Упрощённые признаки делимости на 4 и 8

Приёмы быстрых устных вычислений

Умножение двузначного числа на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.

Примеры:
45х11
Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.

76х11
Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.

Математическое обоснование:
Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет 110a+11b = 100a +10 (a+b) +b

Умножение и деление на 5 и 25

Чтобы число умножить число на 5, его нужно разделить на 2 и умножить на 10. Чтобы число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.

Аналогично, умножение/деление на 25 заменяется делением/умножением на 4 и умножением/делением на 100

Примеры:
36х5
Делим 36 на 2, получаем 18. Умножаем 18 на 10 и получаем 180.

3/5
Умножаем 3 на 2 и получаем 6. Делим 6 на 10 и получаем 0,6

45/25
Умножаем 45 на 4, получаем 180. Делим 180 на 100, получаем 1,8

84х25
Делим 84 на 4, получаем 21. Умножаем 21 на 100 и получаем 2100.

Математическое обоснование:
Поскольку 5=10/2, умножение/деление на 2 можно свести к более простым умножениям/делениям на 2 и 10.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

Примеры:
65²
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.

115²
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.

 

Математическое обоснование:

Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.

Примеры:
19² = (20-1)² = 400–40+1=361

42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764

Математическое обоснование:

Формула квадрата суммы: (a+b)² = a²+2ab+b²

Формула квадрата разности: (a-b)² = a²–2ab+b²

Вычитание из степени десятки

Для вычитания числа из степени десятки, нужно последнюю его цифру заменить дополнением до десяти, а остальные (включая первые виртуальные нули) – дополнениями до девяти.

Примеры:
1000-725 = (9-7)(9-2)(10-5) = 275

100000 – 1237 = 100000 – 01237 = (9-0)(9-1)(9-2)(9-3)(10-7) = 98763

Математическое обоснование:

Правило следует из алгоритма вычитания столбиком.

Прибавление числа, близкого к степени десятки

Вместо прибавления числа, состоящего из девяток и оканчивающегося на 9 (8, 7, 6 и т.д.), прибавьте следующую б о льшую степень десятки и вычтите 1 (2, 3, 4 и.т.д)

Примеры:
125+999 = 1125-1 = 1123

6528+996 =7258-4=7254

Математическое обоснование:

Для k-значного числа 99…9 = 100..00 – 1

Упрощённые признаки делимости на 4 и 8

Обычно для проверки делимости на 4 применяется следующий признак: Если двуциферное окончание числа делится на 4, то и само число делится на 4.

Однако, использовав обобщённый признак делимости, заметим, что число 10 даёт остаток 2 при делении на 4. Поэтому переформулируем правило так: Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.

Аналогично для делимости на 8. Вместо проверки на делимость трёхциферного окончания, можно выполнять проверку суммы последней, удвоенной предпоследней и учетверённой третьей с конца цифры.

Примеры:
Число 1324: 4+2*2=8 – делится на 4. 4+2*2+3*4=20 – не делится на 8

Число 6328: 8+2*2=12 – делится на 4. 8+2*2+3*4=24 – делится на 8

 

 

1. Приемы сложения. Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы. Напомним их.

Коммутативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых.

Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.

Свойство 1.3. Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

 

Прием 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

 

Пример: а) 164 + 48 = (164 + (48 + 2)) - 2 = (164 + 50) – 2 = 214 - 2 = 212;

б) 784 + 297 = (784 + (297 + 3)) - 3 = (784 + 300) - 3 = 1084 - 3 = 1081;

в) 89 + 433 = 433 +89 = (430 + 90) + 3 - 1 = 520 + 2 = 522.

 

Прием 1.2. Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом - всех единиц, а затем складывают полученные суммы.

 

Пример: а) 32 +26 +73 +45 = (30 + 20 + 70 +40) + (2 +6 +3 +5) = 160 + 16 = 176;

б) 132 + 765 + 423 + 249 =(100 + 700 + 400 + 200) + (30 + 60 + 20 + 40) + (2+ 5 + 3 + 9) = 1400 + 150 + 19 = 1000 + (400 + 100) + (50 + 10) + 9 = 1000 + 500 + 60 + 9= 1569.

 

Прием 1.3. Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа. Суть приема поясним на примере.

 

Пример. Пусть требуется найти сумму 65 + 62 + 61 + 63 + 67 + 64 + + 66 + 60.

Легко заметить, что все эти числа близки к числу 64, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

1) находят сумму «корневых» чисел: 6  8 = 512, так как в сумме 8 слагаемых;

2) находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» - со знаком «минус»: 1 – 2 – 3 – 1 + 3 + 0 + 2 – 4 = -4;

3) получившуюся сумму алгебраически прибавляют к результату первого пункта:

512 +(-4) = 512- 4 = 508.

