Інтегрування раціональних функцій

Функцію називають раціональною, якщо її можна подати у вигляді , де – многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Якщо степінь многочлена менший за степінь многочлена , то раціональну функцію називають правильною, я якщо більший або дорівнює йому, – то неправильною. Неправильну раціональну функцію завжди можна перетворити на правильну, виділивши цілу частину

, (4)

де , , деякі многочлени, та степінь многочлена менший за степінь многочлена .

Надалі будемо розглядати саме правильні раціональні функції.

Якщо – многочлен степеня , то його завжди можна розкласти на такі множники:

, (5)

де – кратність коренів , а квадратні вирази не мають дійсних коренів, тобто, не розкладаються на множники. Тоді правильний раціональний дріб єдиним чином представляється у вигляді суми найпростіших раціональних дробів:

Якщо , то

.

Розклад правильної раціональної функції на найпростіші раціональні дроби здійснюється методом невизначених коефіцієнтів. Якщо множники в знаменнику є двочлени у першому степені, то такий дріб розкладається на суму дробів, у яких знаменниками є двочлен, а в чисельнику стала величина Наприклад:

.

Оскільки перший і останній дроби рівності однакові та однакові їхні знаменники, то повинні бути однаковими також їхні чисельники:

.

Із цієї рівності відносно A та B дістанемо систему рівнянь:

.

Розв’язком цієї системи є A= 3, B =3. Отже,

.

Якщо в знаменнику двочлен має степінь 2, то при розкладі на найпростіші дроби будуть міститись два дроби, у яких знаменником для першого дробу буде двочлен в першому степені, а для другого – цей самий двочлен в другому степені. Чисельниками будуть сталі величини.

.

Так як перший і останній дроби рівності однакові, їхні знаменники однакові, то повинні бути однаковими й чисельники. Два многочлена однакові, якщо однакові відповідні коефіцієнти при однакових степенях змінної . Це призводить до системи лінійних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів :

Розв'язком цієї системи є . Отже .

Якщо ж у знаменнику буде множником квадратний тричлен, який не розкладається на множники, то при розкладі на найпростіші дроби, знаменником якого буде цей тричлен, у чисельнику буде знаходитись двочлен виду Ax+B.

.

Прирівнявши чисельники першого та останнього дробів цієї рівності, дістанемо систему рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів:

Розв’язком цієї системи є . Отже,

.

Таким чином, інтегрування правильного раціонального дробу зводиться до інтегрування таких найпростіших раціональних дробів:

1. .

2. , .

3. , .

4. , , .

Для інтегрування раціонального дробу використовують алгоритм:

1 крок (виконується для неправильних дробів). Виділити цілу частину та правильний дріб .

2 крок Розкласти многочлен на множники (5)

3 крок. Розкласти дріб на суму найпростіших раціональних дробів методом невизначених коефіцієнтів.

4 крок. Проінтегрувати цілу частину і кожний з утворених найпростіших раціональних дробів. Останній крок алгоритму можливий завдяки використання наступних формул: