Расчёт структурной надёжности резервированных систем

2.2.1 Классификация методов резервирования

Уровень надёжности современной элементной базы электроники, радиотехники, механических элементов электротехники характеризуется значениями интенсивности отказов . Скоро можно ожидать снижение значения до значения Если система состоит из элементов, которые равно надёжны

Для экспоненциального закона распределения времени наработки до отказа

При сроке службы этой системы часов вероятность безотказной работы системы

Очевидно, что без резервирования элементов сложных систем не может быть обеспечен необходимый уровень надёжности. В соответствии с ГОСТ 27.002-89 резервированием называется применение дополнительных элементов с целью сохранения работоспособного состояния системы при отказе ряда её элементов путём введения избыточности.

Разнообразные методы резервирования принято разделять по следующим признакам:

1. По виду резервирования (структурное резервирование, предусматривающее применение резервных элементов схемы; временное резервирование, возникающее за счёт производительности объекта и инерционности его элементов; информационное резервирование с применением избыточной информации; функциональное резервирование, при котором заданная функция может выполняться различными способами и разными техническими средствами; нагрузочное резервирование – это резервирование, заключающееся в обеспечении способности элементов выдерживать действующие на них нагрузки, либо введении дополнительных защитных или разгружающих элементов).

Примечание. Указанные выше виды резервирования могут быть применены либо к системе в целом, либо к отдельным элементам системы или к группам элементов. В первом случае резервирование называется общим, во втором – раздельным; сочетание различных видов резервирования в одном объекте называется смешанным.

2. По способу включения резервных элементов (постоянное резервирование, т.е. параллельное включение основного и резервного элементов без переключающих устройств; динамическое резервирование – это резервирование с перестройкой структуры объекта при возникновении отказа его элемента; резервирование замещением, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента посредством переключения; скользящее резервирование, когда группа основных элементов резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменить любой отказавший элемент в группе; мажоритарное резервирование, которое широко применяется в системах контроля и защиты).

Ниже изображено мажоритарное резервирование «2 из 3».

ИЛИ

Рисунок 2.1 - Пример мажоритарного резервирования «2 из 3»

Степень избыточности характеризуется кратностью резервирования – это отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов, выражаемое несокращаемой дробью. Резервирование с целой кратностью – этот термин означает, что один основной элемент резервируется одним или более резервными элементами. Термин «резервирование с дробной кратностью» означает, что два или более однотипных основных элементов резервируются одним или более резервными элементами.

Нагруженный резерв – это резерв, работающий в одном режиме с основными элементами.

Облегчённый (недогруженный) резерв – резервные элементы работают в облегчённом режиме в сравнении с основными элементами, т.е. менее нагружены. Выделяют ненагруженный резерв.

Если в случае отказа резервных элементов они подлежат восстановлению, то такое резервирование называется резервированием с восстановлением, в противном случае имеет место резервирование без восстановления. Восстанавливаемость резерва обеспечивается при наличии системы контроля работоспособности элементов, так как число скрытых отказов может быть больше, чем при отсутствии резервирования.

2.2.2 Расчёт надёжности при общем и раздельном резервировании

Общее резервирование с постоянно включённым резервом (с целой кратностью). Упрощающие предположения: а) отказы элементов системы описываются простейшими потоками отказов; б) резервируемые и резервные элементы равно надёжны. Итак, заданы число основных элементов в системе N; вероятность безотказной работы i –го элемента, кратность резервирования.

Рисунок 2.2 – Схема общего резервирования с постоянно включённым

резервом

Для системы без резервирования при независимых отказах вероятность безотказной работы равна

(2.12)

а вероятность отказа равна

(2.13)

Вероятность отказа системы с общим резервированием составляет

(2.14)

Так как элементы системы равно надёжны, то или

(2.15)

где - число резервированных цепей.

Для экспоненциального закона надёжности

где - интенсивность отказов любой из систем.

