Виключення (зменшення) систематичних похибок

Виключення систематичних похибок здійснюється методами заміщення, компенсації за знаком чи симетричних спостережень. Ефективним способом зменшення систематичних похибок є їх рондомизація, тобто переклад їх у випадкові при застосуванні декількох однотипних приладів чи при зміні методики, умови експерименту, а також параметрів від яких не залежить значення вимірюваної величини, але залежать систематичні похибки її вимірювання.

Не виключені систематичні похибки повинні підсумовуватися з випадковими при обробці результатів спостережень. Але спочатку всі не виключені систематичні похибки необхідно підсумовувати (якщо мається така можливість, тобто похибки обумовлені) для оцінки довірчих границь не виключеної систематичної похибки результату вимірювання. При прямих вимірюваннях і рівномірному розподілі не виключених систематичних похибок оцінка D_сис визначається за формулою:

(1)

де - границя (межа) i-тої не виключеної систематичної похибки; m – число підсумовуємих похибок; K – коефіцієнт, обумовлений прийнятою довірчою імовірністю. При P = 0,95, K = 1,1, а при P = 0,99, К=1,4.

Варто мати на увазі, що при m < 4 значення D_сис,що обчислюється за формулою (1) може бути більше значення

(2)

чого не може бути виходячи з визначення. Тоді за оцінку границь не виключеної систематичної похибки результату вимірювання приймається менше зі значень, що обчислюються за формулами (1) і (2).

2. Перевірка експериментального закону розподілу ряду вимірювань

 

а) Побудова гістограми.

Для побудови гістограми необхідно насамперед виконати упорядкування ряду – представити його у виді зростаючого ряду неповторюваних значень X_j, із указівкою частоти n_j кожного з них. Такий статистичний розподіл звичайно представляється у вигляді таблиці (табл. 1)

 

 

Таблиця 1.

Xj	nj
X1	…
…	…
…	…
Xn	…

Таблиця 2.

Xj0	nj0	njo/h
X10	…	…
…	…	…
Xd0	…	…

 

Інтервал від X₁ до X_n варто розбити на деяку кількість d частин (не більш ніж 10…12) довжиною h і підрахувати для кожного з них суми частот варіант, що потрапили в даний інтервал. Варіанти, що опинилися на границі двох суміжних інтервалів необхідно нарівно розподілити між ними.

Середнє значення ` X у кожному частковому інтервалі називається рівновіддаленою варіантою X_jo.

Відношення суми частот n_jo часткового інтервалу до довжини цього інтервалу h називається щільністю частоти n_jo/h.

Величини X_jo, n_jo, n_jo/h зводяться в таблицю 2.

Відклавши по осі абсцис часткові інтервали і побудувавши на них як на підставах прямокутники висотою n_jo/h, одержимо гістограму частот. Конфігурація її приблизно відбиває характер емпіричного закону розподілу результатів спостережень. Чим менше значення h і більше загальне число n спостережень, тим більше гiстограмма наближається до кривої розподілу.

 

 

Мал.1 Приклад побудови гістограми для d=6

 

б)Аналітичний спосіб перевірки відповідності досліджуваного розподілу нормальному за «критерієм W», при n < 50.

Незважаючи на те, що нормальний розподіл зустрічається найбільше часто, кожен раз оцінці випадкових похибок повинна передувати перевірка приналежності отриманих результатів спостережень до нормального розподілу. Правила такої перевірки стандартизовані. При кількості вимірювань n > 50 перевірка як правило проводиться з використанням одного з критеріїв: Колмогорова (l_n), Пірсона (c²), Мизеса (w²). Використання критерію Пірсона (c²) допускається і при кількості вимірювань n < 50.

Якщо ж 3 < n < 50, то найбільше часто для перевірки використовується спеціальний критерій (W).

Розрахунок за допомогою «критерію W» починається з упорядкування вибірки. Для цього необхідно розташувати всі спостереження X_i у виді варіаційного ряду: X₁ £ X₂ £ X₃ … £ X_n...

Вихідні дані варто записати в розрахункову таблицю (Таблиця 3).

