Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒл€ чего выдвигалась гипотеза?




ƒл€ оценки предельного (граничного) размера случайной погрешности Xk .

¬опрос є2

1) „то такое гистограмма?

2) ƒл€ чего строитс€ гистограмма?

3)  акие статистические рекомендации существуют дл€ построени€ гистограммы?

1) √истограмма, это способ представлени€ статистических данных в графическом виде Ц в виде столбчатой диаграммы. ќна отображает распределение отдельных измерений параметров издели€ или процесса. »ногда ее называют частотным распределением, так как гистограмма показывает частоту по€влени€ измеренных значений параметров объекта. ¬ысота каждого столбца указывает на частоту по€влени€ значений параметров в выбранном диапазоне, а количество столбцов Ц на число выбранных диапазонов.

2) √истограмма позвол€ет нагл€дно представить тенденции изменени€ измер€емых параметров качества объекта и зрительно оценить закон их распределени€.  роме того, гистограмма дает возможность быстро определить центр, разброс и форму распределени€ случайной величины. —троитс€ гистограмма, как правило, дл€ интервального изменени€ значений измер€емого параметра.

3) —татистические рекомендации дл€ построени€ гистограммы:

1. —обираютс€ статистические данные Ц результаты измерений параметра объекта. ƒл€ того, чтобы гистограмма позвол€ла оценить вид распределени€ случайной величины предпочтительно иметь не менее тридцати результатов измерений.

2. ¬ы€вл€етс€ наибольшее и наименьшее значение показател€ среди полученных результатов измерений.

3. ќпредел€етс€ ширина диапазона значений показател€ Ц из наибольшего значени€ показател€ вычитаетс€ наименьшее значение.

4. ¬ыбираетс€ надлежащее число интервалов в пределах которых необходимо сгруппировать результаты измерений.

5. ”станавливаютс€ границы интервалов. √раницы интервалов необходимо установить так, чтобы значени€ данных не попадали ни на одну из границ интервала. Ќапример, если были выбраны интервалы с границами от 0,5 до 5,5 от 5,5 до 10,5 и т.д. то значение данных 5,5 будет попадать как в первый, так и во второй интервал. „тобы избежать этой проблемы можно изменить интервалы от 0,51 до 5,50 от 5,51 до 10,50 и так далее, таким образом ни одно значение данных не попадет на границу интервала.

6. ѕодсчитываетс€ число попаданий значений результатов измерений в каждый из интервалов.

7. —троитс€ гистограмма Ц на оси абсцисс (горизонтальной оси) отмечаютс€ интервалы, а на оси ординат (вертикальной оси) отмечаетс€ частота попаданий результатов измерений в каждый интервал. »нтервалы можно устанавливать в натуральных единицах (если позвол€ет масштаб), т.е. в тех единицах, в которых проводились измерени€, либо каждому интервалу можно присвоить пор€дковый номер и отмечать на оси абсцисс номера интервалов.

≈сли на контролируемый параметр существует поле допуска, то гистограмма может содержать верхнюю и нижнюю границы пол€ допуска. Ёто позвол€ет увидеть в какую сторону и как смещаетс€ значение контролируемого показател€ относительно пол€ допуска. √раницы нанос€тс€ по оси абсцисс.

¬опрос 3

 акими параметрами характеризуетс€ нормальный закон распределени€ случайной величины? ¬ чем его смысл? ѕо каким формулам определ€ютс€ математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение и какие им соответствуют встроенные функции Mathcad?  ак вычисл€етс€ несмещенна€ оценка дисперсии в Mathcad?

Ќормальный закон распределени€ случайной величины имеет такие параметры как мат. ожидание, дисперси€, смещени€ и среднеквадратичное отклонение. ≈го используют дл€ получени€ более точной оценки. ќшибки с хорошим приближением подчинены нормальному закону распределени€.

—мысл закона: сумма многих независимых источников погрешностей с произвольными функци€ми распределени€ асимптотически имеет нормальное распределение, если только ни одна из этих погрешностей не €вл€етс€ превалирующей:

 

ћат. ожидание погрешности производ€т путем определени€ среднего арифметического погрешностей всех измерений:

ќценку среднего квадратического отклонени€ случайных погрешностей Sx определ€ют по формуле:

где - несмещенна€ (уточненна€) оценка дисперсии, котора€ вычисл€етс€ по формуле:

¬ системе MathCAD имеютс€ встроенные функции дл€ вычислени€ оценок математического ожидани€, дисперсии и среднеквадратического отклонени€:

