Задание. По структурной схеме надежности информационной системы и заданным значениям интенсивности отказов ее элементов:

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

По структурной схеме надежности информационной системы и заданным значениям интенсивности отказов ее элементов:

1) построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0,1 – 0,2;

2) определить время наработки системы соответствующее заданному γ (гамма-процентному ресурсу системы);

3) обеспечить при заданном γ (гамма-процентном ресурсе) увеличение времени наработки системы не менее чем в 1,5 раза за счет структурного резервирования элементов системы. Варианты структурных схем и значения интенсивностей отказов приведены на рис. 7 и в табл. 2, соответственно.

Рис. 1 - Структурная схема надежности

 

Значения интенсивности отказов элементов, :

 

0,01	0,1	0,1					0,2	0,2				0,5	0,5	0,3

 

где γ – (гамма-процентный ресурс системы) – вероятность безотказной работы системы, выраженный в процентах, по истечении определенного времени непрерывной работы (наработки) системы.

Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации. Резервирование отдельных элементов или групп элементов должно осуществляться идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными. На схемах обведенные пунктиром m элементов являются функционально необходимыми.

Расчет

1. Элементы 4, 5, 6 и 7 образуют соединение «2 из 4», которое заменяем элементом А. Так как p ₄ = p ₅ = p ₆ = p ₇, то для определения вероятности безотказной работы элемента А можно воспользоваться выражением, в основе которого лежит формула биноминального распределения (биноминальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p).

где – биноминальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по k из n» (т. е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию k из n).

.

Поскольку для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, …, (m – 1):

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму для k = m, m + 1, …, n:

.

В данном конкретном случае, при n = 4 и m = 2, вероятность безотказной работы элемента F определится выражением:

(1)

2. В исходной схеме элементы 10, 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом В. Учитывая, что p₁₀ = p₁₁ = р₁₂ получим:

(2)

3. Элементы 13 и 14 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом С и учитывая, что p₁₃ = p₁₄, получим:

(3)

7.

рис. 2 - Преобразованная схема

 

8. Элементы 2, 3, А, 8, 9 (рис. 2) образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом D. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом минимальных путей. Логическая схема мостиковой системы по методу минимальных путей приведена на рис. 3

 

 

Система, изображенная на рис. 3 работоспособна до тех пор, пока работоспособны элементы 2 и 8 или 3 и 9, или – 2, А и 9, или – 3, А и 8. Таким образом, вероятность работы квазиэлемента D можно определить по формуле:

(4)

9.

Рис. 4 - Схема после преобразования

 

10. В преобразованной схеме (рис. 4) элементы 1, D, B, C и 15 образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы определяется выражением:

(5)

11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 (рис. 1) подчиняются экспоненциальному закону:

(6)

12. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 15 исходной схемы по формуле (9) для наработки до 3·106 часов представлены в табл. 1:

Таблица 1

		Наработка, t – 100 000 ч
Элемент		0,5		1,5		2,5		2,25
	0,01	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970	0,9978
2, 3	0,1	0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704	0,9778
4 - 7		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,1054
8, 9	0,2	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9560
10 - 12		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,1054
13, 14	0,5	0,9753	0,9512	0,9277	0,9048	0,8825	0,8607	0,8936
	0,3	0,9851	0,9704	0,9560	0,9418	0,9277	0,9139	0,9347
A	-	0,8282	0,4687	0,2173	0,0911	0,0361	0,0139	0,0577
B	-	0,9391	0,7474	0,5311	0,3535	0,2266	0,1420	0,2840
C	-	0,9994	0,9976	0,9948	0,9909	0,9862	0,9806	0,9887
D	-	1,0000	0,9997	0,9988	0,9972	0,9951	0,9928	0,9962
P	-	0,9241	0,7227	0,5037	0,3283	0,2058	0,1260	0,2609
B'	-	0,9994	0,9745	0,8673	0,6875	0,4960	0,3354	0,5898
P'	-	0,983447	0,94227	0,822595	0,638548	0,450478	0,297511	0,541728

 

13. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С, D, по формулам (1) – (4) и также представлены в табл. 1.

14.

Рис. 5 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t

15. По графику (рис. 5, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 1,5·10⁵ ч, расчет при t = 1,5·10⁵ ч показывает (табл. 1), что P _γ = 0,5037 ~ 0,5.

17. По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P _γ = 0,5):

. (10)

= 1,5·1,5·10⁶ = 2,25·10⁶ ч.

18. Расчет показывает (табл. 1), что при = 2,25·10⁵ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 4) p₁ ( ) =0,9978, p_D ( ) =0,9962, p_B ( ) = 0,2840, p_C ( ) = 0,9887, p₁₅ ( ) = 0,9347. Следовательно, из пяти последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент В, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

19. Для того чтобы при = 2.25 × 10⁵ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

где – необходимая вероятность безотказной работы элемента В, то

(11)

20. Для элемента В резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция = f(n) дискретна.

