Результатов измерений

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона [3, 48] возможно при большом числе измерений (п > 50) и заключается в вычислении величины c² (хи-квадрат):

(8.1)

где n_i, N_i — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; P_i — значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n ® ¥ случайная величина c² имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m - 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО.

Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i –N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия c² также было бы равно нулю. Таким образом, c² естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий c² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения c², входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m – 1 - r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3. Часть квантилей распределения c²_q приведена в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Значения c² при различном уровне значимости

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения c² меньше определенного из таблицы значения c_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же c²выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

• определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО S_x по формулам (6.9) и (6.11);

• группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют "так же, как и при построении гистограммы;

• для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

• вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов х_i0 производят переход к нормированным серединам z_i = (х_i0 - x̅)/S_x. Затем для каждого значения z_iспомощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(z_i). Например, для нормального закона

По найденному значению f(z_i) определяют ту часть N_i имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов N_i = nhf(z_i)/S_х, где n — общее число наблюдений;

• если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения;

• по формуле (8.1) определяют показатель разности частот c²;

• выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по табл. 8.1 находят границу критической области c_q², такую, что P{c² > c_q²} = q. Вероятность того, что полученное значение c² превышает c_q², равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что c² > c_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же c² < c_q², то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение c_q² (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие c² < c_q²и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 < q < 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность P{c_qн² < c² < c_qв²}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q₁ + q₂. Как правило, принимают q₁ = q₂. По табл. 8.1 для P{c² > c_q²} = q находят c₁² при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и c₂² уровня значимости 1 — q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если