Лекции.Орг


Поиск:




Производная и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции в точке .

Обозначение: , , , .

Таким образом,

.

(слайды 1 и 2)

Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования.

Пример. Найти по определению производную функции в точке .

.

 

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат oxy кривая Г является графиком функции (слайд 3), точки Г. Прямая L, проходящая через точки М0, М, называется секущей по отношению к Г. Уравнение секущей:

.

Подставляя в уравнение секущей координаты точки М, получим

угловой коэффициент секущей есть тангенс угла наклона секущей к оси абсцисс.

Пусть так, что . Если при этом секущая L стремится к некоторому предельному положению Т так, что угол между прямыми L и Т стремится к нулю, то прямая Т называется касательной к кривой Г в точке М0. Угловой коэффициент касательной есть тангенс угла наклона касательной в точке М0, равный пределу отношения при :

.

Геометрически производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке в абсциссой x0 (слайд 4).

Уравнение касательной: .

Переходим к вопросу о механическом смысле производной.

Пусть материальная точка движется по оси ox (слайд 5). Положение точки определяется ее абсциссой и является функцией времени . В момент времени материальная точка находилась в точке М0 с абсциссой . К моменту времени материальная точка переместилась в точку М с абсциссой . Путь, пройденный материальной точкой за время , составил . Отношение есть средняя скорость материальной точки за время . Если существует конечный предел , то он является мгновенной скоростью точки в момент времени . Таким образом:

 

.

М0 М

· ·

0

Таким образом, с механической точки зрения, если известна функция, определяющая движение объекта, то производная от этой функции в фиксированной точке равна мгновенной скорости движения в этой точке.

То же самое относится к любому процессу – физическому, химическому, биологическому, экономическому и т. д.: если известна функция, описывающая течение этого процесса, то производная от этой функции

равна скорости течения процесса (слайд 6).

Переходим к вопросу о дифференциале функции и его геометрическом смысле.

Функция называется дифференцируемой, если

D у = f ¢(х)D х + a(D х)D х,

a(D х) ® 0 при D х ® 0.

Определение 2. Дифференциалом dy функции у = f (x) в данной точке называется главная линейная часть приращения D у функции в этой точке:

dy = f ¢(x)D x.

Применение дифференциала для приближенных вычислений основано на приближенном равенстве

D у» dy Þ f (x + D хf (x) + (x)D х.

Геометрически, как видно из слайда 7, дифференциал функции равен той части приращения функции y = f(x), которая отсекается от этого приращения касательной, проведенной к кривой в той точке, в которой вычисляется производная и дифференциал (слайд 8).

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интерпретация факторов ЛД | А5.Выбор ответа
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-25; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 408 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студент может не знать в двух случаях: не знал, или забыл. © Неизвестно
==> читать все изречения...

1338 - | 943 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.