Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ѕернулли схемасы. Ѕернулли формуласы





19. Ѕернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны.

ќқиғаның әр тәуелс≥з тәж≥рибеде пайда болу ықтималдығы – болса, онда n тәж≥рибеде осы оқиғаның пайда болу саны k0 ең ықтимал сан деп аталады, егер k0 саны осы тәж≥рибелерден пайда болуы мүмк≥н басқа нәтижелерд≥ң ықтималдықтарынан асып кетсе немесе кем болмаса. ≈нд≥ осы ең ықтималды сан k0-д≥ анықтаудың жалпы формуласын табайық. ќл үш≥н ең үлкен ықтималдықты –n (k0) деп ұйғарайық та, оның алдындағы –n (k0-1) мен одан кей≥нг≥

n (k0+1) ықтималдығын алайық. —онымен

болады. Ѕұлардың әр қайсысын жеке жеке қарастырайық. —онда

болып келед≥. Ѕұдан  0≤np+p екен≥ шығады. ≈к≥нш≥ теңс≥зд≥ктен

.

Ѕұдан ≥ np-q Ѕұл ек≥ теңс≥зд≥кт≥ б≥р≥кт≥ргенде, np-q≤ ≤np+p болады. Ѕұл теңс≥зд≥кт≥ң оң жақ бөл≥г≥н түрленд≥рей≥к:

np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.

—онымен, алдыңғы теңс≥зд≥кт≥ң оң жақ бөл≥г≥ сол жақ бөл≥г≥нен б≥р бүт≥н б≥рл≥кке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса, онда айырымы б≥рге тең ек≥ бөлшек сан шығады, б≥рақ m мән≥ бүт≥н сан болғандықтан, ең ықтималды сан б≥реу ғана болады.

—онымен, ең ықтимал сан қос теңс≥зд≥ктен анықталады

np-q≤ ≤n+p (1) және егер:

а) np-q бөлшек сан болса, онда б≥р ең ықтимал сан болады;

б) np-q бүт≥н сан болса, онда ек≥ ең ықтимал сан және +1 болады;

в) np бүт≥н сан болса, онда ең ықтимал сан =np болады.

ћысал: “әуелс≥з 6 сынау жүрг≥з≥лс≥н дей≥к. ќның әрқайсысында ј оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,2-ге тең. ј оқиғасының пайда болуының ең жоғары ықтималдықты санын табу керек. Ўешу≥: ≈септ≥ң шарты бойынша n=6; p=0,2; q=0,8. ≈ң ықтимал сан -д≥ табу үш≥н (1) қос теңс≥зд≥г≥н пайдаланамыз. ќсыған есепт≥ң бер≥лген≥н қойсақ, 6∙0,2-0,8≤ ≤6∙0,2+0,2 немесе 0,4≤ ≤1,4 болады. ћұндағы np+p=1,4, ал np-q=0,4 бөлшек сандары болғандықтан =1.

20. ѕуассонның жуықтау формуласы.


21. ћуавр-Ћапластың жерг≥л≥кт≥к және интегралдық теоремалары. Қолданылу мысалдары


 

22.  ездейсоқ шама: анықтамасы, үлест≥р≥м заңы, үлест≥р≥м функци€сы және оның қасиеттер≥.


24. Үз≥л≥сс≥з кездейсоқ шамалар: үлест≥р≥м тығыздығы, үлест≥р≥м функци€сы. Қасиеттер≥.


25. ≈к≥ өлшемд≥ кездейсоқ шамалар. ќлардың үлест≥р≥м≥.


 

27. Ўартты үлест≥р≥м. Қасиеттер≥

≈гер б≥р аргументт≥ң мән≥н бек≥т≥п, деп алсақ, онда шарты кез≥ндег≥ ’ - ’ кездейсоқ шамасының шартты үлест≥р≥м≥ деп аталады. ќсы үлест≥р≥мн≥ң ықтималдықтары ’=хi оқиғасының шартты ықтималдықтары болады, егер Y=yj орындалды деп болжасақ. Ўартты ықтималдықтың анықтамасы бойынша

“ура осылай ’=хi шарты кез≥ндег≥ ” кездейсоқ шамасының шартты үлест≥р≥м≥ шартты ықтималдықтар көмег≥мен бер≥лед≥:

 

 


28. Өзара тәуелс≥з кездейсоқ шамалар. “әуелс≥з болу критерийлер≥


29. ≈к≥ өлшемд≥ нормаль (гауст≥к) үлест≥р≥м.

