Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

 

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

 

 

Общие уравнения прямой в пространстве.

 

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

× + D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D₁ = 0 и × + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

 

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

 

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

 

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

 

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Тогда канонические уравнения прямой:

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

 

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

 

Итого:

 

Угол между прямыми в пространстве.

 

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l₁:

l₂:

 

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.