Пи-теорема

Всякая зависимость (уравнение), описывающая некоторое физическое явление и связывающая между собой физическую величину, среди которых -обладают независимыми размерностями, может быть преобразовано к зависимости (уравнению), связывающей безразмерных комплексов, составленных из величин с зависимой размерностью.

Доказательство.

Пусть имеем некоторую (размерную или безразмерную) величину, которая является функцией независимых между собой размерных величин .

(2.3)

Пусть теперь среди размерных величин первые величины имеют независимые размерности. Примем величин с независимыми размерностями за основные величины и введём для их размерностей обозначения

Размерности остальных величин будут иметь вид

Изменим теперь единицы измерения величин соответственно в раз.

В новой системе единиц соотношение (2.3) примет вид

Это равенство показывает, что функция f обладает свойством однородности относительно единиц измерения величин .

Выберем числа для сокращения количества независимых переменных.

Тогда значения первых аргументов будут равны 1, а численные значения параметров определятся формулами:

, ,…, ,

Числа (прописная греческая буква «пи») имеют нулевую размерность и не зависят от выбора системы единиц измерения. Поэтому в любой системе единиц измерения соотношение (1) можно представить в виде

(2.4)

где и все аргументы функции безразмерные.

ПИ-теорема находит применение при планировании эксперимента и представлении экспериментальных данных.

Теория размерностей подводит теоретическое обоснование системам единиц физических величин.