Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 лассификаци€ поверхностей второго пор€дка




ѕон€тие поверхности второго пор€дка.

ѕоверхность второго пор€дка - геометрическое место точек, декартовы пр€моугольные координаты которых удовлетвор€ют уравнению вида

a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 =0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22, a33 , a12 , a23,a13 отличен от нул€.

”равнение (1) мы будем называть общим уравнением по≠верхности второго пор€дка.

ќчевидно, поверхность второго пор€дка, рассматриваема€ как геометрический объект, не мен€етс€, если от данной де≠картовой пр€моугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. ќтметим, что исходное уравне≠ние (1) и уравнение, полученное после преобразовани€ коор≠динат, алгебраически эквивалентны.


1. »нварианты уравнени€ поверхности второго пор€дка.

—праведливо следующее утверждение.

€вл€ютс€ инвариантами уравнени€ (1) поверхности второго-пор€дка относительно преобразований декартовой системы ко≠ординат.

ƒоказательство этого утверждени€ приведено в выпуске ЂЋинейна€ алгебраї насто€щего курса.

 лассификаци€ поверхностей второго пор€дка

1.  лассификаци€ центральных поверхностей. ѕусть S Ч центральна€ поверхность второго пор€дка. ѕеренесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан≠дартное упрощение уравнени€ этой поверхности. ¬ резуль≠тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44 = 0 (2)

“ак как инвариант I3 дл€ центральной поверхности отличен от нол€ и его значение, вычисленное дл€ уравнени€ (2), равно a11 Х а22 Х a33, то коэффициенты a1122, a33 удовлетвор€ют условию:

 
 


¬озможны следующие случаи:

Ä 1∞.  оэффициенты a1122, a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нул€. ¬ этом случае поверхность S называетс€ эллипсоидом.

≈сли коэффициенты a1122, a33, а44 одного знака, то лева€ часть (2) ни при каких значени€х х, у, z не обращаетс€ в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетвор€ют коорди≠наты никакой точки. ¬ этом случае поверхность S называетс€ мнимым эллипсоидом.

≈сли знак коэффициентов a1122, a33 противоположен знаку коэффициентаа44 , то поверхность S называетс€ вещественным эллипсоидом. ¬ дальнейшем термином Ђэллипсоидї мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

ќбычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. ќчевидно, числа

положительны. ќбозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. ѕосле не≠сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

”равнение (3) называетс€ каноническим уравнением эллип≠соида.

≈сли эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси ќх, ќу и ќz.называютс€ его главными ос€ми.

Ä 2∞. »з четырех коэффициентов a1122, a33, а44 два одного зна≠ка, а два другихЧпротивоположного. ¬ этом случае поверх≠ность S называетс€ однополостным гиперболоидом.

ќбычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. ѕусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. “огда числа

положительны. ќбозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. ѕосле несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

”равнение (4) называетс€ каноническим уравнением однопо≠лостного гиперболоида.

≈сли однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси ќх, ќу и Oz называютс€ его глав≠ными ос€ми.

Ä 3∞. «нак одного из первых трех коэффициентов a1122, a33, а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. ¬ этом случае поверхность S называетс€ двуполостным гиперболоидом.

«апишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче≠ской форме. ѕусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. “огда:

ќбозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. ѕоcли несложных преобразова≠ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи≠сать в следующей форме:

”равнение (5) называетс€ каноническим уравнением двупо≠лостного гиперболоида.

≈сли двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси ќх, ќу и ќz называютс€ его главными ос€ми.

Ä 4∞.  оэффициент а44 равен нулю. ¬ этом случае поверхность S называетс€ конусом второго пор€дка.

≈сли коэффициенты a11, а22 , a33 одного знака, то лева€ часть (2) обращаетс€ в нуль (а44 = 0) лишь дл€ х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетвор€ют координаты только едной точки. ¬ этом случае поверхность S называетс€ мнимым конусом второго пор€дка. ≈сли коэффициенты a11, а22 , a33 имеют разные знаки, то поверхность S €вл€етс€ вещественным конусом второго пор€дка.