1) mean(v) - среднее арифметическое элементов вектора V

где N - число элементов вектора V, т.е. число членов выборки

2) var(v) - дисперси€

var(V)=

3) stdev(v) - среднеквадратическое отклонение

stdev(V)=

ƒл€ вычислени€ распределени€ веро€тности нормального распределени€ со средним m и среднеквадратическим отклонением в точке x используютс€ следующие функции:

dnorm(x, m, ) Ц плотность веро€тности распределени€;

pnorm(x, m, ) Ц функци€ распределени€ веро€тности (веро€тность того, что случайна€ величина X меньше или равна x);

ƒл€ вычислени€ плотностей веро€тности распределени€ —тьюдента с d степен€ми свободы в точке x используютс€ функции:

dt(x, d) Ц плотность веро€тности распределени€ —тьюдента;

‘ункции веро€тности дл€ распределени€ —тьюдента:

pt(x, d) Ц функции распределени€ веро€тности распределени€ —тьюдента;

ј вот дл€ несмещенной оценки как € пон€ла это все т же самые функции, только с большой буквы начинаютс€: Var(V), Sdev(V), V- вектор или матрица случайных чисел.

 

¬опрос 4

¬ чем суть критери€ хи-квадрат? „то такое доверительна€ веро€тность и веро€тность ошибки первого рода?

1. —уть хи-квадрата. Ѕлагодар€ тесной св€зи с нормальным распределением, χ2-распределение играет важную роль в теории веро€тностей и математической статистике. χ2-распределение, и многие другие распределени€, которые определ€ютс€ посредством χ2-распределени€ (например - распределение —тьюдента), описывают выборочные распределени€ различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используютс€ дл€ построени€ доверительных интервалов и статистических критериев.

–аспределение ѕирсона (хи - квадрат) Ц распределение случайной величины где X1, X2,Е, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

—умма квадратов

2. ƒоверительный интервал Ч термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объЄме выборки. ƒоверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надЄжностью.

ƒоверительным интервалом параметра θ распределени€ случайной величины X с уровнем довери€ 100p%, порождЄнным выборкой (x1,Е,xn), называетс€ интервал с границами (x1,Е,xn) и (x1,Е,xn), которые €вл€ютс€ реализаци€ми случайных величин L(X1,Е,Xn) и U(X1,Е,Xn), таких, что

.

√раничные точки доверительного интервала и называютс€ доверительными пределами.

3. ќшибки первого рода и ошибки второго рода в математической статистике Ч это ключевые пон€ти€ задач проверки статистических гипотез. “ем не менее, данные пон€ти€ часто используютс€ и в других област€х, когда речь идЄт о прин€тии Ђбинарногої решени€ (да/нет) на основе некоего критери€ (теста, проверки, измерени€), который с некоторой веро€тностью может давать ложный результат.

ѕусть дана выборка из неизвестного совместного распределени€ , и поставлена бинарна€ задача проверки статистических гипотез:

где Ч нулева€ гипотеза, а Ч альтернативна€ гипотеза. ѕредположим, что задан статистический критерий

,

сопоставл€ющий каждой реализации выборки одну из имеющихс€ гипотез. “огда возможны следующие четыре ситуации:

1. –аспределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть

2. –аспределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

3. –аспределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .

4. –аспределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

¬о втором и четвертом случае говор€т, что произошла статистическа€ ошибка, и еЄ называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

 

Ћабораторна€ работа є3

¬опрос 1

 

1. ¬ чем задача лабораторной работы?

2.  акие операции над экспериментальными данными производились?

1. «адачей эксперимента €вл€етс€ установление математической

модели исследуемого прибора, котора€ в общем виде записываетс€ y=f(x1,x2,...,xn).

где y Ц выходна€ характеристика устройства или системы; x 1, x 2,..., xr Ц входные сигналы и внешние факторы, определ€ющие поведение устройства или системы. ѕолученна€ аналитическа€ зависимость позвол€ет предсказывать значени€ выходной характеристики по значени€м входных переменных. Ёта возможность важна в случа€х, когда пр€мые измерени€ выходной характеристики затруднены или дорого сто€т.

”становление математической модели включает в себ€ выбор вида математической модели и определение ее параметров (коэффициентов, показателей степени и т.п.). ¬ современной теории эксперимента независимые переменные (x 1, x 2,..., xr) прин€то называть факторами, а зависимую переменную y Ц функцией отклика или откликом.