 


31. ≈к≥ тәуелс≥з кездейсоқ шаманың қосындысының үлест≥р≥м≥. Үй≥ртк≥ (свертка) формуласы.


32. Ќормаль үлест≥р≥лген өзара тәуелс≥з кездейсоқ шамалардың қосындысының үлест≥р≥м≥н қорыту

Ќормальд≥ үлест≥р≥мдерд≥ң композици€сы нормальд≥ үлест≥р≥лген болады. ќсылай егер ’ пен ” Ц тәуелс≥з нормальд≥ үлест≥р≥лген кездейсоқ шамалар болса, €ғни, болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлест≥р≥лген болады ’ пен ” тәуелд≥ болса, (коррел€ци€ коэффициент≥ ρ≠0), онда Z=X+Y нормальд≥ үлест≥р≥лген болып қалады, параметрлер≥

болады.


 

33. ƒискретт≥ кездейсоқ шаманың математикалық күт≥м≥. Қасиеттер≥

јЌџҚ“јћј. ƒискретт≥к кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥ деп оның барлық мүмк≥н мәндер≥н сәйкес ықтималдықтарына көбейт≥п қосқандағы қосындыны айтамыз.

’ кездейсоқ шамасының мүмк≥н мәндер≥ болсында олардың сәйкес ықтималдықтары болсын. —онда математикалық үм≥т мына теңд≥ктен анықталады:

ћ(’)= (1)

≈гер кездейсоқ шама ’-т≥ң қабылдайтын мәндер≥ ,... ал оларға сәйкес ықтималдықтары ,... болса және қатары абсолютт≥ жинақты болса, онда осы қатардың қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥ дейд≥.

ћ(’)= .

≈нд≥ математикалық үм≥тт≥ң қасиеттер≥н көрсетей≥к.

1- қасиет. “ұрақты шаманың математикалық үм≥т≥ сол тұрақтының өз≥не тең:

ћ(—)=—, —=const.

ƒәлелдеу. ’-т≥ң барлық мәндер≥ тұрақты —-ның өз≥не тең, €ғни болатын кездейсоқ шама деп қарастыруымызға болады. —онда

ћ(—)= .

2- қасиет. “ұрақты көбейтк≥шт≥ математикалық үм≥т белг≥с≥н≥ң сыртына шығаруға болады:

ћ(—’)=—ћ(’), —=const.

ƒәлелдеу. —’-т≥ кездейсоқ шама деп қарастырамыз, сонда

ћ(—’)= .

3- қасиет.  ездейсоқ ек≥ шаманың қосындысының математикалық үм≥т≥ әр кездейсоқ шамалардың математикалық үм≥ттер≥н≥ң қосындысына тең:

ћ(’+”)=ћ(’)+ћ(”).

1-салдар.  ездейсоқ шамалардың қосындыларының математикалық үм≥т≥ олардың математикалық үм≥ттер≥н≥ң қосындысына тең, €ғни

ћ .

ћатематикалық индукци€ әд≥с≥мен дәлелдеу қиын емес. Ѕұл қасиет кездейсоқ шамалар тәуелс≥з болса да, тәуелд≥ болса да орындалады.

2-салдар.  ездейсоқ ек≥ шаманың математикалық үм≥т≥ олардың математикалық үм≥ттер≥н≥ң айырмасына тең:

ћ(’-”)=ћ(’)-ћ(”).

ƒәлелдеу. (-”)-т≥ (-1)” деп жазып, 2 және 3 - қасиеттерд≥ пайдаланып дәлелденед≥.

