1. Обчислити інтеграл від раціональної функції:
Розв'язання. Використаємо формулу (6)
.
2. Обчислити інтеграл від раціональної функції:
Розв'язання. Для цього інтеграла здійснимо заміну змінної
;
3. Обчислити інтеграл від раціональної функції:
Розв'язання. Для знаходження цього інтеграла можна застосувати формулу (8), оскільки виконується умова . Однак обчислимо цей інтеграл виділенням у знаменнику повного квадрату:
= .
Перший інтеграл проінтегруємо методом заміни z=t2 +4, dz=2tdt
Другий інтеграл табличний і за формулою (9) дістанемо
.
Отже, .
4. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .
Розв'язання. Для обчислення цього інтеграла не можна застосувати формулу (8), оскільки p2- 4 q =36-20=16>0. Обчислимо його двома способами.
а. Квадратний тричлен у знаменнику має корені, тому розкладається на множники:
.
Розкладемо раціональний дріб на суму найпростіших дробів, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів:
.
Прирівнявши коефіцієнти многочленів чисельника при відповідних степенях змінної дістанемо систему рівнянь відносно коефіцієнтів і :
Розв’язком цієї системи є . Тому . Отже,
.
б. Виділимо повний квадрат у знаменнику та здійснимо заміну:
.
Інтеграл знайдемо, здійснивши заміну :
.
Інтеграл табличний, та згідно формули (13) таблиці інтегралів дістанемо
.
Отже, .
Отримані результати першим та другим способами по формі є різними, а по значенню – тотожними. Дійсно,
.
Другий спосіб є більш зручним у разі, коли квадратний тричлен має ірраціональні корені. У цьому випадку розклад раціонального дробу на найпростіші дроби стає громіздким, оскільки коефіцієнтами при невідомих у системі рівнянь є ірраціональні числа. Наприклад, для інтегралу
квадратний тричлен знаменника має корені . Тому
, та .
Подальші перетворення стають громіздкими. В той час, як другим способом маємо:
5. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .
Розв'язання. Розкладемо підінтегральний раціональний дріб на елементарні раціональні дроби:
,
де A, B, C невідомі коефіцієнти розкладу. Щоб їх знайти зведемо праву частину до спільного знаменника і, прирівнявши чисельники, матимемо:
.
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х одержимо систему рівнянь
розв'язком якої є , , , тобто . Отже
.
6. Обчислити інтеграл від раціональної функції: .
Розв'язання. Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Виділимо цілу частину цього дробу і правильний раціональний дріб:
.
Тому .
Завдання для самостійного розв'язання
5. Проінтегрувати раціональні дроби
1) , 2) , 3) ,4) ,
5) , 6) , 7) .