(2.16)

(2.17)

Средняя наработка до отказа равна

(2.18)

плотность вероятности

(2.19)

интенсивность отказов

(2.20)

Раздельное резервирование с постоянно включённым резервом.

Схема этого вида резервирования имеет вид

Рисунок 2.3 – Схема раздельного резервирования с постоянно

включённым резервом

Вероятность того, что произойдёт отказ системы из-за отказов функциональной группы элементов i – го типа, равна произведению вероятностей отказа i – го элемента и всех элементов его резервирующих

(2.21)

а вероятность безотказной работы функциональной группы элементов равна

(2.22)

Если основные и резервные элементы равно надёжны, то

(2.23)

Полагая, что функциональные группы в системе соединены последовательно, и принимая их отказы независимыми в совокупности, получаем

(2.24)

Принимая экспоненциальный закон надёжности, и полагая, как и ранее, что все элементы системы равно надёжны, вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле

(2.25)

где интенсивность отказов равна

(2.26)

Выражение для средней наработки до отказа имеет вид

(2.27)

Общее резервирование замещением с целой кратностью.

При резервировании замещением необходимо устройство, которое включает резервные элементы взамен отказавших основных элементов. Само это устройство часто называют переключателем, и оно обладает определённой вероятностью отказа. По этой причине вероятность отказа системы резервированной замещением вычисляют по формуле

(2.28)

N N N

Рисунок 2.4 – Схема общего резервирования замещением

Вероятность безотказной работы системы определяется по рекуррентному соотношению

(2.29)

где вероятности безотказной работы резервированной системы кратности и соответственно; вероятность безотказной работы основной системы в течение времени ; плотность вероятности отказов резервированной системы кратности в момент времени . Рекуррентная формула (2.29) позволяет получить расчётные соотношения для устройств любой кратности резервирования. Для получения этих формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо и их выражения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием резерва.

При экспоненциальном законе надёжности и ненагруженном состоянии резерва

(2.30)

(2.31)

где интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа основного (не резервированного) элемента системы.

При экспоненциальном законе надёжности и недогруженном состоянии резерва

(2.32)

(2.33)

здесь интенсивность отказов резервного элемента

до замещения.

При нагруженном состоянии резерва формулы для и совпадают с формулами для общего резервирования с постоянно включённым резервом и целой кратностью.

Раздельное резервирование замещением с целой кратностью. Вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле

(2.34)

где вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i – го типа, которые резервированы по способу замещения. Вычисляется по формулам общего резервирования замещением (2.29), (2.30), (2.32).

Пример 1. Вероятность безотказной работы преобразователя частоты переменного тока, питающего электродвигатель переменного тока главного циркуляционного насоса технологического аппарата в течение t = 1000 часов равна 0,95. Для повышения надёжности системы управления насосом есть ещё один такой же преобразователь частоты, который включается в работу при отказе первого. Определить вероятность безотказной работы системы из двух преобразователей, полагая, что переключающее устройство является абсолютно надёжным, и построить графики зависимости от времени функций и

Решение. Из условия задачи, очевидно, что имеет место общее резервирование замещением кратностью =1 с не нагруженным резервом.

по условию задачи ; отсюда ; а вероятность безотказной работы системы

Для t = 1000 часов и

Графики и имеют следующий вид

5,0

3,0

1,0

, час

0 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0

Пример 2. Логический контроллер имеет вероятность безотказной работы Для повышения надёжности он резервируется ещё одним таким же контроллером в состоянии нагруженного резерва, переключающий элемент имеет вероятность безотказной работы . Определить, каким должно быть значение вероятности безотказной работы переключателя, чтобы вероятность безотказной работы системы была не ниже 0,98.

Решение. Так как раздельное резервирование замещением с нагруженным резервом соответствует общему резервированию замещением, то вероятность безотказной работы системы следует вычислять по формуле

Решим полученное неравенство

отсюда вероятность безотказной работы переключателя равна или больше

2.2.3 Расчёт надёжности при общем резервировании с дробной кратностью и нагруженным резервом

При резервировании с дробной кратностью эксплуатация резервированной системы возможна при условии, если количество исправных элементов не меньше необходимого для нормальной работы.