3-салдар.  ездейсоқ шама мен тұрақты шама қосындысының (айырымының) математикалық үм≥т≥ сол кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥ мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, €ғни

ћ .

4- қасиет. “әуелс≥з ек≥ кездейсоқ шама көбейт≥нд≥с≥н≥ң математикалық үм≥т≥ олардың математикалық үм≥ттер≥н≥ң көбейт≥нд≥с≥не тең, €ғни

M .

1 -салдар. кездейсоқ шамаларды қос- қостан тәуелс≥з болса, онда

ћ .

ћатематикалық индукци€ әд≥с≥мен дәлелдеу қиынға соқпайды.

ћысал. Үлест≥ру заңы белг≥л≥ (’) кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥н табайық:

х        
р 0,3 0,1 0,2 0,4

Ўешу≥.

ћысал. ’ және ” ек≥ тәуелс≥з кездейсоқ шама үлест≥ру заңдарымен бер≥лген. ћ(’), ћ(”) кездейсоқ шамаларының математикалық үм≥т≥н табайық:

Ўешу≥. ћ(’)=- ,

ћ(”)= .

“еорема-1. ≈гер ј оқиғасының б≥р тәж≥рибедег≥ ықтималдығы р- ға тең болса, б≥р тәж≥рибедег≥ ј оқиғасының пайда болу санының математикалық үм≥т≥ де р-ға тең болады, €ғни ћ(’)=р.

х    
р р 1-р

ƒәлелдеу. Ўынында да, ј оқиғасының б≥р тәж≥рибедег≥ пайда болу санын кездейсоқ шама рет≥нде қарастырсақ, оның үлест≥ру заңы мынадай болады: ћ(’)= “еорема-2. n тәуелс≥з тәж≥рибедег≥ ј оқиғасының пайда болуы сандарының математикалық үм≥т≥ тәуелс≥з тәж≥рибелер саны мен оқиғаның әрб≥р тәж≥рибедег≥ пайда болуының ықтималдығы р-ның көбейт≥нд≥с≥не тең: ћ(’)=nр.

34. ƒискретт≥ кездейсоқ шаманың дисперси€сы, орта квадраттық ауытқуы. Қасиеттер≥

 ездейсоқ шаманың мәндер≥ оның математикалық үм≥т≥нен ауытқитындығы түс≥н≥кт≥. ћ≥не, осы ауытқуды бағалау үш≥н дисперси€ ұғымы енг≥з≥лед≥. ’ кездейсоқ шаманың дисперси€сын таңбасымен D(’) белг≥ленед≥:

’-дискретт≥ кездейсоқ шама, ћ(’)-осы кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥ болсын. Ѕұл жағдайда ’-ћ(’) айырмасын, кездейсоқ шама мәндер≥н≥ң математикалық үм≥ттен ауытқуы деп аталады.  ездейсоқ ’ шамасының таралу заңы:

...  
...

бер≥лс≥н. Ѕұл жағдайда ’-ћ(’) ауытқудың үлест≥р≥м заңы

’-ћ(’) ...  
...

“еорема. јуытқудың математикалық үм≥т≥ нөлге тең, €ғни ћ . ƒәлелдеу.

.

јЌџҚ“јћј. ƒискретт≥к ’ кездейсоқ шамасының дисперси€сы деп кездейсоқ шаманың оның математикалық үм≥т≥нен ауытқуы квадратының математикалық үм≥т≥н айтады және оны былай белг≥лейд≥:

.

—онымен дисперси€ны анықтайтын (2)

формуласы кел≥п шығады. ƒисперси€ның қасиеттер≥:

1-қасиет. “ұрақты шаманың дисперси€сы нөлге тең: D(—)=0, —=const.

ƒәлелдеу. (2) формула бойынша D(—)=ћ(—

2-қасиет. “ұрақты көбейтк≥ш дисперси€ белг≥с≥н≥ң алдына квадратталып шығады: D(—’)=—

ƒәлелдеу. Ѕұл қасиетт≥ дәлелдеу үш≥н де (1) формуланы пайдаланамыз:

D(—’)=ћ((—’)

3-қасиет. “әуелс≥з ек≥ кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперси€сы олардың дисперси€ларының қосындысына тең: (’+”)=D(’)+D(”).