 

 

Таблиця 3.

I	Xi	j	an-j+1	DX=Xn-j+1-Xj	an-j+1´DX
	X1
	X2
	X3
…	…
…	…	L
…	…	…
n	Xn

 

У нижній половині третьої графи таблиці 1.3 знизу нагору записують значення j від 1 до L, при чому L = n/2, якщо n парне. При n непарному L = (n-1)/2.

З додатка 1 при відповідних n і j варто знайти значення коефіцієнта a_n-j+1 для j від 1 до L і записати їх знизу нагору в графі 4. Потім підрахувати різниці X_n-j+1 - X_j, що повинні бути внесені в графу 5. Результати порядкового перемножування граф 4 і 5 записуються в графі 6 таблиці 3.

Після оформлення таблиці 3 обчислюються характеристики:

, (3)

і

. (4)

 

«Критерій W» визначається зі співвідношенням

W = b²/j². (5)

Задавши визначений рівень значущості a (наприклад a = 0,05), що відображає найбільшу імовірність помилковості гіпотези про приналежність даної вибірки до нормального розподілу сукупності, по таблиці додатка 2 знаходимо значення W ^*.

При W > W^* можна припускати, що досліджуваний розподіл не суперечить нормальному закону. При W < W ^* досліджуваний розподіл не відповідає нормальному закону.

При обчисленні j² на мікрокалькуляторах віднімання двох близьких чисел (дивись формулу 3) приводить до появи великої операційної помилки. З метою зниження таких помилок доцільно для обчислення j² користатися співвідношенням

(6)

де C – довільне число, що не перевищує найменшого значення X_i, але більш близьке до нього.

 

в) Перевірка нормальності розподілу за критерієм c² (хі‑ квадрат) при великому числі вимірів n > 50.

 

Результати вимірювань (вільні від систематичних похибок) групують по інтервалах таким чином, щоб ці інтервали покривали усю вісь (- ¥, + ¥) і щоб кількість даних у кожнім інтервалі було досить великим (не менш восьми, краще десяти). Ефективність критерію c² підвищується, якщо в кожен виділений інтервал попадає приблизно однакова кількість даних. Для кожного інтервалу (X_i-1, X_i ) підраховують число m_i результатів, що потрапили в цей інтервал. Потім обчислюють імовірність P_i влучення в цей інтервал при нормальному законі розподілу імовірності

(7)

де ^` X – середнє арифметичне значення результатів вимірювань, s - середня квадратична похибка, F - інтеграл ймовірностей, представлений в таблицях додатка 3. Нарешті, обчислюють суму

(8)

 

де l – число всіх інтервалів (- ¥, Х₁), (Х₁, Х₂) … (Х_l-1, ¥), n – число всіх результатів вимірювань (n = m₁ + m₂ + … m_l)... Число інтервалів рекомендується вибирати 10…12.

Якщо сума (1.8) виявиться більше критичного значення c² по таблиці додатка 4 при обраній чи заданій імовірності Р і числі ступенів свободи К = l – n, то можна вважати, що розподіл ймовірностей випадкових помилок у розглянутій серії вимірювань відрізняється від нормального.

Іншими словами, якщо розподіл відмінний від нормального, то при досить великому числі вимірів сума (8) перевищить відповідне критичне значення c².

Приклад. Приведемо приклад розрахунку ймовірностей для виміру критерію c². Візьмемо інтервальний ряд даних виміру частоти (див. табл. 4). Значення параметрів нормального розподілу для нього підраховані

= 8,63 кГц; s = 0,127 кГц.

Дані по інтервалах і кількості вимірювань в інтервалі показані в перших двох стовпцях таблиці 4. Крайні інтервали взяті нескінченними. У третьому стовпці підраховані відносини

(9)

Наприклад, для правого кінця першого інтервалу
t₁ = (8,425 - 8,63) / 0,127 = - 1,614.