Выбор «корневого» числа не влияет на окончательный результат. Так, если считать, что «корневое» число не 64, а 63, то вычисления будут следующими:

1) 63 – 8 = 504,

2) 2 – 1 – 2 + 0 + 4 + 1 + 3 – 3 = 4,

3) 504 + 4 = 508.

«Корневое» число обычно берут таким, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.

 

Прием 1.4. Вынесение общего множителя. При сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затемнаходят произведение общего множителя и полученной суммы.

Пример: 24 +18 – 72 + 36 = 6  (4 + 3+12+ 6) = 6  25 = 150.

2. Приемы вычитания. Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 2.2. Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Рассмотрим некоторые приемы вычитания.

Прием 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц. Суть приема поясним на примерах.

Пример: 561 – 35 = (561 – 1) – (35 – 1) = 560 – 34 = 526.

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

Пример: 3125 – 198 = (3125 + 2) – (198 + 2) = 3127 – 200 = 3127 – (100 + 100) =

= (3127 – 100) – 100 = 3027 – 100 = 2927.

Прием 2.2. Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяем ближайшим к нему «круглым» числом, находим разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляем к полученной разности или вычитаем из нее.

Пример: 1285 – 296 = 1285 – ((296 + 4) – 4) = 1285 – (300 - 4) = (1285 – 300) + 4 =

= 1285 – (200 + 100) + 4 = (1085 – 100) + 4 = 985 + 4 = 989.

Прием 2.3. Вынесение общего множителя. При вычитании нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят разность чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной разности.

Пример: а) 724 – 148 = 4  (181 – 37) = 4  144 = 2  2  144 = 2  288 = 576;

б) 91 – 35 – 28 = 7  (13 – 5 – 4) = 7  4 = 28.

3. Приемы умножения. Все приемы рациональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

Коммутативный закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест сомножителей.

Ассоциативный закон умножения. Произведение не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих сомножителей их произведением.

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не изменится, если заменить его суммой произведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

Свойство 3.1. Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 3.2. Если один из сомножителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.

Свойство 3.3. Если два или несколько сомножителей данного произведения умножить или разделить на какое-либо число, то данное произведение соответственно умножится или разделится на произведение этих чисел.

Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие приемы, позволяющие рационализировать вычислительный процесс.

Прием 3.1. Разложение одного из сомножителей на множители. Один из сомножителей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последовательно умножают второй сомножитель на эти множители.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.1. Умножение на 4. Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Пример: 596  4 = (596  2)  2 = (500  2 + 90  2 + 6  2)  2 = (1000 + 180 + 12)  2 =

= 1192  2 = 1000  2 + 100  2 + 90  2 +2  2 = 2000 + 200 + 180 + 4 = 2384.

Правило 3.2. Умножение на 8. Умножение на 8 сводится к трехкратному умножению на 2.

Пример: 298  8 = (298  2)  4 = (200  2 + 90  2 + 8  2)  4 = (400 + 180 + 16)  4 =

= 596  4 = (596  2)  2 = 1192  2 = 2384.

Правило 3.3. Умножение на 16. Умножение на 16 сводится к четырехкратному умножению на 2.

Пример: 149  16 = (149  2)  8 = (100  2 + 40  2 + 9  2)  8 = 298  8 = (298  2)  4 =

= 596  4 = (596  2)  2 = 1192  2 = 2384.

Аналогично можно сформулировать правила умножения на 2ⁿ (n ≥ 5).

Прием 3.2. Увеличение одного из сомножителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго сомножителя во столько же раз. Один из сомножителей произведения увеличивают в несколько раз, второй — уменьшают во столько же раз, а затем находят произведение полученных чисел.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.4. Умножение четного числа на 15 (25, 35, 45). Чтобы умножить четное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).

Пример: а) 32  15 = (32:2)  (15  2) = = 16  30 = 480;

б) 28  25 = (28:2)  (25  2) =14  50 = 700;

в) 16  45 = (16:2)  (45  2)= 8  90 = 720.

Прием 3.3. Представление одного из сомножителей произведения в виде частного двух чисел. Один из сомножителей произведения представляют в виде частного двух чисел, второй сомножитель умножают на делимое, а затем делят на делитель.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.5. Умножение на 5. Чтобы умножить число на 5, достаточно умножить его на 10 и результат разделить на 2.

Пример: 237  5 = (237  10): 2 = 2370: 2 = 2000: 2 + 300: 2 + 70: 2 = 1000 + 300 +35 =

= 1335.