ƒәлелдеу. (1) формулаға математикалық үм≥тт≥ң қасиеттер≥н қолданып, кездейсоқ шамалардың тәуелс≥зд≥г≥н ескерсек,  ездейсоқ шаманың алатын мәндер≥н≥ң оның орта мән≥нен ауытқуын (шашырауын) бағалау үш≥н тағы б≥р сандық сипаттама орташа квадраттық ауытқу қолданылады

ќрташа квадраттық ауытқу деп дисперси€дан алынған квадрат түб≥рд≥ айтады, €ғни (3)

1- теорема. ≈гер тәж≥рибен≥ б≥р рет жүрг≥згендег≥ ј оқиғасының ықтималдығы р-ға тең болса q=1-p, ол оқиғаның пайда болу санының дисперси€сы pq-ға тең болады.

х    
P q

ƒәлелдеу. Ѕұл жағдайда кездейсоқ шаманың үлест≥р≥лу заңын былай жазуға болады:

 

ƒисперси€ны есептеп табайық:

ћ(’)= ; ћ(’ ,

D(’)=ћ(’ .

2-теорема. ≈гер б≥р тәж≥рибеде оқиғаның ықтималдығы р-ға тең болса q=1-p, ол оқиғаның тәж≥рибен≥ n рет қайталағанда пайда болу санының дисперси€сы npq-ға тең болады, €ғни D(’)=npq.

ƒәлелдеу. 1-теорема бойынша б≥р тәж≥рибеде оқиғаның пайда болу санының дисперси€сы pq-ға тең. “әж≥рибе n рет қайталанғандықтан, 3- қасиет бойынша pq+pq+Е+pq=npq.

ћысал. Әрб≥реу≥нде оқиғаның пайда болу ықтималы 0,3 болатын 15 тәуелс≥з тәж≥рибе жүрг≥з≥лген. ќсы тәж≥рибедег≥ оқиғаның пайда болу саны Ц’ шамасының дисперси€сын табу керек. Ўешу≥. ≈септ≥ң шарты бойынша n=15, p=0,3 олай болса q=1-0,3=0,7.

—ондықтан, ≥здеп отырған дисперси€мыз: D(’)=

35. Үз≥л≥сс≥з кездейсоқ шаманың математикалық күт≥м≥. Қасиеттер≥.

36. Үз≥л≥сс≥з кездейсоқ шаманың дисперси€сы, орта квадраттық ауытқуы. Қасиеттер≥

’ дискретт≥ кездейсоқ шама болса, дисперси€

формуласымен өрнектелед≥. ’ Ц үзд≥кс≥з болса, онда дисперси€

формуласымен өрнектелед≥. јл, егер де ’ Ц т≥ң мүмк≥н мәндер≥

[a, b] аралығында болса, онда

болады. Үзд≥кс≥з кездейсоқ шаманың дисперси€сын

формуласы бойынша есептеген қолайлы.

Үзд≥кс≥з кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы деп дисперси€ның квадрат түб≥р≥н айтады:


37. Ѕиномиаль үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

јЌџ “јћј: ≈гер ’ кездейсок шамасы 0,1,2,...n мәндер≥н кабылдау ықтималдығы , мундағы

ал элементтен  -дан жасалган теру саны болса, онда ’-д≥ Ѕернулли заны бойынша улескен деп айтады. Ќемесе бұл улест≥р≥мд≥ биномдык деп те айтады. Ѕернулли заны бойынша улест≥р≥лген кездейсок шаманын математикалык үм≥т≥н табалык n Ц рет Ѕернулли тәж≥рибес≥н жург≥згенде ј оқиғасынын пайда болу санын ’ аркылы белг≥лед≥к. ∆анадан кездейсок шамалар өнг≥зей≥к.

