Экспоненциальные распределения описываются формулой [4]
(6.5)
где 
; s — СКО; a — некоторая характерная для данного распределения константа; Хц — координата центра; Г(х) — гамма-функция. В нормированном виде, т.е. при Хц = 0 и sl = 1,
где А(а) — нормирующий множитель распределения.
Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением
Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при a = 1/n, n = 1; 2; 3;... При a = n = 2; 3; 4;... он может быть рассчитан по приближенным формулам, приведенным в [53].
Эксцесс и энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений соответственно определяются по формулам:
Анализ приведенных выражений показывает, что константа а однозначно определяет вид и все параметры распределений. При a < 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При a = 1 получается распределение Лапласа р(х) = 0,5е-|x|, при a = 2 — нормальное распределение или распределение Гаусса. При a > 2 распределения, описываемые формулой (6.5), близки по свойствам к трапецеидальным. При очень больших значениях a формула (6.5) описывает практически равномерное распределение. В табл. 6.3 приведены параметры некоторых из экспоненциальных распределений.
Таблица 6.3
Значения параметров экспоненциальных распределений
при различных показателях a
| Распределение | a | e | к | k |
| Лапласа | 0.408 | 1,92 | ||
| Нормальное (Гаусса) | 0,577 | 2,07 | ||
| Равномерное | ¥ | 1,8 | 0,745 | 1,73 |
