Производные высшего порядка

Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

 

Примеры.

а) Найти производную сложной функции .

Решение.

Здесь мы имеем дело с композицией трех функций, из которых внешней является тангенс. Производная тангенса равна

Тогда

б) Продифференцировать функцию

Решение.

Сначала найдем производную произведения:

Далее, по формуле производной сложной функции

 

в) Определить производную функции .

Решение.

Применим формулы производной сложной функции и производной частного.

г) Найти y'', если .

Решение.

Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.

Теперь найдем производную второго порядка

д) Вычислить производную степенно-показательной функции

Решение.

Прологарифмируем заданную функцию:

Вычислим производную, воспользовавшись формулой производной произведения и производной сложной функции:

Выразим производную заданной функции:

.

е) Вычислить производную функции с помощью логарифмического дифференцирования

.

Решение.

Прологарифмируем функцию:

Преобразуем выражение с помощью свойств логарифмов:

;

Продифференцируем полученное равенство

.

Выразим производную заданной функции:

.