У четвертому стовпці приведені відповідні значення інтервалу ймовірностей Ф(t_i) з таблиці додатка 3. При цьому виробляється лінійна інтерполяція (див. приклад під таблицею 1 додатка 3). У п'ятому стовпці за значеннями Ф(t_i) обчислені імовірності P_i як різниці відповідних значень Ф(t)

 

P_i = Ф(t_i) – Ф(t_i-1). (10)

 

Наприклад, Р₂ = -0,3888 – (-0,4467) = 0,0579. При обчисленні імовірності Р₁ враховано, що Ф (- ¥) = -0,5. Останні стовпці таблиці не мають потребу в поясненні. Сума чисел останнього стовпця дає шукане значення c ²= 2,528. Порівняння цього значення по таблиці критичних значень c ² навіть для імовірності Р = 0,8 не дає основ сумніватися в нормальності розподілу. Підстава для сумніву могли б виникнути, якби обчислене значення c ² було б принаймні раз у 5-6 більше.

Таблиця 4.

Інтервали вим. частоти, кГц Xi-1;Xi	mi	ti	Ф(ti)	Pi	mi-npi	(mi-npi)2 npi
(-¥;8,425)		-1,614	-0,4467	0,0533	1,67	0,523
(8,425;8,475)		-1,220	-0,3888	0,0579	-0,79	0,108
(8,475;8,525)		-0,827	-0,2959	0,0929	-1,29	0,179
(8,525;8,575)		-0,433	-0,1676	0,1283	-2,83	0,624
(8,575;8,625)		-0,039	-0,0156	0,1520	2,80	0,516
(8,625;8,675)		0,354	0,1383	0,1539	1,61	0,168
(8,675;8,725)		0,748	0,2728	0,1345	-1,45	0,157
(8,725;8,775)		1,142	0,3733	0,1005	-1,05	0,110
(8,775;8,825)		1,536	0,4377	0,0644	0,56	0,048
(8,825;+¥)		+¥	0,5000	0,0623	0,77	0,095
Суми	n =100	-	-	1,0000	-	c 2 =2,528

 

 

3. Обчислення найбільш ймовірного значення результату вимірювання

Найбільш ймовірне значення шуканого результату є середнє арифметичне ряду (вибірки), що визначається за формулою

. (11)

Ця оцінка є обґрунтованою і незміщеною для будь-якого закону розподілу випадкових величин. При нормальному законі розподілу вона і ефективна.

 

4. Обчислення середньоквадратичного відхилення результату вимірювання

 

Середньоквадратичне відхилення (СКВ) звичайно обчислюється за формулою Бесселя:

(12)

Витяг квадратного кореня (процедура нелінійна) приводить до деякого зсунення оцінки s. Для виправлення цього зсунення вводять поправочний коефіцієнт М_к (див. таблицю додатка 5, у таблиці
параметр К обчислюється по формулі К = n - 1).

Тоді розрахунок СКВ виконується за формулою

. (13)

Величина s, яка називається вибірковим чи емпіричним стандартом, є обґрунтованою (обґрунтована оцінка при збільшенні обсягу вибірки наближається до істинного значення величини), але не ефективною оцінкою. Вона лише асимптотично ефективна, тобто її власне розсіювання відносно s прагне до мінімального при необмеженому збільшенні n значень Х_i у вибірці. Але навіть з урахуванням зростання точності формули (13) відносна помилка визначення s і при дуже великих n (порядку тисячі) складає кілька відсотків. Тому значення s більше чим із двома значущими цифрами не записують.

5. Оцінка анормальності окремих результатів вимірювань

 

Якщо виникає підозра в анормальності деякого окремого вимірювання Х _к, результат якого помітно відрізняється від інших(грубий промах), потрібно скористуватися критерієм анормальності результатів спостережень. Обчислюється показник анормальності

. (14)

Потім при імовірності Р = 0,95, для даного обсягу вибірки n з таблиці додатка 5.1 знаходять параметр b. Критерієм анормальності є умова

, (15)

Якщо ця умова дотримується, то імовірність даного результату виміру Х_к менше 1-Р. Отже він анормальний і повинний бути виключений з даної вибірки. Після чого значення ^` Х и s повинні бути обчислені знову.