Рекомендации к выполнению задания

Как известно, определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

Рассмотрим несколько случаев для определения определённого интеграла.

Случай 1.

Криволинейная трапеция АВСD ограниченна графиком неотрицательной непрерывной функции у=f(х), х [a,b], отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х=а и х=b (a<b), в этом случае площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

(1)

Случай 2.

Если данная функция отрицательная непрерывная функция у=-f(х), х [a,b], тогда получим, что площадь криволинейной трапеции А’В’С’D’ ограниченная графиком функции у=-f(х), отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х=а и х=b (a<b), в этом случае площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

(2)

Случай 3.

Если данная функция у=f(х), х [a,b], непрерывна на отрезке [a,b] функция график которой пересекает отрезок [a,b] оси Ох в конечном числе точек и ограниченная графиком функции у=f(х), отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х=а и х=b (a<b) вычисляется по формуле

(3)

Случай 4.

Если площадь искомой фигуры Q, ограниченна отрезками прямых х=а и х=b (a<b) и графиками неотрицательных непрерывных функций f1(х), х [a,b] и f2(х), х [a,b], то такую фигуру можно рассматривать как разность криволинейных трапеций и с учетом (1) получаем формулу для вычисления площади фигуры

(4)

 

Случай 5.

Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то стараются выразить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей некоторых криволинейных трапеций. Пусть кривые АВ, ВС и Ас соответственно графики следующих функций: у=f1(х), х [a,b], у=p(х), х [a,с], у=d(x) х [c,b] тогда получим:

(5)

Варианты заданий.

1. 2. 3.

 

4. 5. 6.

 

7. 8. 9.

 

10. 11 12

 

 

13. 14.

 

15. 16 17

 

18. 19. 20.

 

 

Пример выполнения задания.