Правило 3.6. Умножение на 50. Чтобы умножить число на 50, достаточно умножить его на 100 и результат разделить на 2.

Пример: 139  50 = (139  100):2 = 13900: 2 = 10000: 2 +3000: 2 + 900: 2 =

= 5000 + 1500 + 450 = 6950.

Правило 3.7. Умножение на 500. Чтобы умножить число на 500, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 2.

Пример: 237  500 = (237  1000): 2 = 237000: 2 = 200000: 2 + 30000: 2 + 7000: 2 =

= 100000 + 15000 + 3500 = = 118500.

Аналогично формулируются правила умножения на 5 • 10" (п > 3).

Правило 3.8. Умножение на 25. Чтобы умножить число на 25, достаточно его умножить на 100 и результат разделить на 4.

Пример: 239  25 = (239  100): 4 = 23900: 4 = (23900: 2): 2 =

= (20000: 2 + 3000: 2 + 900: 2): 2 = (10000 + 1500 + 450): 2 =

= 11950: 2 = 10 000: 2 + 1000: 2 + 900: 2 + 50: 2 = 5000 + 500 + 450 + 25 = 5975.

Правило 3.9. Умножение на 250. Чтобы умножить число на 250, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 4.

Пример: 197  250 = (197  1000): 4 = = 197000: 4 = (197000: 2): 2 = 98500: 2 = 49250.

Правило 3.10. Умножение на 2500. Чтобы умножить число на 2500, достаточно умножить его на 10 000 и результат разделить на 4.

Пример: 182  2500 = (182  10 000): 4 = 1 820000: 4 = (1820000: 2): 2 = 910 000: 2 =

= 455000.

Аналогично формулируются правила умножения на 25  10ⁿ (n ≥ 3).

Правило 3.11. Умножение на 129. Чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

Пример: 386  125 = (386  1000): 8 = 386000: 8 = (386000: 2): 4 = 193000: 4 =

= (193000: 2): 2 = 96500: 2 = 48750.

Правило 3.12. Умножение на 1250. Чтобы умножить число на 1250, достаточно умножить его на 10 000 и результат разделить на 8.

Пример: 824  1250 = (824  10 000): 8 = 8240000: 8 = (8240000: 2): 4 = (4120000: 2): 2 =

= 2060000: 2 = 1030000.

Аналогично формулируются правила умножения на 125 • 10" (п>2).

Небольшие изменения приема 3.3 позволяют сформулировать следующее правило умножения на 75.

Правило 3.13. Умножение на 75. Чтобы умножить число на 75, достаточно его разделить на 4, умножить частное на 3 и результат умножить на 100.

Пример: 408  75 = (408: 4)  3  100 = 102  3  100 = 306  100 = 30600.

Существует интересное правило умножения четного числа на 55.

Правило 3.14. Умножение четного числа на 55. Чтобы умножить четное число на 55, достаточно разделить его на два, к частному сначала приписать два нуля, а потом нуль и оба результата сложить.

Пример: Чтобы найти значение произведения 368  55, проделаем следующее:

1) делим данное число на 2: 368: 2 = 184;

2) приписываем к частному два нуля: 18400;

3) приписываем к частному один нуль: 1840;

4) складываем результаты, получаем ответ: 368  55 = 18400 + 1840 = 19240.

Прием 3.4. Представление одного из сомножителей произведения в виде разности двух чисел. Один из сомножителей произведения представляют в виде разности двух чисел, второй сомножитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произведений.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.15. Умножение на 9. Чтобы умножить число на 9, достаточно к нему приписать нуль и из полученного числа вычесть данное число.

Пример: 68  9 = 68  10 – 68 = 680 – 68 = 612.

Правило 3.16. Умножение на 99. Чтобы умножить число на 99, достаточно к нему приписать два нуля и из полученного вычесть данное число.

Пример: 347  99 = 347  100 – 347 = 34700 – 347 = 34353.

Существуют правила умножения на 9 и 99.

Правило 3.17. Умножение на 9. Чтобы умножить число на 9, достаточно вычесть из него число его десятков, увеличенное на единицу, и к полученному результату приписать дополнение цифры единиц данного числа додесяти.

Правило 3.18. Умножение на 99. Чтобы умножить число на 99, достаточно из него вычесть число его сотен, увеличенное на единицу, и к полученному результату приписать дополнение до 100 числа, образованного двумяпоследними цифрами данного числа.

