Нормальный закон надежности

Закон надежности вида гамма-распределения с увеличением параметра r приближается к нормальному закону:

(4.1)

где T₀=r/α, D=r/α².

Замена закона гамма-распределения нормальным законом может быть оправдана при . Разница в функциях надежности при такой замене будет меньше 10% за исключением больших значений t, где вероятности отказа малы.

Нормальное распределение в виде (4.1) дает значение P(0)<1, так как нормальное распределение имеет бесконечный диапазон изменения аргумента и, следуя (4.1), необходимо учитывать ненулевое значение плотности вероятности отказа при отрицательном аргументе.

Ситуацию необходимо корректировать, так как вся оценка надежности элемента происходит при временах относительно малых, по сравнению со средним временем жизни. С другой стороны точность каждого знака имеет огромное значение. Для того, чтобы элемент имел значение функции надежности в начальный период эксплуатации 0.99999 вместо 0.9999, проходило порядка десяти лет напряженной конструкторской и технологической работы.

В выражение (4.1) вводится некоторый поправочный коэффициент, такой чтобы значение функции надежности в нуле было бы равно единице. Введем нормированную величину

(4.2)

позволяющую использовать таблицы интеграла вероятности. Тогда

(4.3)

(4.4)

Функция надежности будет равна нулю, если в качестве нормального закона надежности примем следующую нормированную функцию

(4.5)

Частота отказов как плотность вероятности будет представлять собой нормальную плотность вероятности, нормированную с коэффициентом 1/P(0) и с математическим ожиданием, равным T₀. Опасность отказов имеет вид, показанный на рис 4.1. Асимптота опасности отказов для больших времен имеет вид .

Рис.4.1. Опасность отказа нормального закона.

 

Нормальному закону надежности можно сопоставить следующую модель отказов. Это накапливающиеся повреждения со случайными начальными условиями, распределенными по нормальному закону. Скорость накопления детерминированная, одинаковая для всех случаев (рис 4.2). Тогда момент отказа τ также будет нормальной случайной величиной. Эта модель хороша для описания надежности элементов массового хорошо налаженного производства.

Рис.4.2. Накопление повреждений при нормальном законе.

 

5. Закон Вейбулла – Гнеденко

 

Закон надежности Вейбулла – Гнеденко имеет место при следующей модели накопления повреждений. На элемент действуют не одно, а несколько воздействий, вызывающих отказ. Каждое воздействие может действовать по своей схеме накопления повреждений (мгновенное повреждение или накопление повреждений и т. д.). Воздействуют они на разные параметры элемента (механическая прочность, прочность пайки, истирание, износ, сопротивление изоляции и т. д.). Все воздействия взаимно независимы и для каждого существует свое время жизни τ_i.

Отказ элемента наступит при наименьшем значении времени жизни из набора τ_i, то есть для того воздействия, которое раньше других превысит порог. Случайным является значение τ_i, случайным является воздействий, вызывающее отказ.

Следовательно, для описания такой модели отказа необходимо найти закон распределения случайной величины τ, которое равно наименьшему значению из набора случайных величин τ_i:

(5.1)

Пусть вероятность отказа для каждого воздействия или интегральный закон распределения каждого τ_i при малом времени имеют одинаковый вид

,

где α>0. Тогда для случайной величины τ получена следующая функция надежности

(5.2)

Для плотности вероятности отказа имеем

(5.3)

Для опасности отказа имеем

(5.4)

Средняя наработка на отказ получена в виде

(5.5)

Этот закон получил распространение, поскольку он сохраняет некоторые положительные свойства экспоненциального закона надежности. С помощью двух параметров α и γ можно имитировать различные модели отказов. Параметр α позволяет получить модели «стареющих» и «молодеющих элементов». При α=1 имеем экспоненциальный закон надежности. Параметр γ позволяет выбирать масштабы.