Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к центру масс:
. При плоскопараллельном движении 
Закон сохранения
В замкнутой механической системе (т.е. нет действия внешних сил) в отсутствии диссипативных сил движение системы может происходить только под действием внутренних центральных сил, удовлетворяющим третьему закону Ньютона и зависящих только от расстояния между точками. Эти силы являются потенциальными. Имеют место три закона сохранения 
= const, T + П = E, 
= const. Любая из этих величин равна сумме значений для каждой из материальных точек, т.е. обладает свойством аддитивности.
В декартовых координатах эти законы имеют вид
,
, 
, 
.
Таким образом, в проекциях на оси декартовой системы координат имеем семь первых интегралов: три интеграла количества движения, один интеграл энергии и три интеграла момента количества движения.
Сложное движение точки.
Рассмотрим движение точки по отношению к системе подвижных координат 
, которые в свою очередь движутся относительно осей x, y, z. Систему осей x, y, z условно будем считать неподвижной.
Движение точки относительно неподвижных осей координат называют абсолютным движением. Движение точки относительно подвижных осей координат называют относительным движением. Переносным называют движение относительно неподвижной системы осей той точки подвижной системы осей , с которой в данный момент совпадает движение.
Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростям:
Абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорения: 
(теорема Кориолиса).
Задача 5. 20. Определить проекции скорости точки М на оси полярной системы координат. Рассмотрим движение сложное.
Относительное движение – прямолинейное движение точки вдоль радиус-вектора 
.
Переносное движение – это движение точки вместе с радиус-вектором вокруг точки О.
Находим проекцию относительной скорости точки на направление радиус-вектора как производную от радиус-вектора по времени. Ее называют радиальной скоростью и обозначают 
. Переносная скорость – это скорость, связанная с радиусом-вектором. Эта скорость перпендикулярная радиус-вектору и называется трансверсальной: 
.
Задача 5.21. Определить проекции ускорения точки М на оси полярной системы координат.
(теорема Кориолиса)
Проекция относительного ускорения на направление радиус-вектора равна 
.
Переносное ускорение складывается из двух составляющих: переносного касательного 
и переносного нормального 
. Ускорение 
направлено перпендикулярно к радиус-вектору, 
направлено к центру вращения. Величина кориолисова ускорения 
, а направление совпадает с переносным касательным ускорением: 
, Далее находим проекции ускорений на полярные оси координат: на радиальное направление - 
, на трансверсальное направление - 
.
Задача 5.26. Определить ускорение точки, движущейся в плоскости, если ее поперечное ускорение относительно центра равно нулю (центральное движение).
, 
.Поскольку 
, то 
. Эта величина равна удвоенной секторной скорости.
Площадь сектора, описываемого радиус-вектором точки за время 
с точностью до величин первого порядка равна 
, где 
-приращение дуги за . Это и есть секторная скорость.
Потенциальная энергия
Существует особый класс сил, для которых работа не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным положением материальной точки. Такие силы называются потенциальными или консервативными. Проекции сил могут быть выражены через частные производные некоторой функции, называемой потенциальной энергией: 
, 
, 
, или 
.
Элементарная работа потенциальной силы на перемещении будет полным дифференциалом 
. В декартовых координатах
.
, где 
,
Отсюда следует, что в потенциальном поле полная работа потенциальных сил не зависит от траектории, по которой перемещается материальная точка, и определяется лишь начальным и конечным положением точки:
Потенциальная энергия и вычисляется по формуле 
.
Критерий потенциальности: 
, 
, 
.
Примеры: Потенциальная энергия в однородном поле тяжести:
Сила равна F= -mg, 
.
Условимся считать, что потенциальная энергия равна нулю при z = 0.
Потенциальная энергия в центральном поле сил:
Силовое поле называется центральным, если сила, приложенная к движущейся в нем телу, направлена вдоль прямой, проходящей через заданный центр - неподвижную точку О. Например, сила, действующая на планету в поле тяготения Солнца: 
Условимся считать потенциальную энергию тела массой m равной нулю при r = ¥. Тогда
Потенциальная энергия упругой силы (например, растянутой пружины):
, где к – коэффициент упругости, l – длина пружины.
Пространство конфигураций (координатное пространство) и фазовое пространство.
В аналитической механике при исследовании движения материальной точки важную роль играет геометрическая интерпретация этих движений. Она опирается на понятия конфигурационного пространства и фазового пространства.
Конфигурационное (координатное) пространство – это n-мерное пространство с системой координат, по осям которых отложены значения координат, однозначно определяющих положение всех точек материальной системы. Геометрическая интерпретация состоит в том, что любому движению системы в этом пространстве соответствует перемещение изображающей точки.
Введем понятие фазового пространства. Состояние механической системы в некоторый момент времени определяется положением (координатами) и скоростями (производными координат) всех ее точек. Значения координат и их производных можно рассматривать как координаты точки в n-мерном пространстве.
Отличие фазового пространства от координатного заключается в том, что траектории в фазовом пространстве не пересекаются и при определенных условиях существуют функционалы (инварианты), сохраняющие свою величину при преобразованиях координат.
Координатные системы. Обобщенные координаты.
Уравнения движения системы материальных точек записывается в виде дифференциальных уравнений в некоторой системе координат.
Для каждого момента времени между возможными положениями системы и точками пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие. Каждому возможному положению системы отвечает некоторая точка координатного пространства. Движение системы соответствует движению этой точки в координатном пространстве.