Пример: Для нахождения значения выражения 246  99 проделаем следующее:

1)из данного числа вычтем число его сотен, увеличенное на единицу:
246 – 3 = 243;

2) найдем дополнение числа, образованного двумя последними цифрами данного числа, до 100: 100 – 46 = 54;

3) приписываем дополнение к предыдущему результату и получаем ответ: 246  99 = 24354.

Правило 3.19. Умножение на 999. Чтобы умножить число на 999, достаточно из него вычесть число тысяч, увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение до 1000 числа, образованного последними тремя цифрами данного числа.

Пример: Чтобы найти значение произведения 4532  999, проделаем следующее:

1) из данного числа вычтем число тысяч, увеличенное на единицу: 4532 - (4 + 1) = 4527;

2) находим дополнение до 1000 числа, образованного тремя последними цифрами данного числа: 1000 – 532 =468;

3) приписываем полученное дополнение к предыдущему результату, получаем ответ: 4532  999 = 4 527468.

Правило 3.20. Умножение на 98, 97, 96. Чтобы умножить число на 98, или на 97, или на 96, достаточно к нему приписать два нуля и из полученного числа вычесть удвоенное, или утроенное, или учетверенное данное число.

Пример: а) 253  98 = 253  100 – 2  253 = 25300 – 506 = 24794;

б) 247  97 = 247  100 – 3  247 = 24700 – 741 = 23959;

в) 128  96 = 128  100 – 4  128 = 12 800 - 512 = 12288.

Правило 3.21. Умножение на 998, 997, 996. Чтобы умножить число на 998, или на 997, или на 996, достаточно к нему приписать три нуля и из полученного числа вычесть удвоенное, или утроенное, или учетверенное данное число.

Пример: а) 245  998 = 245  1000 – 245  2 = 245000 – 490 = 244510;

б) 127  997 = 127  1000 – 127  3 = 127000 – 3 81 = 126619;

в) 836  996 = 836  1000 – 996  4 = 836000 – 3344 = 832656.

Прием 3.5. Представление одного из сомножителей произведения в виде суммы, двух чисел. Один из сомножителей произведения представляем в виде суммы двух чисел, второй сомножитель умножаем на каждое слагаемое, а затем складываем получившиеся произведения.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.22. Умножение на 11. Чтобы умножить число на 11, достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само число.

Пример: 63  11 = 63  10 + 63 = 630 + 63 = 693.

Правило 3.23. Умножение на 101. Чтобы умножить число на 101, достаточно увеличить его в 100 раз и к полученному результату прибавить само число.

Пример: 124  101 = 124  100 + 124 = 12400 + 124 = 12524.

Правило 3.24. Умножение на 1001. Чтобы умножить число на 1001, достаточно увеличить его в 1000 раз и к полученному результату прибавить само число.

Пример: 7639  1001= 7639  1000 + 7639 = 7639000 + 7639=7646639.

Аналогично формулируются правила умножения на 10ⁿ + 1 (n ≥ 3).

Существуют еще интересные правила умножения двузначных чисел. на 11, 101,99.

Правило 3.25. Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить между ними их сумму. Причем если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.

Пример. Для нахождения значения произведения 42  11 проделаем следующее:

1) находим сумму 4 + 2 = 6;

2) раздвигаем цифры числа 42, вставив между ними цифру 6, получим ответ: 42 - 11 = 462.

Пример. Для нахождения значения произведения 47  11 проделаем следующее:

1) находим сумму 4 + 7 = 11;

2) раздвигаем цифры числа 47, вставив между ними цифру 1, десятки увеличиваем на 1 (4+1=5), получим ответ: 47 – 11 = 517.

Правило 3.26. Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.

Пример: 51  101 = 5151.

Правило 3.27. Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.

Пример: 49  99 = 4851.

Прием 3.6. Умножение двузначных чисел, каждое из которых содержит по 9 десятков. Чтобы перемножить двузначные числа, каждое из которых содержит по 9 десятков, достаточно найти дополнение второго числа до 100, вычесть его из первого числа и к результату приписать произведение дополнений данных чисел до 100.

Пример. Для нахождения значения произведения 86  97 проделаем следующее:

1) из первого сомножителя вычтем дополнение второго до 100: 86 – 3 = 83;

2) находим произведение дополнений данных чисел до 100: (100 – 86)  (100 – 97) = 14  3 = 42;

3) приписываем это произведение к предыдущему результату, получаем ответ: 86  97 = 8342.

Прием 3.7. Умножение чисел меньших двадцати. Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.

Пример. Для нахождения значения произведения 16  13 проделаем следующее:

1) к первому сомножителю прибавляем единицы второго: 16 +3 = 19;

2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6  3 = 208.