Ц ш≥ тәжиребеде пайда болса Ц ш≥ тәжиребеде пайда болмаса

—онда ’ кездейсок шамасын косындысы тур≥нде жазуға болады, өйткен≥ бүл косынды да турган әрб≥р косылныш не 0-ге, не 1-ге тен және б≥рлерд≥н саны ј оқиғасынын пайда болу саны канша болса сонша. ћатематикалык үм≥тт≥н аныктамасын және онын касиеттер≥ аркылы ’-д≥н математикалык үм≥т≥н есептеуге болады:

≈нд≥ хi Ц нын үм≥т≥н табалык:

—онымен (13)

38. ѕуассон үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

јЌџ “јћј: ≈гер ’ кездейcок шамасы 0,1,2,Еn мәндер≥н кабылдаса және бұл мәндер≥ кабылдау ықтималдығы:

мундағы болса, онда ’-т≥ ѕуассон заны бойынша улескен деп айтады.

ѕуассон заны бойынша улест≥р≥лген ’ кездейсок шамасы уш≥н:

(16)

(17)

(18)

 

ћұндағы ѕуассон заңының параметр≥ деп аталады.

 


 

 

40. “ер≥с биномиальд≥ үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары

(n,p) параметрмен үлест≥р≥лген кездейсоқ ξ шамасы тер≥с биномиалды үлест≥р≥лген болады, егер

Үлест≥р≥м функци€сы:

Ѕернуллид≥ң тәуелс≥з сынақтар т≥збег≥нде n-ш≥ табыс n+k-ш≥ сынақта пайда болуының ықтималдығын табайық. (УтабысФ ықтималдығы р).

≈гер n-ш≥ табыс n+k-ш≥ сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ш≥ сынақта УтабысФ (ј оқиғасы), ал одан бұрынғы n+k-1 сынақта n-1 рет Утабыс Ф, k рет Усәтс≥зд≥кФ болды(¬ оқиғасы) деген сөз. —ынақтар тәуелс≥з болғандықтан ≥здеп отырған ықтималдығымыз мына формуламен анықталады. (k=0,1,2,Е.):

(1)

(1)-үлест≥р≥м тер≥с биномиальды үлест≥р≥м деп аталады. Ѕұл үлест≥р≥мн≥ң атауы мына теңд≥кке байланысты шыққан:

—оңғы теңд≥к (1)-үлест≥р≥мд≥ басқаша жазуға мүмк≥нд≥к беред≥:

(1Т)

ћына анализден белг≥л≥ формуланы

ѕайдаланып былай жаза аламыз:

 

яғни { } шындығында да үлест≥р≥м болады. “ер≥с биномиалды үлест≥р≥мд≥ кейде ѕаскаль үлест≥р≥м≥ деп те атайды.

јл n=1 болған кезде (1)-үлест≥р≥м геометри€лық үлест≥р≥м деп аталады:

“ер≥с биномиалды үлест≥р≥мн≥ң математикалық күт≥м≥:

“ер≥с биномиалды үлест≥р≥мн≥ң дисперси€сы: . ћұндағы, q=1- p.

ƒемек, n-ш≥ "табысқа " дей≥нг≥ толық сынақтардың санның математикалық күтiмi мынаған тең:


 

41. √ипергеометри€лық үлест≥р≥м және оның сандық сипаттамалары.

ƒискретт≥ ξ кездейсоқ шамасының гипергеометри€лық үлест≥р≥м≥ болады, егер оның k=1,2,3,....,min(n;M) мән≥нде

ықтималдықтары бар болса, мұндағы k=1,2,3,....,min(n;M), k≤N;n≤N;n,M,N Ц натурал сандар.

јлдыңғы формуладан ( ) мынандай қатынас шығатынын атай кетел≥к:

 

√ипергеометри€лық үлест≥р≥мн≥ң математикалық күт≥м≥н табайық:

Қосынды ≥ш≥ндег≥ Цды түр≥нде жазып, сәйкес қысқартуларды орындасақ, мынаны аламыз:

Ѕ≥з жоғарыда ортаңғы қосындыны (2)-формула арқылы түр≥нде жаздық. ≈нд≥ есептел≥к:

Ѕұдан

“еорема. n,M,N параметр≥мен үлест≥р≥лген ξ кездейсоқ шамасының гипергеометри€лық үлест≥р≥м≥н≥ң математикалық күт≥м≥:

јл дисперси€сы: тең.

