Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒоверительна€ веро€тность и доверительный интервал




–ассмотренные точечные оценки параметров распределени€ дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. “акие оценки используют только при большом числе измерений. „ем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. ƒл€ практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной веро€тностью:

,

где q Ц уровень значимости; хЌ, х¬ Ц нижн€€ и верхн€€ границы интервала, находитс€ истинное значение оцениваемого параметра.

¬ общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства „ебышева. ѕри любом законе распределени€ случайной величины, обладающей моментами первых двух пор€дков, верхн€€ граница веро€тности попадани€ отклонени€ случайной величины х от центра распределени€ ц в интервал tSX описываетс€ неравенством „ебышева:

,

где SX Ц оценка — ќ распределени€; t Ц положительное число.

ƒл€ нахождени€ доверительного интервала не требуетс€ знать закон распределени€ результатов наблюдений, но нужно знать оценку — ќ. ѕолученные с помощью неравенства „ебышева интервалы оказываютс€ слишком широкими дл€ практики. “ак, доверительной веро€тности 0,9 дл€ многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6SX. Ќеравенство „ебышева дает в данном случае 3,16SX. ¬ св€зи с этим оно не получило широкого распространени€.

¬ метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. ѕод 100%, квантилем хр понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределени€ равна –%. »наче говор€, квантиль Ц это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной веро€тностью . Ќапример, медиана распределени€ €вл€етс€ 50% -ным квантилем х0,5.

Ќа практике 25- и 75%-ный квантили прин€то называть сгибами, или квантил€ми распределени€. ћежду ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их. »нтервал значений случайной величины х между х0,05 и х0,95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называетс€ интерквантильным промежутком с 90%-ной веро€тностью. ≈го прот€женность равна d0,9= х0,95 Ц х0,05.

Ќа основании такого подхода вводитс€ пон€тие квантилъных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной веро€тностью – Ц границ интервала неопределенности ±Δ=±(xp-x1-P) /2=±dP/2. Ќа его прот€женности встречаетс€ –% значений случайной величины (погрешности), a q=(1-–)% общего их числа остаютс€ за пределами этого интервала.

ƒл€ получени€ интервальной оценки нормально распределенной случайной величины необходимо:

Ц определить точечную оценку ћќ X и — ќ Sx случайной величины;

Ц выбрать доверительную веро€тность – из рекомендуемого р€да значений 0,90; 0,95; 0,99;

Ц найти верхнюю хB и нижнюю хH границы в соответствии с уравнени€ми

и .

«начени€ х¬ и х Ќ определ€ютс€ из таблиц значений интегральной функции распределени€ F(t) или функции Ћапласа ‘(t).

ѕолученный доверительный интервал удовлетвор€ет условию

,

где n Ц число измеренных значений; zp Ц аргумент функции Ћапласа ‘(t), отвечающей веро€тности –/2. ¬ данном случае zp называетс€ квантильным множителем. ѕоловина длины доверительного интервала Dp называетс€ доверительной границей погрешности результата измерений.

ѕри отличии закона распределени€ случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель и определ€ть доверительный интервал с ее использованием.

–ассмотренный способ нахождени€ доверительных интервалов справедлив дл€ достаточно большого числа наблюдений n, когда σ=Sx. —ледует помнить, что вычисл€ема€ оценка — ќ Sx €вл€етс€ лишь некоторым приближением к истинному значению а. ќпределение доверительного интервала при заданной веро€тности оказываетс€ тем менее надежным, чем меньше число наблюдений. Ќельз€ пользоватьс€ формулами нормального распределени€ при малом числе наблюдений, если нет возможности теоретически на основе предварительных опытов с достаточно большим числом наблюдений определить — ќ.

–асчет доверительных интервалов дл€ случа€, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперси€ неизвестна, т.е. при малом числе наблюдений n, возможно выполнить с использованием распределени€ —тьюдента S(t,k). ќно описывает плотность распределени€ отношени€ (дроби —тьюдента):

.

где Q Ц истинное значение измер€емой величины. ¬еличины , Sx и вычисл€ютс€ на основании опытных данных и представл€ют собой точечные оценки ћќ, — ќ результатов измерений и — ќ среднего арифметического значени€.

¬еро€тность того, что дробь —тьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (- tp; +tp)

,

где k Ц число степеней свободы, равное (n-1). ¬еличины tp (называемые в данном случае коэффициентами —тьюдента), рассчитанные с помощью двух последних формул дл€ различных значений доверительной веро€тности и числа измерений, табулированы. —ледовательно, с помощью распределени€ —тьюдента можно найти веро€тность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значени€ измер€емой величины не превышает

.

¬ тех случа€х, когда распределение случайных погрешностей не €вл€етс€ нормальным, все же часто пользуютс€ распределением —тьюдента с приближением, степень которого остаетс€ неизвестной. –аспределение —тьюдента примен€ют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 20,...,30 оно переходит в нормальное. –езультат измерени€ записываетс€ в виде:

,

где ƒ Ц конкретное значение доверительной веро€тности. ћножитель t при большом числе измерений n равен квантильному множителю zp. ѕри малом n он равен коэффициенту —тьюдента.

ѕолученный результат измерени€ не €вл€етс€ одним конкретным числом, а представл€ет собой интервал, внутри которого с некоторой веро€тностью ƒ находитс€ истинное значение измер€емой величины. ¬ыделение середины интервала вовсе не предполагает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. ќно может быть в любом месте интервала, а с веро€тностью 1-–ƒ даже вне его.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 900 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

536 - | 431 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.