уменьшающим­ся при высокой крутизне изменения входного сигнала. Другой путь - выполнение дискретизации при случайном положении отсчетов. Для высокочастотных пе­риодических сигналов такая мера вместе со статистической обработкой (накопле­нием, усреднением и сглаживанием) нередко позволяет резко повысить разрешающую способность осциллографа во времени, упростить построение осциллографов и сделать их цену более доступной.

Итак, специфика цифровых осциллографов заключается в представлении реальных процессов их отдельными отсчетами. Для того чтобы получить изображение процесса не в виде отдельных точек, а непрерывных линий, нужно использовать тот или иной вид интерполяции. Напомним, что математически интерполяция является вычислением значений некоторой функции, заданной отдельными узловыми точками, в промежутках между узлами.

Простейшей является линейная интерполяция, которая сводится к соединению узловых точек отрезками прямых. Однако при изображении даже простых плавных процессов, например, синусоидальных, получаемая из отрезков прямых осциллограмма выглядит очень грубой, если число отсчетов менее 10. при большем числе отсчетов, порядка 100 и более, результат оказывается намного лучше.

В большинстве случаев (но вовсе не всегда) желательно применять более тонкую интерполяцию, обеспечивающую плавность осциллограмм. Наиболее распространенной является интерполяция вида sin(t)/t. Однако панацеей всех бед и эта интерполяция служить не может. На самом деле точная зависимость сигнала в промежутках между узлами неизвестна, поэтому любая зависимость не может быть точной или предпочтительной для любой формы сигнала.