42. Ѕ≥рқалыпты үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

џқтималдықтар тығыздығы

теңдiгiмен анықталатын ’ кездейсоқ шамасын бiрқалыпты үлестiрiмдi (равномерное распределение) деп атайды. ≈нд≥ f(x) бойынша интегралдық функци€ Ғ(х) мән≥н анықтайық. ќл үш≥н формуласын пайдаланамыз.

≈гер х a болса, онда f(x) = 0 болды.—ондықтан Ғ(х) = 0. ≈гер а<x b болғанда

.

болғанда

.

ƒемек,

≈нд≥ математикалық үм≥тт≥ және дисперци€ны табайық:

.

ƒемек,

.

43.  өрсетк≥шт≥ үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

џқтималдық тығыздығы

мұндағы параметр, теңдiгiмен анықталатын ’ кездейсоқ шамасын көрсеткiштiк заң бойынша үлестiрiмдi деп атайды. јнықтама. ≈гер ’ кездейсоқ шамасы мына үлест≥р≥м тығыздығы

арқылы бер≥лсе, онда ол көрсетк≥шт≥к үлест≥р≥м заңымен бер≥лген дейд≥. ћұндағы - тұрақты оң шама.

»нтегралдық функци€сын табайық:

.

—онымен

Ѕұл үлест≥р≥мн≥ң сандық сипаттамалары:

= €ғни .

€ғни

 ездейсоқ шаманың (а; b) аралығынан мән қабылдау ықтималдығы

;

44. √амма үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

√амма үлест≥р≥м. ћатематикалық талдау курсында менш≥кс≥з және параметрл≥ интегралдар тобына жататын гамма функци€сының анықтамасын еске түс≥рел≥к:

—өйт≥п, параметр≥н≥ң функци€сы аралығында анықталған, үзд≥кс≥з.Ѕұл функци€ны есептеу

формуласына нег≥зделген.

(2)-формуласын дәлелдеу үш≥н бөл≥ктеп интегралдаса болғаны:

≈гер n натурал сан болса,

√амма үлест≥р≥мд≥ ξ кездейсоқ шамасының тығыздық функци€сы

(3)

“еңд≥ктер≥мен анықталады, мұндағы α>0 және λ>0, өйткен≥ f(x)≥0 және

√амма үлест≥р≥мн≥ң сипаттауыш функци€сы

‘ормуласымен,ал k-шы ретт≥ момент≥

формуласымен есептелед≥.

ќлай болса, математикалық күт≥м≥ мен дисперси€сы табылды:

 

және

√амма үлест≥р≥м≥ арқылы б≥рқатар үлест≥р≥м заңдарын шығарып алуға болады.ћәселен, болса,гамма үлест≥р≥м≥,көрсетк≥шт≥к үлест≥р≥мге айналады.

45. Ќормаль үлест≥р≥м. јнықтамасы және сандық сипаттамалары.

Үзд≥кс≥з кездейсоқ ’ шамасының ықтималдықтар үлест≥р≥м≥н қалыпты деп атайды, егер оның ықтималдықтар үлест≥р≥м заңы ықтималдық тығыздығымен анықталса

. (1)

мұндағы нақты параметрлер Ѕұл кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥н табайық:

,

€ғни .—онымен параметр қалыпты заң үш≥н математикалық үм≥т болады.≈нд≥ дисперси€сын табайық:

Өйткен≥ мүшелеп интегралдасақ

болады. —онымен, , ал орташа квадраттық ауытқуы болады.Қалыпты үлест≥р≥м≥ бар кездейсоқ шаманың математикалық үм≥т≥ мен дисперси€сын есептеп отырып, оның анықтамасына қатынасатын параметрлерд≥ң ықтималдық мән≥н аштық: бұл анықтамадағы параметр≥ математикалық үм≥тт≥, ал параметр≥ дисперси€ны көрсетед≥.