21. Для повышения надежности параллельно добавляем элементы, идентичные по надежности исходным элементам 10 – 12, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента В не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем:

- добавляем элемент 17, получаем:

- добавляем элемент 18, получаем:

- добавляем элемент 19, получаем:

- добавляем элемент 20, получаем:

 

 

22. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в исходной схеме (рис. 1) квазиэлемент В достроить элементами 16, 17, 18, 19 и 20 (рис. 6).

рис.6

23. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлемента «В'» и системы в целом Р’ представлены в табл. 1.

24. Расчеты показывают, что при t’ = 2,25×10⁵ ч, Р’ = 0,5417 > 0,5, что соответствует условию задания.

Расчет основной схемы

 

1. Построение основной схемы без резервных элементов осуществляется по основным элементам системы: 1, 2, 8, 10, 13, 15 (рис. 7) или 1, 2, А, 9, 12, 13, 15 (рис. 8), т.к. остальные элементы имеют такие же параметры, как и элементы, которые они резервируют:

рис. 7 - Первый вариант основной схемы

 

рис. 8 - Второй вариант основной схемы

 

2. Проверим вероятность безотказной работы первого и второго варианта основной схемы по формуле:

и (т.к. соединение последовательное)

Таблица 2

Вероятность	Время tх100000 с
0,5		1,5		2,5
Р1	0,5767	0,3325	0,1918	0,1106	0,0638	0,0368
Р2	0,3498	0,1223	0,0428	0,0150	0,0052	0,0018

 

3. Наибольшую вероятность безотказной работы имеет первый вариант основной схемы, значит в качестве основной схемы системы принимаем его. Произведем расчет для основной схемы системы.

Таблица 3

		Наработка, t – 100 000 ч
Элемент		0,5		1,5		2,5		0,63	0, 945
	0,01	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970	0,9994	0,9991
	0,1	0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704	0,9937	0,9906
	0,2	0,9900	0,9802	0,9704	0,9608	0,9512	0,9418	0,9875	0,9813
		0,6065	0,3679	0,2231	0,1353	0,0821	0,0498	0,5326	0,3887
	0,5	0,9753	0,9512	0,9277	0,9048	0,8825	0,8607	0,9690	0,9538
	0,3	0,9851	0,9704	0,9560	0,9418	0,9277	0,9139	0,9813	0,9720
P	-	0,9241	0,7227	0,5037	0,3283	0,2058	0,1260	0,4998	0,3533
10'	-	0,9391	0,6004	0,3965	0,2524	0,1574	0,0971	0,7815	0,6263
P'	-	0,8884	0,5373	0,3357	0,2021	0,1193	0,0696	0,7287	0,5639

 

рис. 9 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t

4. По графику (рис. 9, кривая Р) находим для γ = 50% (Р = 0.5) γ-процентную наработку системы t = 0,63·10⁵ ч, расчет при t = 0,63·10⁵ ч показывает (табл. 1), что P _γ = 0,4998 ~ 0,5.

5. По условиям задания находим время, превышающее в 1,5 раза время, соответствующее вероятности безотказной работы, равное 0,5 (P _γ = 0,5):

. (10)

= 0,63·1,5·10⁵ = 0,945·10⁵ ч.

6. Расчет показывает (табл. 2), что при = 0,945·10⁵ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 4) p₁ ( ) =0,9978, p_D ( ) =0,9962, p_B ( ) = 0,2840, p_C ( ) = 0,9887, p₁₅ ( ) = 0,9347. Следовательно, из пяти последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент В, и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

7. Для того чтобы при = 2.25 × 10⁵ ч система в целом имела вероятность безотказной работы P’ = 0,5, надо найти необходимую вероятность безотказной работы элемента F. Так как

где – необходимая вероятность безотказной работы элемента В, то

(11)

8. Для элемента В резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов достаточно сложно, так как число элементов должно быть целым и функция = f(n) дискретна.

9. Для повышения надежности параллельно добавляем элементы, идентичные по надежности исходному элементу 10, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента 10 не достигнет заданного значения:

- добавляем элемент 16, получаем:

рис. 10

10. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня, необходимо в исходной основной схеме квазиэлемент 10 достроить элементом 16 (рис. 10).

 

Критерий Колмогорова

 

1. При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической и экспериментальной функциями распределения.

На основе этого критерия, экспериментальное распределение согласуется
с выбранным теоретическим, если выполняется условие

где – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; n – общее количество экспериментальных данных.

2. В табл. 4 приведены вероятности отказов по экспериментальным данным и по теоретическому закону F(t).

