Производная сложной функции

Тема 2.3 Производная функции (повторение).

Основные понятия

Определение производной

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

Если C — постоянное число и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Производная сложной функции

Сложная функция (композиция функций) записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом (если функций больше, то промежуточным аргументом) для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Таблица производных функций независимой переменной.

Функция	Производная	Функция	Производная
Постоянная		Тригонометрические
Степенная
Логарифмическая В частности		Обратные тригонометрические
Показательная В частности

Таблица производных функций, аргументом которой является функция.

Функция	Производная	Функция	Производная