“еорема. Қалыпты үлест≥р≥мд≥ кездейсоқ шаманың бер≥лген аралығына түсу ықтималдығы .формуласы бойынша анықталады, мұндағы Ћаплас функци€сы.

46. овариаци€.  овариаци€лық матрица. Қасиеттер≥.

 овари€ци€ның 4 қасиет≥н≥ң дәлелдеу≥:

≈гер және тәуелсәз кездейсоқ шамалар болса, онда

Ўындығында да бұл жағдайда

—онымен, тәуелс≥з , кездейсоқ шамалары үш≥н болады.

кездейсоқ шамалары бер≥лсе, онда ковари€ци€лық матрица келес≥ түрде болады:

47.  оррел€ци€ коэффициент≥. Қасиеттер≥.  оррел€ци€лық матрица.

“еорема.1.≈гер , тәуелс≥з кездейсоқ шамалар болса, онда олардың коррел€ци€ коэффицент≥ нөлге тең:

2.Әруақытта ;

3. сонда тек сонда ғана,егер қандай да б≥р а≠0,b-тұрақтылары табылса және болса;

≈гер ρ>0 болса кездейсоқ шамалары оң коррел€ци€ланған,ал ρ<0 болса тер≥с коррел€ци€ланған кездейсоқ шамалар деп аталады.

 оррел€ци€лық матрица деп, қаралатын кездейсоқ шамалардың коррел€ци€ жұбының коэффициенттерi болып табылатын матрицаны қарастырамыз.  оррел€ци€лық матрица симметри€лы және оның бас диагоналында әрқашанда б≥р тұрады.


—онымен, коррел€ци€ коэффицент≥ бер≥лген және кездейсоқ шамаларының тәуелдәләк өлшем≥ рет≥нде қарастыруға болады екен: егер олар тәуелс≥з болса, онда ρ=0;егер ρ=±1 болса, онда кездейсоқ шамалар б≥р б≥р≥не сызықты тәуелд≥ және де ρ=1 болса -мен б≥рге монотонды өсед≥,ρ=-1 болса -мен б≥рге монотонды кемид≥.

48. √ауст≥к кездейсоқ вектор және оның қасиеттер≥.

“еорема: √ауст≥к кездейсоқ вектор. ќнда оның келес≥ тұжырымдары болады:

1) - тәуелс≥з кездейсоқ шамалар,

2) - коррел€ци€ланбаған кездейсоқ шамалар (cov=0),

3) - диагональды.

≈скету: - нормальды үлест≥р≥лген кездейсоқ шамалар болса, онда - тәуелс≥з - коррел€ци€ланбаған.

ƒәлелдеу.  елес≥ арақатынастар айқын болады: 1) 2) 3)

3) 1) шығатынын көрсетей≥к.

={ } = - тәуелс≥з.

“еорема: 1) , ковариаци€лық матрицасы және бар гауст≥к кездейсоқ вектор. ќнда кездейсоқ вектордың .

тығыздығы болады.

2)  ез келген және кез келген -()үш≥н кездейсоқ гауст≥к вектор болады және онда және .


49. „ебышев теңс≥зд≥г≥. ƒәлелдеу.

“еорема. ≈гер ξ кездейсоқ шамасының дисперси€сы D(ξ) бар болса, онда кез келген ε>0 саны үш≥н

(1) -теңс≥зд≥г≥ орындалады.

„ебышев теңс≥зд≥г≥ айырымының абсолют шамасын ықтималдық тұрғыдан бағалауға мүмк≥нд≥к беред≥.

(1)-теңс≥зд≥к

(2) - теңс≥зд≥г≥мен парапар, өйткен≥

ƒәлелдеу. ξ шамасының тығыздық функци€сын f(x) арқылы белг≥лесек:

—өйт≥п (2) Ц теңс≥зд≥к дәлелденд≥

 ез Ц келген кездейсоқ шамада шект≥ дисперси€ болып, кез Ц келген болғанда, онда мынадай теңс≥зд≥к орындалады:

. (2.3.1)

Ѕұл „ебышев теңс≥зд≥г≥ деп аталады.