4. Приемы деления. Приемы рациональных вычислений для деления основаны на законах умножения и следующих свойствах (изменения частного).

Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз.

Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс.

Прием 4.1. Поразрядное деление чисел. Делимое делим поразрядно, начиная с единиц старшего разряда.

Правило 4.1. Деление на 2. Деление числа на 2 следует начинать со старших разрядов.

Пример: 234: 2 = 200: 2 + 30: 2 + 4: 2= 100 + 15 + 2 = 117.

Прием 4.2. Разложение делителя на множители. Делитель представляем в виде произведения нескольких сомножителей, а затем последовательно делим делимое на эти сомножители.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 4.2. Деление на 4. Деление числа на 4 сводится к двукратному делению на 2.

Пример: 9824: 4 = 9824: 2: 2 = (9000: 2 + 800: 2 + 20: 2 + 4: 2): 2 = (4500 + 400 + 10 + 2): 2 =

= 4912: 2 = 4000: 2 + 900: 2 + 10: 2 + 2: 2 = 2000 + 450 + 5 + 2 = 2457.

Правило 4.3. Деление на 8. Деление на 8 сводится к трехкратному делению на 2.

Пример: 248: 8 = (248: 2): 4 = (124::2): 2 = 62: 2 = 31.

Правило 4.4. Деление на 16. Деление на 16 сводится к четырехкратному делению на 2.

Пример: 512: 16 = (512: 2): 8 = (256: 2): 4 = (128: 2): 2 = 64: 2 = 32.

Аналогично формулируются правила деления на 2ⁿ (n ≥ 5).

Прием 4.3. Представление делителя в виде частного двух чисел. Делитель представляем в виде частного двух чисел, делимое умножаем на второе число, а затем этот результат делим на первое число.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 4.5. Деление на 5. Чтобы разделить число на 5, достаточно умножить его на 2 и разделить на 10.

Пример: 345: 5 = (345  2): 10 = 690: 10 = 69.

Правило 4.6. Деление на 50. Чтобы разделить число на 50, достаточно умножить его на 2 и разделить на 100.

Пример: 17200: 50 = (17200  2): 100 = 34400: 100 = 344.

Правило 4.7. Деление на 500. Чтобы разделить число на 500, достаточно умножить его на 2 и разделить на 1000.

Пример: 238 000: 500= (238000  2): 1000 = 476000: 1000 = 476.

Аналогично формулируются правила деления на 5  10n (n > 3).

Правило 4.8. Деление на 25. Чтобы разделить число на 25, достаточно умножить его на in разделить на 100.

Пример: 41200: 25 = (41200  4): 100 = (41200  2  2): 100 = (82400  2): 100 = 164800: 100 =

= 1648.

Правило 4.9. Деление на 250. Чтобы разделить число на 250, достаточно умножить его на 4 и разделить на 1000.

Пример: 216000: 250 = (216000  4): 1000 = (216000  2  2): 1000 = (432 000  2): 1000 =

= 864000: 1000 = 864.

Аналогично формулируются правила деления на 25 • 10" (п > 2).

Правило 4.10. Деление на 125. Чтобы разделить число на 125, достаточно умножить его на 8 и разделить на 1000.

Пример: 12000: 125 = (12 000  8): 1000 = ((12 000  2)  4):1000 = (24 000  2)  2: 1000 =

= (48000  2): 1000 = 96 000: 1000 = 96.

Правило 4.11. Деление на 1250. Чтобы разделить число на 1250, достаточно умножить его на 8 и разделить на 10000.

Пример: 24000: 1250 = (24 000  8): 10 000 = (24 000  2)  4): 10000 = ((48000  2)  2): 10000 =

= (96 000  2): 10 000 = 192000: 10000 = 192.

Аналогично формулируются правила деления на 125  10ⁿ (n ≥ 2).

Небольшие изменения приема 4.3 позволяют сформулировать следующее правило деления на 75.

Правило 4.12. Деление на 75. Чтобы разделить число на 75, достаточно разделить его на 3, частное умножить на 4 и результат разделить на 100.

Пример: 16800: 75 = ((16800: 3)  4): 100 = (5600  4): 100 = 22400: 100 = 224.

Без такой подготовительной работы, обеспечивающей овладение каждым учителем начальных классов приемами рациональных устных вычислений, все попытки методистов вооружить их методикой формирования у учащихся соответствующих умений не дают желаемых результатов.

Надеемся, что предложенные приемы займут достойное место в математической подготовке будущих учителей начальных классов, а работающие учителя будут постоянно их использовать в своей практике, формируя соответствующие навыки рациональных вычислений у школьников.