Рисунок 2.5 - Схема общего резервирования с дробной кратностью

Кратность резервирования определяется из соотношения где - общее число элементов расчёта резервированной системы; - число элементов, которое необходимо для нормальной работы; - число резервных элементов.

Количество замещений, не нарушающих работу резервированной системы в целом, не может быть больше . В предположении абсолютной надёжности переключающих устройств и равной надёжности элементов системы с интенсивностью отказов средняя наработка до отказа такой резервированной системы равна

(2.35)

Система в течение времени будет работать безотказно, если за это время произойдёт хотя бы одно из следующих событий: - все элементы исправны; - один элемент отказал, элементов исправны; элементов отказали, элементов исправны; элементов отказали, а элементов исправны. Количество различных вариантов равно числу сочетаний

(2.36)

В этом случае вероятность безотказной работы системы определяется соотношением

(2.37)

где - вероятность безотказной работы элемента при условии, что все элементы равно надёжны.

Пример 3. В системе защиты от превышения уровня в технологическом аппарате применена схема группирования уровнемеров «3 из 5», т.е. результат измерения считается верным по показаниям трёх приборов. Определить вероятность безотказной работы этой системы, если переключатель имеет вероятность безотказной работы .

Решение. Для мажоритарного резервирования по схеме «3 из 5» = 3, = 2. Тогда

для

а вероятность безотказной работы системы будет равна

2.2.4 Логико-вероятностные методы расчёта резервированных систем

Основные правила преобразования логических высказываний

Логико-вероятностный метод расчёта надёжности состоит в описании схемы системы при помощи аппарата математической логики с последующим использованием выводов теории вероятностей для определения показателей надёжности. При расчётах характеристик надёжности наиболее часто применяют следующие правила для преобразования сложных высказываний.

(2.38)

Логическую функцию сложного высказывания необходимо привести к минимальной бесповторной форме, «арифметизировать» её и затем заменить высказывание его вероятностью. Логические уравнения, содержащие операции дизъюнкции (логическое суммирование), конъюнкции (логическое умножение) и отрицания, можно привести к арифметическому виду, если заменить логические операции арифметическими по следующему правилу:

(2.39)

Пример 4. Определить вероятность сложного высказывания , если вероятность высказываний и равна 0,8.

Решение. арифметизируем логическую функцию: Заменим события их вероятностями и получим

Расчёт надёжности, основанный на использовании

параллельно-последовательных структур

Схема надёжности для элементов, которые соединены параллельно, имеет вид

Рисунок 2.5 - Схема расчёта надёжности параллельно соединённых

элементов

Условие работоспособности системы: система работоспособна, если работоспособен элемент или элемент , или элемент . Этому условию соответствует логическая формула .

Минимизируем это выражение

Примечание. .

Арифметизируем выражение для логического высказывания и заменим события их вероятностями:

Вероятность безотказного состояния системы, состоящего из параллельно соединённых элементов, равна

Среднее время работы до отказа (2.40)

(2.41) Интенсивность отказов системы, состоящей из параллельно соединённых элементов с интенсивностью отказов (Пуассоновский поток событий) равна

(2.42)

Расчётные формулы для элементов, соединённых последовательно

Рисунок 2.6 - Расчётная схема надёжности для элементов,

соединённых последовательно

Условие работоспособности системы следующее: система работоспособна, если работоспособен элемент , элемент , элемент .

Этому условию соответствует логическая формула Арифметизируем эту логическую формулу Заменяем события их вероятностями

Для системы, состоящей из последовательно соединённых элементов, показатели надёжности таковы:

(2.43)

Пример 5. Определить вероятности состояний системы, схема которой и граф состояний изображены на рисунке 2.7, если интенсивность отказов элементов 1 и 2 равна 0,02; а интенсивность восстановления равна 1,0.