2. ѕри обработке экспериментальных данных приходитс€ выполн€ть большой объем вычислений. ƒл€ автоматизации вычислений целесообразно использовать один из математических пакетов, функционирующих на ѕ . ƒл€ решени€ задач обработки экспериментальных данных попул€рен интегрированный пакет автоматизации математических вычислений MATLAB фирмы Mathworks (—Ўј) [10,11]. ‘ункции, обеспечивающие выполнение простейших процедур анализа данных, включены разработчиками MATLAB в состав €дра системы. ќсновные инструменты анализа данных сосредоточены в библиотеке Statistics Toolbox (набор инструментов статистического анализа). ¬сего в библиотеке сосредоточено более 200 функций, обеспечивающих проведение статистических экспериментов, анализ и обработку данных.

 

¬опрос 2

 ак осуществл€етс€ отсеивание грубых промахов эксперимента?  акие при этом гипотезы выдвигаютс€ и провер€ютс€?

 ак осуществл€етс€ отсеивание грубых промахов эксперимента?

ƒл€ исключени€ из повторных опытов грубых ошибок используют критерий —тьюдента, эмпирическое значение которого наход€т по формуле

 

 

где t берут из таблицы t-распределени€ —тьюдента (ѕриложение) дл€ υ степеней свободы. ќпыт считаетс€ бракованным, если экспериментальное значение критери€ tэ по модулю больше или равно табличному значению t.

Yik Ц результат отдельного опыта;

ќпредел€ем дисперсию и стандарт по формулам

где (m-1) Ц число степеней свободы, равное количеству повторных опытов, минус единица; yik Ц результат отдельного опыта; Ц среднее арифметическое, определ€емое по формуле (3.3):

¬опрос 3.

¬ чем суть метода наименьших квадратов?  ак записываетс€ решение системы уравнений ћЌ  дл€ аппроксимации степенным многочленом в матричном виде?

ћетод наименьших квадратов Ч один из базовых методов регрессионного анализа дл€ оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. ћетод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Ќеобходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решени€ задачи в любой области, если решение заключаетс€ или удовлетвор€ет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. ѕоэтому метод наименьших квадратов может примен€тьс€ также дл€ приближЄнного представлени€ (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функци€ми, при нахождении совокупности величин, удовлетвор€ющих уравнени€м или ограничени€м, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

—истема нормальных уравнений ћЌ  дл€ опред елени€ коэффициентов дл€ модели вида yi = b 0 + b 1 x i 1 +... + b r x i r + ε i, имеет вид:

, (9.2)

где или в матричной форме

U = (Y Ц XB) T (Y Ц XB).

 

¬опрос 4.

 ак зависит точность аппроксимации от степени аппроксимирующего многочлена?  ака€ степень многочлена должна быть выбрана и почему?

 

„ем больше пар данных и чем выше степень аппроксимирующего многочлена, тем выше погрешность аппроксимации. ќбычно аппроксимаци€ при степени многочлена выше 8-10 не примен€етс€ из-за резкого возрастани€ погрешности.

—тепень многочлена должна быть выбрана наименьшей возможной, иначе будет высока€ погрешность.

јппроксима́ци€, или приближе́ние Ч научный метод, состо€щий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. јппроксимаци€ позвол€ет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, свод€ задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисл€ютс€, или свойства которых уже известны).

 

¬опрос 5.

¬ чем заключаетс€ проверка адекватности модели по опытным данным?

„тобы проверить адекватность модели по опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанных по уравнению регрессии значений отклика y от результатов наблюдени€ в одних и тех же i-х точках факторного пространства. –ассе€ние результатов наблюдени€ вблизи линии уравнени€ регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности y (10.1)

где d Ц число коэффициентов регрессии. ќстаточна€ дисперси€ определ€етс€ числом степеней свободы n R = N Ц d. (10.2)

—уть проверки в вы€снении соотношени€ между дисперсией адекватности и дисперсией воспроизводимости отклика.

 

ѕроверка адекватности осуществл€ют с помощью критери€ ‘ишера. ≈сли > , то вычисл€ют дисперсионное отношение . (10.3)

≈сли вычисленное значение меньше табличного значени€ F кркритери€ ‘ишера, найденного дл€ соответствующих степеней свободы n1 = N Ц d, n2 = N (m Ц1) (10.4)

при заданном уровне значимости (обычно задают равным 5%), то гипотезу об адекватности не отвергают. ¬ противном случае гипотезу отвергают, и математическое описание признаетс€ неадекватным.

 

¬опрос 5.

¬ чем заключаетс€ проверка значимости коэффициентов?





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 659 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬елико ли, мало ли дело, его надо делать. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

742 - | 550 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.034 с.