Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«адание 3

1. ѕри каких размерах коробка (без крышки), изготовленна€ из квадратного листа картона, со стороной a, имеет наибольшую вместимость?
2. —реди всех пр€моугольников, имеющих данный периметр 2 a, найти тот, площадь которого наибольша€.
3.  усок проволоки данной длины согнуть в виде пр€моугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
4. „исло 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьша€.
5. «аписать число 625 в виде произведени€ двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьша€.
6. »з всех пр€моугольников, площадь которых равна 9 см2, найти пр€моугольник с наименьшим периметром.
7. »з всех пр€моугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объема.
8. »з всех пр€моугольников с периметром Pнайти пр€моугольник с наименьшей диагональю.
9. »з всех равнобедренных треугольников с периметром P найти треугольник с наибольшей площадью.
10. »з всех пр€моугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна , найти треугольник с наибольшей площадью.
11. Ќайти размеры открытого сверху цилиндрического бака данного объема 64 л, при которых на его изготовление пойдет минимальное количество жести.
12. ќкно магазина имеет форму пр€моугольника, заканчивающегос€ полукругом. ѕериметр фигуры равен 15 м. ѕри каком размере полукруга окно будет пропускать наибольшее количество света?
13. ќбразующа€ конического сосуда равна 25 см.  акой должна быть его высота, чтобы вместимость сосуда была наибольшей.
14. ќпределить наибольшую площадь пр€моугольника, вписанного в круг радиусом r.
15. –ешеткой длиной 120 м нужно огородить площадку наибольшей площади. Ќайти размеры этой площадки.
16. –азложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
17. ѕри каких размерах коробка (без крышки), изготовленна€ из квадратного листа картона, со стороной a, имеет наибольшую вместимость?
18. —реди всех пр€моугольников, имеющих данный периметр 2 a, найти тот, площадь которого наибольша€.
19.  усок проволоки данной длины согнуть в виде пр€моугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.
20. „исло 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьша€.
21. «аписать число 625 в виде произведени€ двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьша€.
22. »з всех пр€моугольников, площадь которых равна 9 см2, найти пр€моугольник с наименьшим периметром.
23. »з всех пр€моугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объема.
24. »з всех пр€моугольников с периметром Pнайти пр€моугольник с наименьшей диагональю.
25. »з всех равнобедренных треугольников с периметром P найти треугольник с наибольшей площадью.
26. »з всех пр€моугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна , найти треугольник с наибольшей площадью.
27. Ќайти размеры открытого сверху цилиндрического бака данного объема 64 л, при которых на его изготовление пойдет минимальное количество жести.
28. ќкно магазина имеет форму пр€моугольника, заканчивающегос€ полукругом. ѕериметр фигуры равен 15 м. ѕри каком размере полукруга окно будет пропускать наибольшее количество света?
29. ќбразующа€ конического сосуда равна 25 см.  акой должна быть его высота, чтобы вместимость сосуда была наибольшей.
30. ќпределить наибольшую площадь пр€моугольника, вписанного в круг радиусом r.

«јƒјЌ»≈ 4. Ќайти точки перегиба функции:

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16.  
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24. 25.
26. 27. 28.
29. 30.  

 

«јƒјЌ»≈ 5. Ќайти асимптоты графика функции:

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16.  
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24. 25.
26. 27. 28.
29. 30.  

 

 

«јƒјЌ»≈ 6. »сследовать функцию и построить ее график:

1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
29. 30.  

 

ќбразец выполнени€ контрольной работы

Уѕриложение ѕ–ќ»«¬ќƒЌќ…Ф

1) »сследовать на экстремум функцию .

–ешение. Ќайдем точки, подозрительные на экстремум. ƒл€ этого возьмем производную и приравн€ем ее нулю.

 

при .

  Ц + Ц + х  

 

 

 

–исунок 1

 

Ќа тех интервалах, где , функци€ убывает; где , функци€ возрастает. ѕоэтому интервалы возрастани€ функции и , интервалы убывани€ функции: и .

ѕо рисунку 1 видно, что в точках и функци€ принимает свои минимальные значени€, а при Ц максимальное. Ќайдем эти значени€:

 

ќтвет: .