Считаем закон распределения отказов экспоненциальным

Таблица 4

t,105 ч	0,5		1,5		2,5
	0,0759	0,2773	0,4963	0,6717	0,7942	0,8740
	0,2953	0,5034	0,6501	0,7534	0,8262	0,8775

 

3. Количество экспериментальных данных n = 15

По данным таблицы строим теоретическую и экспериментальную кривые (рис 11).

Рис. 11

 

Из рисунка и таблицы D F = 0.2261.

Проверяем по критерию согласия Колмогорова.

Считаем, что закон распределения отказов – экспоненциальный.

Критерий Колмогорова прост и нагляден.

Недостатком критерия является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т. е. знания не только вида функции распределения F(t), но и ее параметров.

 

 

ВЫВОДЫ

 

1. По данным расчета вероятности безотказной работы системы от времени построен график P(t).

2. По графику найдено время, соответствующее 50% g-процентному ресурсу системы (t = 2,25 × 10⁵ ч).

3. Для увеличения наработки системы в 1,5 раза при 50% g -процентном ресурсе системы предложено нагруженное резервирование основных элементов 10, 11, 12 идентичными по надежности резервными элементами 16, 17, 18, 19 и 20.

4. Рассчитана вероятность безотказной работы системы с повышенной надежностью от времени, построен график P’(t) системы с повышенной надежностью, на графике (рис. 7) показано время (t’ = 2,25 × 10⁵ ч) соответствующее 50% g -процентному ресурсу.

Расчет надежности системы

1. Пусть есть система, представляющая собой соединение двух компьютеров с сервером. Можно выделить следущие элементы системы:

 

- База данных	- Персональный компютер	- Сервер
- Линия связи от ПК до свича	- Свич	- Программа
- Клиентская часть программы	- Линия связи с сервером

Под отказом системы будем предполагать отказ на запрос пользователя.

 

2. Из представленных элементов можно составить следущую схему системы:

рис. 1 - Структурная схема соединения элементов

 

3. Элементы 4 и 2 образуют последовательное соединение, заменив которое элементами А и И, получим:

4. Элементы В и С образуют параллелльное соединение, заменим его на соединение D:

5. Получаем схему следущего вида:

рис. 2 - Преобразованная стуктурная схема

 

6. Вероятность безотказной работы системы будет расчитываться как произведение всех элементов преобразованной системы, так как все элементы соединины последовательно:

7. Необходимо определить интенсивности отказов элементов системы. Время наработки примем равным .

8. Программная часть системы является самой надежной частью, при наличии защиты программной части от влияния пользователя отлаженная программа практически полностью исключает ошибки. Предположим, что интенсивность наработки на отказ программы и киентской части программы . Надежность базы данных зависит от надежности жесткого диска, на котором она хранится. Тогда, изучив документацию от производителя, можно воспользоваться их рассчетами и приянть интенсивность наработки на отказ равную . Наработку на отказ персональных компьютеров производители расчитывают и называют в пределах . Сервером является ПК с более мощными и современными параметрами, наработка на отказ наиболее современного компьютера на данный момент составляет . Наработку на отказ для кабелей длиной до 100 м при изгибах производители дают равной . Наработку на отказ соединительной линии к серверу примем так же равной . Самым уязвивым элементом системы является свич, наработка на отказ которого на прямую зависит от количества элементов, подключенных в него, поэтому интенсивность наработки на отказ свича примем равной

9. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 8 (рис. 1) подчиняются экспоненциальному закону: (1)

10. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 – 8 исходной схемы по формуле (1) для наработки до 3·10⁴ часов представлены в табл. 1:

 

Элемент	λ, 10-6	Наработка, t 10000 ч
0,0050	0,0100	0,0150	0,0200	0,0250	0,0300
		0,9950	0,9900	0,9851	0,9802	0,9753	0,9704
	52,54	0,7690	0,5913	0,4547	0,3497	0,2689	0,2068
		0,8958	0,8025	0,7189	0,6440	0,5769	0,5169
	0,2	0,9990	0,9980	0,9970	0,9960	0,9950	0,9940
		0,7047	0,4966	0,3499	0,2466	0,1738	0,1225
	0,1	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970
	0,1	0,9995	0,9990	0,9985	0,9980	0,9975	0,9970
	0,2	0,9990	0,9980	0,9970	0,9960	0,9950	0,9940
A		0,7682	0,5901	0,4533	0,3483	0,2675	0,2055
B		0,7682	0,5901	0,4533	0,3483	0,2675	0,2055
C		0,9463	0,8320	0,7012	0,5752	0,4635	0,3688
P		0,5932	0,3270	0,1727	0,0888	0,0449	0,0224

 

 

Рис. 3 - График зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t