Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Приклади




1. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Використаємо формулу (6)

.

2. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Для цього інтеграла здійснимо заміну змінної

;

3. Обчислити інтеграл від раціональної функції:

Розв'язання. Для знаходження цього інтеграла можна застосувати формулу (8), оскільки виконується умова . Однак обчислимо цей інтеграл виділенням у знаменнику повного квадрату:

= .

Перший інтеграл проінтегруємо методом заміни z=t2 +4, dz=2tdt

Другий інтеграл табличний і за формулою (9) дістанемо

.

Отже, .

4. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Для обчислення цього інтеграла не можна застосувати формулу (8), оскільки p2- 4 q =36-20=16>0. Обчислимо його двома способами.

а. Квадратний тричлен у знаменнику має корені, тому розкладається на множники:

.

Розкладемо раціональний дріб на суму найпростіших дробів, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів:

.

Прирівнявши коефіцієнти многочленів чисельника при відповідних степенях змінної дістанемо систему рівнянь відносно коефіцієнтів і :

Розв’язком цієї системи є . Тому . Отже,

.

б. Виділимо повний квадрат у знаменнику та здійснимо заміну:

.

Інтеграл знайдемо, здійснивши заміну :

.

Інтеграл табличний, та згідно формули (13) таблиці інтегралів дістанемо

.

Отже, .

Отримані результати першим та другим способами по формі є різними, а по значенню – тотожними. Дійсно,

.

Другий спосіб є більш зручним у разі, коли квадратний тричлен має ірраціональні корені. У цьому випадку розклад раціонального дробу на найпростіші дроби стає громіздким, оскільки коефіцієнтами при невідомих у системі рівнянь є ірраціональні числа. Наприклад, для інтегралу

квадратний тричлен знаменника має корені . Тому

, та .

Подальші перетворення стають громіздкими. В той час, як другим способом маємо:

5. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Розкладемо підінтегральний раціональний дріб на елементарні раціональні дроби:

,

де A, B, C невідомі коефіцієнти розкладу. Щоб їх знайти зведемо праву частину до спільного знаменника і, прирівнявши чисельники, матимемо:

.

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х одержимо систему рівнянь

розв'язком якої є , , , тобто . Отже

.

6. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .

Розв'язання. Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Виділимо цілу частину цього дробу і правильний раціональний дріб:

.

Тому .

Завдання для самостійного розв'язання

5. Проінтегрувати раціональні дроби

1) , 2) , 3) ,4) ,

5) , 6) , 7) .

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 619 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наглость – это ругаться с преподавателем по поводу четверки, хотя перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2635 - | 2207 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.