Способы задания случайной величины

Закон распределение Пуассона

 

Этот закон позволяет определить вероятность наступления случайного события A (отказов) ровно m за промежуток времени t:

, , ,

где a = λt – параметр закона распределения Пуассона – математичес-

кое ожидание числа событий за время t;

λ – интенсивность случайного события (отказов).

Закон распределения Пуассона может быть получен из биномиального распределения при достаточно больших n и малых р тогда

.

 

Биномиальное распределение

 

Если производится серия n независимых опытов, причём вероятность появления изучаемого случайного события A в каждом опыте постоянна и равна р, а вероятность его непоявления равна , то вероятность появления данного события точно m раз равна

где

 

 

Пример № 1. В распределительном пункте (РП) установлено пять автоматических выключателей. Нормальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом в 1000 штук, в которой было 950 исправных выключателей и 50 не исправных. Найти вероятность исправной работы РП.

Решение. Число элементарных событий ,

Обозначим: событие А есть исправная работа РП, оно осуществляется если все выключате-ли выбраны из числа исправных.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, равно . Следовательно,

При одновременном изучении двух или нескольких событий различают события совмест-ные и несовместные.

 

2. Федосенко Р. Я. Трансформатор в местной распределительной электрической сети. –

М.: Издательство министерства коммунального хозяйства РСФСР, – 1963.

 

Пример №2. Известно (из опыта работы), что удельная повреждаемость (интенсивность отказов) тран­сформаторов (6 – 10)/0,4 кВ конкретной мощности равна λ = 0,02 [1/год] повреждения за t = 1 год, т. е. в среднем повреждаются (наступает отказ) 2 трансформатора из 100 работающих в данной сети. Принимаем её неизменной в течение всего срока службы трансформатора

Параметр закона Пуассона за год a = λt = 0,02∙1 = 0,02 [о.е.].

Параметр закона Пуассона за десять лет a = λt = 0,02∙10 = 0,2 [о.е.].

Вероятность наступления случайного события A ровно m отказов за промежуток времени t, и заключающееся в том, что трансформатор не повредится за год (m = 0 – число повреж­дений равно нулю) составляет

т. е. 98 шансов из 100 за то, что трансформатор, питающий данного потреби­теля, не повредится, а 2 шанса, что будут перерывы питания.

Вероятность иметь ровно один отказ трансформатора в год (m = 1, λ = 0,02[1/год],

t = 1 год и a = λt = 0,02∙1 = 0,02 [о.е.])

ничтожно мала.

Вероятность иметь более одного повреждения (m > 1, λ = 0,02[1/год], t = 1 год и

a = λt = 0,02∙1 = 0,02 [о.е.]) составит:

 

0,0004.

 

Отметим, что если после первого повреждения трансформатор заменили, то с такой же вероятностью, равной 0,02, можно ожидать повреждения вновь установленного трансформатора.

 

Посмотрим, как изменяются значения вероятностей перерывов питания за t = 10 лет.

В этом случае среднее число повреждений λ = 10∙0,02 = 0,2, и a = λt = 0,02∙10 = 0,2 [о.е.], а вероят­ности не иметь отказ (m = 0) или иметь m = 1, m = 2, m = 3 отказов соответственно равна:

Анализируя эти цифры, можно видеть, что около 82 шансов из 100 за то, что трансформатор не повредится и, следовательно, перерыва в питании по­требителей не будет, а 18 шансов за то, что перерывы питания будут; 16 шан­сов свидетельствуют о том, что произойдет только один перерыв, и около 2 шансов, что будет два и более перерывов.

На основе закона редких событий в основной части книги решается задача определения числа повреждений трансформаторов в сети.

 

3. Волков Н. Г. Надёжность электроснабжения. Учеб. пособие/ Том. политех. ун-т. – Томск, 2003. – 140 с.

 

Пример №3. Силовой трансформатор в городской электрической сети работает в течение времени Т, которое является случайной величиной и распределено по показательному закону с плотностью:

где λ = 0,03 1/год.

По истечении времени Т вследствие роста нагрузки, повреждения его или других причин трансформатор заменяют другим.

Поставим два блока вопросов.

1. Определить:

– среднюю продолжительность эксплуатации трансформатора;

– вероятность надёжной работы трансформатора в течение первых 10 лет;

– вероятность отказа трансформатора в период между 10 и 20 годами эксплуатации.

2. Определить вероятность того, что за время эксплуатации

t = 30 годам:

– трансформатор не понадобится заменять ни разу;

– трансформатор потребуется заменить два раза;

– трансформатор потребуется заменить не менее двух раз.