Размерность координатного пространства определяется наименьшим числом независимых параметров (координат), однозначно определяющих положение точки.
Уравнения движения могут быть записаны в прямоугольных (декартовых), криволинейных (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и обобщенных координатах. Эффективность решения задач динамики в значительной степени зависит от удачного выбора системы координат.
В математике и физике используются несколько координатных систем: прямоугольные (декартовы), криволинейные (полярные, цилиндрические, сферические и др.) и обобщенные координаты.
Декартовы координаты.
Положение точки определяется радиус-вектором r с координатами x, y, z. Эти координаты называются также прямоугольными.
Элементы длины по координатным осям:ds(x) =dx, ds(y) =dy, ds(z) =dz
Криволинейные координаты.
Характеристиками криволинейной системы координат являются координатные линии и координатные оси -.касательные к координатным линиям.
а) Полярные координаты.
Положение точки определяется радиус-вектором r и углом j. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j). Элементы длины координатных линий: ds(r) = dr и ds(j)= rdj.
Координаты точки: 
, 
.
б) Цилиндрические координаты.
Положение точки определяется радиус-вектором r, углом j,.z. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j), прямые (линии z). Элементы длины координатных линий: ds(r)= dr, ds(j) = rdj, ds(z) = dz.
Координаты точки: , , z.
в) Сферические координаты.
Положение точки определяется радиус-вектором r, углами j и.q. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j), окружность радиуса rsinj (линия q). Элементы длины координатных линий: ds(r) = dr, ds(j)= rsinjdj, ds(q)= rdq.
Координаты точки: 
, 
, 
Рис. Цилиндрические координаты
| 
Рис. Сферические координаты
|
Обобщенные координаты.
Обобщенными координатами называются любые n независимых параметров qi(i,…,n) в своей совокупности определяющих конфигурацию системы. Они могут быть расстояниями, углами, площадями и т.п., а могут и не иметь непосредственного физического смысла. Требуется только, чтобы они были независимыми, а декартовы координаты 
точек системы можно было выразить через qi и t: 
, (i=1,…,n).
Элементы длины по координатным осям: ds(q1) =dq1, ds(q2) =dq2, ds(q3) =dq3.
Кинетическая энергия в разных системах координат. 
В декартовых координатах: Координаты x, y, z. ds(x) =dx, ds(y) =dy, ds(z) =dz.
В полярных координатах: Координаты r, j.: ds(r) = dr и ds(j)= rdj.
В цилиндрических координатах: Координаты r, j, z. ds(r)= dr, ds(j) = rdj, ds(z) = dz.
В сферических координатах: Координаты r, j, q. ds(r) = dr, ds(j)= rsinjdj, ds(q)= rdq.
Кинетическая энергия в обобщенных координатах
Координаты 
, 
,
,
где 
, 
, 
.
Кинетическая энергия нестационарной голономной системы представляет собой функции (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей:
T = T2 + T1 + T0, где 
, 
, где 
- многочлен второй степени от обобщенных скоростей, 
- многочлен первой степени от обобщенных скоростей, 
- от обобщенных скоростей не зависит. В случае голономной стационарной системы 
= 0. Тогда 
, 
и 
.
Таким образом, кинетическая энергия голономной стационарной системы представляется в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от обобщенных координат.
Элементарная работа в обобщенных координатах. Обобщенные силы.
Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях. Пусть 
- равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке n. Элементарная работа равна 
. (1).
Запишем 
через обобщенные координаты: 
.
Подставим это выражение в правую часть формулы (1) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные приращения обобщенных координат
= 
= 
,
где коэффициенты при dqi определяются равенством 
и называются обобщенными силами. Каждой обобщенной координате qi соответствует своя обобщенная сила Qi (i=1,.., n). Размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей координаты |Q| = 
и может быть различной в зависимости от выбора обобщенных координат.
В практических задачах при нахождении величины Qi дают такое виртуальное перемещение, при котором только координата qi получает некоторое приращение, остальные координаты не меняются. После этого вычисляют работу активных сил на выбранном перемещении. Тогда 
, 
.
Пусть силы потенциальны, тогда, учитывая, что получим
Отсюда следует, что в случае потенциальных сил обобщенные силы могут быть вычислены по формуле 
.
Примеры:
1) Материальная точка может перемещаться вдоль оси x под действием силы Fx Примем координату x в качестве обобщенной. Тогда dА = Fdx, Q=F.
2) Материальная точка может вращаться вокруг неподвижной оси z. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота j. Элементарная работа dA = Lz.dj, где Lz - сумма моментов активных сил относительно оси вращения. Тогда Q=Lz.
Задача. Определить обобщенную силу в случае движущегося математического маятника веса P, если длина нити l, обобщенная координата j.
Решение. Единственная задаваемая сила P. Связь идеальна (нить нерастяжима).
Первый способ. Дадим малое перемещение dj в сторону возрастания угла. Для определения обобщенной силы Q вычислим работу силы веса P маятника на возможное перемещение dA= -Plsinjdj. Тогда Qj= -Plsinj
Второй способ: Сила тяжести потенциальна. Потенциальная энергия равна работе сил тяжести при перемещении маятника из данного положения в нулевое, т.е. P=-Px. Учитывая, что x=lcosj, получим P =-Plcosj Для определения обобщенной силы надо взять с обратным знаком производную от потенциальной энергии по обобщенной координате:
=- Plsinj