 

 


 

50. ћарков теңс≥зд≥г≥. ƒәлелдеу.

ћарков теңс≥зд≥г≥н „ербышев леммасы деп те атайды.

“еорема. ≈гер кездейсоқ шамасы тек қана оң мәндерд≥ қабылдаса және математикалық күт≥м≥ бар болса, онда кез келген a оң сан үш≥н келес≥ теңс≥зд≥к орындалады:

ƒәлелдеу. “еңс≥зд≥кт≥ң дәлелдеу≥н кездейсоқ шамасы үш≥н жүрг≥зем≥з:

—оңғы теңд≥ктег≥ мынаған тең: .

ќсыдан

теңд≥г≥ шығады.

“еорема дәлелденд≥.

ћарков теңс≥зд≥г≥ кез келген оң кездейсоқ шамалары үш≥н қолданылады.


51. Үлкен сандар заңы.

Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына қатысты тұжырымдалатын теоремалары айтамыз. ќларға „ебышев және Ѕернулли теоремалары жатады. Ѕұл теоремаларда өте көп кездейсоқ факторлардың жиынтық әсер≥, кездейсоқтықтан тәуелс≥з нәтижелер алудың шарттары бер≥лед≥.

„ебышев теоремасы. ≈гер ’1, ’2,...., ’n- тәуелс≥з кездейсоқ шамалар т≥збег≥н≥ң математикалық үм≥ттер≥ ћ(’) және бәр≥ б≥р — санымен шектелген дисперси€лары D(’) (≥=1,2,3,.....,n) болса, онда кез келген саны үш≥н

„евышев теоремасын дәлелдеуде бағалау аламыз

(3)

—алдар-1. (Ѕ≥рдей үлест≥р≥мд≥ кездейсоқ шамалар үш≥н „евышев теорамасы.) ≈гер „ебышев теоремасының шартында X1, X2,...., Xn кездейсоқ шамалардың б≥р ғана ћ(X) =a математикалық үм≥т≥ болса, онда

(2) Цден бағалау аламыз

. (4)

—алдар-2. (Ѕернулли теоремасы) ≈гер тәуелс≥з n тәж≥рибен≥ң әрқайсысында ј оқиғасының пайда болу ықтималдығы р тұрақты болса, онда болғанда кез келген мейл≥нше аз оң саны үш≥н

мұндағы ј оқиғасының пайда болуының салыстырмалы жи≥л≥г≥.

Ѕернулли теоремасын дәлелдеуден бағалау аламыз

. (5)

52. ќрталық шект≥к теорема. Қолданылу мысалдары.

“еорема.(ќрталық шект≥к теорема) кең≥ст≥кте өзара тәуелс≥з және б≥рдей үлест≥р≥лген және

Ц стандартты нормаль үлест≥р≥м N(0;1)

Қолданылу мысалдары


53. ћатематкиалық статистикадағы бас жиынтық және таңдама. ¬ариаци€лық қатар. ѕолигон. √истограмма.

кездейсоқ шамасының мүмк≥н болатын барлық мәндер≥н бас жиынтық деп, n рет тәж≥рибе жүрг≥згенде пайда болған шамасының мәндер≥н статистикалық қатар деп атайды.

Қатар элементтер≥н өсу тәрт≥б≥ бойынша орналастырғаннан кей≥н шыққан

қатарын вариаци€лық қатар деп, ал оның элементтер≥н варианттар деп атайды.

бақыланатын кездейсоқ шама. ќның үлест≥р≥м функци€сы , б≥рақ б≥зге ол белг≥с≥з.

Ѕұл - деналынған көлем≥ n-ге тең таңдама. —онымен көлем≥ n-ге тең таңдама деген≥м≥з өзара тәуелс≥з және б≥рдей үлест≥р≥лген n кездейсоқ шама.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 7929 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—вобода ничего не стоит, если она не включает в себ€ свободу ошибатьс€. © ћахатма √анди
==> читать все изречени€...

335 - | 309 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.331 с.