2) Ќайти наибольшее и наименьшее значени€ функции на отрезке .

–ешение. “ак как свои наименьшее и наибольшее значени€ непрерывна€ на отрезке функци€ может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, вход€щих в этот отрезок, то находим значени€ исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значени€:

при ,

,

Ќайдем значение функции только при . “ак как , то

.

¬ыбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел Ц это 10. “еперь наименьшее Ц это 3.

ќтвет:

 

3) Ќайти точки перегиба функции .

–ешение. “ак как точками перегиба €вл€ютс€ те точки из области допустимых значений, где втора€ производна€ мен€ет знак, сначала найдем , затем и приравн€ем к нулю:

при , т. к. дл€ всех .

- +     2   –исунок 2
“ак как в точке изменила знак, то функци€ изменила выпуклость на вогнутость, т. е. Ц точка перегиба функции (рис. 2). ќтвет: Ц точка перегиба.  

 

 

 

4) Ќайти асимптоты графика .

“ак как вертикальную асимптоту имеет функци€ с разрывом 2-го рода в точке , сначала найдем точки разрыва и исследуем поведение функции в их окрестност€х.

ќ.ƒ.«.

«начит, Ц точка разрыва, так как функци€ в этой точке не определена. Ќайдем предел слева и предел справа функции при подходе к точке . ¬ы€сним, разрыв какого рода терпит данна€ функци€ в этой точке.

. ѕредел слева равен .

 

. ѕредел слева равен .

“ак как односторонние пределы бесконечны, то в точке разрыв 2-го рода, поэтому уравнением вертикальной асимптоты будет .

‘ункци€ также может иметь или не иметь наклонные асимптоты. ≈сли они есть, то их уравнение запишем в виде ,

где .

Ќайдем правую наклонную асимптоту при .

 

ѕримен€ем правило Ћопитал€:

 

ѕримен€ем правило Ћопитал€:

 

ѕодставл€ем в уравнение асимптоты и получаем уравнение правой асимптоты Ќайдем левую асимптоту при . ѕовтор€€ все предыдущие действи€, как и дл€ , получаем уравнение левой асимптоты: (рис. 3) ќтвет: ¬ертикальна€ асимптота . Ќаклонна€ асимптота .  
у

 

-2

 

-2 -1 1 х

-2 -

 

 

–исунок 3

 

5) »сследовать функцию и построить ее график.

»сследование функции будем проводить по плану.

1. Ќайдем ќ.ƒ.«. и, если есть асимптоты ќ.ƒ.«., Ц любое. —ледовательно, нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

2. Ќайдем точки пересечени€ графика функции с ос€ми координат, исследуем функцию на четность, тригонометрические функции Ц на периодичность. ѕусть , тогда . ѕроверим четность функции:

.

«начит, данна€ функци€ нечетна€, и ее график симметричен относительно начала координат.

 

3. »сследуем монотонность функции с помощью .

.

 

ѕолучаем, что функци€ всюду возрастающа€, не имеюща€ точек экстремума, так как нет ни одной точки, в которой равен нулю или бесконечности (рис. 4).  
при

 
 


+ +

0 х

–исунок 4

 

4. — помощью находим точки перегиба.

 

при и .

 

 

 
 

 

 


¬се точки, в которых , €вл€ютс€ точками перегиба, так как в них мен€ет знак на противоположный (рис. 5).

 

Ќайдем значени€ функции в этих точках:

 

.

 

5. Ќайдем наклонные асимптоты, если они есть: .

—начала , тогда

ѕо правилу Ћопитал€:

“еперь найдем

 

ѕолучаем Ц уравнение правой асимптоты. ѕовтор€€ прежние рассуждени€ уже при , получим уравнение левой асимптоты: .

 

6. —троим график функции, начертив сначала все асимптоты, отметив точки экстремума, точки перегиба и точки пересечени€ с ос€ми координат (рис. 6).

 


 

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
ѕ–»«ћј. ¬ 10 (без объемов) | “еорема (–олл€)
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 938 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћибо вы управл€ете вашим днем, либо день управл€ет вами. © ƒжим –он
==> читать все изречени€...

1952 - | 1698 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.078 с.