Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—истемы дифференциальных уравнений

ѕрактическое зан€тие є1

—истемы обыкновенных дифференциальных уравнений. ќсновные свойства. ‘азовые траектории.

—истемы дифференциальных уравнений

ƒл€ решени€ многих технических и экономических задач требуетс€ определить несколько функций. Ќахождение этих функций может привести к нескольким ƒ”, образующим систему.

ќпределение 1.32 —истемой ƒ” называетс€ совокупность ƒ”, каждое из которых содержит независимую переменную x, искомые функции y1, y2,Е,yn и их производные.

ќбщий вид системы ƒ” первого пор€дка, содержащей n искомых функций y1, y2,Е,yn

ќпределение 1.33 Ќормальной системой ƒ” называетс€ система ƒ” первого пор€дка, разрешенных относительно производной

 

(1.58)

 

„исло уравнений системы равно числу искомых функций. —истемы ƒ” и ƒ” высших пор€дков во многих случа€х можно привести к нормальной системе ƒ” (1.58).

Ќапример, система трех ƒ” второго пор€дка

путем введени€ новых переменных , , приводитс€ к нормальной системе ƒ”:

ќпределение 1.34 –ешением системы (1.58) называетс€ совокупность из n функций которые после подстановки в систему обращают каждое еЄ уравнение в верное равенство.

ќпределение 1.35 Ќачальными услови€ми дл€ системы (1.58) называетс€ услови€ вида

 

, (1.59)

 

ќпределение 1.36 –ешением задачи  оши дл€ системы (1.58) называетс€ такое решение, которое удовлетвор€ет начальным услови€м (1.59).

ќпределение 1.37 ќбщим решением системы (1.58) в области D называетс€ набор функций , которые дл€ любых €вл€ютс€ решением (1.58) и дл€ любых начальных условий (1.59) из области определени€ системы существует набор при котором функции удовлетвор€ют начальным услови€м (1.59).

ќпределение 1.38 ¬с€кое решение

 

(1.60)

 

полученное из общего решени€

 

(1.61)

 

при начальных услови€х (1.59), называетс€ частным решением.

ќдним из методов решени€ нормальной системы ƒ” €вл€етс€ метод сведени€ системы к одному ƒ” высшего пор€дка.

ѕусть задана система (1.58). ѕродифференцируем по x любое, например первое, уравнение:

 

(1.62)

 

ѕодставив в это равенство производные из системы (1.58), получим , или

 

. (1.63)

 

ѕродифференцировав равенство (1.63) ещЄ раз и заменив из (1.58), получим

 

(1.64)

 

и так далее.

ѕродифференцировав (1.63) в последний раз, получаем

 

(1.65)

 

—истема из полученных уравнений имеет вид:

 

(1.66)

»з первых (n-1) уравнений системы (1.66) выразим функции y2,y3,Е,yn через x, функцию y1 и еЄ производные

ѕолучим:

 

(1.67)

 

Ќайденные значени€ y2,y3,Е,yn подставим в последнее уравнение системы (1.67). ѕолучим одно ƒ” n-го пор€дка относительно искомой функции y1:

 

(1.68)

 

ѕусть его общее решение есть функци€

 

(1.69)

 

ѕродифференцировав его (n-1) раз и подставив значени€ производных в уравнени€ системы (1.67), найдем функции :

 

(1.70)

 

 

ѕример 1.31–ешить систему дифференциальных уравнений

–ешение. ƒифференцируем первое уравнение по x:

 

(1.71)

 

»з первого уравнени€ системы определ€ем “огда из второго уравнени€ системы имеем

, т.е.

ѕодставл€€ полученное дл€ выражение в соотношение (1.71), имеем

.

“аким образом, приходим к уравнению второго пор€дка с одной неизвестной функцией :

.

–еша€ его, находим

“огда

»так, общее решение системы имеет вид

 

 

–ассмотрим еще один метод решени€ нормальной системы ƒ” (1.58), когда она представл€ет собой систему линейных однородных ƒ” с посто€нными коэффициентами, т.е. систему вида

(1.72)

 

ƒл€ простоты рассмотрим систему трех уравнений с трем€ неизвестными функци€ми y1,y2,y3:

 

(1.73)

 

где - посто€нные коэффициенты.

Ѕудем искать частное решение системы (1.73) в виде

 

(1.74)

 

где - посто€нные, которые надо подобрать так, чтобы функции (1.74) удовлетвор€ли системе (1.73).

ѕодставив эти функции в систему (1.73) и сократив на множитель , получаем:

или

 

(1.75)

 

—истема (1.75) Ц однородна€ система линейных алгебраических уравнений с трем€ неизвестными имеет ненулевые решени€ тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:

 

(1.76)

 

ќпределение 1.39 ”равнение (1.76) называетс€ характеристическим уравнением системы (1.73).

”равнение (1.76) €вл€етс€ уравнением третьей степени относительно k. –ассмотрим возможные случаи.

—лучай 1.  орни (1.76) действительные и различные . ƒл€ каждого корн€ напишем систему (1.75) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице).

ѕолучаем частные решени€ системы (1.73):

дл€ корн€ : , , ;

дл€ корн€ : , , ;

дл€ корн€ : , , .

Ёти функции образуют фундаментальную систему решений и общее решение системы (1.73) записываютс€ в виде:

 

(1.77)

 

—лучай 2. ’арактеристическое уравнение (1.76) имеет корень k кратности m (m=2;3). –ешение системы, соответствующее кратному корню, ищем в виде:

а) если m=2, то

б) если m=3, то , , .

Ёто решение зависит от m произвольных посто€нных A, B, C,Е, N, которые определ€ютс€ методом неопределенных коэффициентов. ¬ыразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. ѕолучим m линейно независимых частных решений системы (1.73).

—лучай 3.  орни характеристического уравнени€ различные, но среди них есть комплексные: ¬ид частных решений:

дл€ k1:

дл€ k2:

дл€ k3:

 

ќбщее решение имеет вид:

 

(1.78)

 

ѕример 1.32–ешить систему уравнений:

–ешение. ’арактеристическое уравнение имеет вид , его корни k1= Ц1, k2=3.

„астные решени€ ищем в виде , и , . Ќайдем

ѕри k1= Ц1 система (1.75) имеет вид

или

Ёта система имеет бесчисленное множество решений. ѕусть , тогда . ѕолучаем частные решени€ , .

ѕри k2=3 система (1.75) имеет вид

ѕусть “огда корню k2=3 соответствуют частные решени€: и .

ќбщее решение исходной системы имеет вид:

 

—амосто€тельна€ работа

1. Ќайти общее решение системы уравнений:

ќтв.

2. Ќайти решение задачи  оши:

ќтв.

 

3. Ќайти общее решение системы уравнений

ќтв.

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
–азвитие эмоций и их значение в жизни человека | —емисегментный дешифратор
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 616 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—ложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © јмели€ Ёрхарт
==> читать все изречени€...

1972 - | 1870 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.033 с.