С₂

С₁

С₀

Рисунок 2.7 - Расчётная схема резервированной системы и

её граф состояния

Решение. Итак, интенсивность переходов системы в состояния С₀, С₁, С₂ равны:

Финальные вероятности для цепи Маркова вычисляются по формулам

; .

Вероятность состояния С₀:

Вероятность состояния С₁ равна

Вероятность состояния С₂ равна

Способы преобразования сложных структур

К этим преобразованиям относятся: преобразование с эквивалентной заменой «треугольника» на «звезду» и обратно; и разложение сложной структуры по базовому элементу.

Сущность способа преобразования сложных структур с эквивалентной заменой «треугольника» на «звезду» заключается в том, что соединение одной конфигурации заменяют на соединение другой конфигурации, более простое с точки зрения расчёта надёжности. При этом подбираются такие характеристики нового соединения, чтобы его показатели надёжности были такими же, что и до преобразования.

Допустим, что необходимо заменить «треугольник» «звездой» при условии, что вероятность отказа элемента равна , элемента равна , элемента равна . Переход к соединению «звездой» не должен изменять надёжность цепей 1-2, 1-3, 2-3.

Поэтому значения вероятности отказов элементов должны удовлетворять следующей системе уравнений:

(2.44)

Если пренебречь произведениями вида и другими, то в результате решение системы уравнений (2.46) может быть записано в виде

(2.45)

Для обратного преобразования «звезды» в «треугольник» используют соотношения (2.47)

Пример 6. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой изображена ниже, если известно, что вероятность безотказной работы каждого из элементов системы равна 0,9.

Решение. Преобразуем соединение элементов 1-2-5 из «треугольника» в «звезду» и определим эквивалентные значения вероятностей отказов для новых элементов :

Определим значения вероятностей исправного состояния элементов эквивалентной схемы: Схема эквивалентной системы имеет вид

Вероятность безотказной работы эквивалентной системы равна

Преобразование с помощью разложения сложной структуры

по некоторому базовому элементу

Этот способ преобразования сложных структур основан на использовании теоремы о сумме вероятностей несовместных событий. В системе выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и решают задачу в два этапа: 1) сначала допускают, что базовый элемент находится в работоспособном состоянии (сигнал через него проходит); 2) затем допускают, что базовый элемент находится в состоянии отказа (сигнал через него не проходит).

Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структурная схема преобразуется в две новые схемы. В одной из них вместо базового элемента ставится «короткое замыкание», а во второй – «разрыв». Вычисляется вероятность безотказной работы каждой из полученных структур и они перемножаются: первая - на вероятность безотказного состояния базового элемента; вторая – на вероятность отказа базового элемента. Полученные произведения суммируются. Эта сумма равна искомой вероятности безотказной работы исходной системы.

Пример 7. Решить пример 6 методом разложения сложной структуры.

В качестве базового элемента принимаем элемент 5. «Закоротим» базовый элемент и присоединим его с вероятностью безотказной работы к полученной структуре последовательно. В результате получим новую схему

Произведём «обрыв» базового элемента. К полученной структуре присоединяют последовательно базовый элемент, имеющий вероятность отказа . В результате получим схему вида

Искомая вероятность равна сумме вероятностей безотказной работы полученных схем, каждая из которых является параллельно-последовательной:

= 0,9(0,9 + 0,9 – 0,9²)² + 0,1(2 0,9² – 0,9⁴) = 0,978.

Расчёт надёжности иерархической структуры передачи данных

Допустим, что необходимо определить для информационной системы, схема которой приведена ниже, вероятность передачи информации от верхнего элемента «0» до четырёх, трёх, двух, одного из нижних элементов и для полного отказа в передаче информации. Вероятность передачи информации определяется только аппаратной надёжностью каналов связи. Вероятность исправного состояния канала связи равна 0,9.

0 2 5

1 3

Решение. Обозначив 1,2,3,4,5,6 – события, заключающиеся в том, что соответствующие каналы исправны, запишем условие для передачи и