ќбычно уравнение вещественного конуса второго пор€дка за≠писывают в канонической форме. ѕусть, ради определенности,

a11 > o, а22 > 0, a33 < 0. ќбозначим

соответственно через а2, b2, с2. “огда уравнение (2) можно записать в виде

”равнение (6) называетс€ каноническим уравнением веще≠ственного конуса второго пор€дка.

 


2.  лассификаци€ нецентральных поверхностей второго по≠р€дка.

ѕусть S Ч нецентральна€ поверхность второго пор€дка, т. е. поверхность, дл€ которой инвариант I3 равен нулю. ѕроизведем стандартное упрощение урав≠нени€ этой поверхности. ¬ результате уравнение поверхности примет вид

11х´2 + а´22у´2 + a´332 + 2а´14 x´ + 2а´24у´+2а´34z´ +а´44 =0 (7)

дл€ системы координат Ox´y´z´

“ак как инвариант I3 = 0 и его значение, вы≠численное дл€ уравнени€ (7), равно

11 Х а´22 Х a´33 , то один или два из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33 равны нулю. ¬ соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.


Ä 1∞. ќдин из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33 равен нулю. –адиопределенности будем считать, что a´33 = 0 (если равен нулю ка≠кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей≠ти к рассматриваемому случаю путем переименовани€ осей координат). ѕерейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

ѕодставл€€ х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и замен€€ затем

11 на a11, а´22 на а22, а´34 на p и а´44 на q, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко≠ординат Oxyz:

a11х2 + а22у2 + 2pz + q = 0 (9)

 

 
 


1) ѕусть р = 0, q = 0. ѕоверхность S распадаетс€ на пару пло≠скостей

ѕри этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а22 одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22 различны.

2) ѕусть р = 0, q ≠ 0. ”равнение (9) принимает вид

a11х2 + а22у2 + q = 0 (10)

»звестно, что уравнение (10) €в≠л€етс€ уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси ќz. ѕри этом если a11 , а22 , q имеют одинаковый знак, то лева€ часть (10) отлична от нул€ дл€ любых х и y, т. е. ци≠линдр будет мнимым. ≈сли же среди коэффициентов a11 , а22 , q имеютс€ коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве≠щественным. ќтметим, что в случае, когда a11 и а22 имеют одинаковые знаки, a q Ч противоположный, то величины

положительны.

 

ќбознача€ их соответственно через а2 и b2, мы приведем уравнение (10) к виду

“аким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. ¬ случае,a11 и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Ћегко убедитьс€, что урав≠нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) ѕусть р≠0. ѕроизведем параллельный перенос системы координат, выбира€ новое начало в точке с координатами

(0, 0,).

ѕри этом оставим старые обозначени€ координат х, у, z. ќчевидно, дл€ того чтобы получить уравнение поверх≠ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав≠нении (9)

ѕолучим следующее уравнение:

a11х2 + а22у2 + 2pz = 0 (13)

”равнение (13) определ€ет так называемые параболоиды. ѕричем если a11 и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид называетс€ эллиптическим. ќбычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

”равнение (14) легко получаетс€ из (13). ≈сли a11 и а22 имеют разные знаки, то параболоид называетс€ гиперболиче≠ским.  аноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Ёто уравнение также легко может быть получено из (13).

Ä 2∞. ƒва из коэффициентов a´11 , а´22 , a´33 равны нулю. –ади определенности будем считать, что a´11 = 0 и а´22 = 0 ѕерейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам:

ѕодставл€€ х', у' и z',найденные из (16) в левую часть (7) и замен€€ затем a´33 на a33, 14 на р, a´24 на q и a´44 на r, по≠лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко≠ординат ќхуz:

a33 z2 + 2px + 2qy + r = 0 (17)


1) ѕусть р=0, q=0. ѕоверхность S распадаетс€ на пару па≠раллельных плоскостей

ѕри этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a33 и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различ≠ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаютс€ в одну.

2) ’от€ бы один из коэффициентов р или q отличен от нул€. ¬ этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы нова€ ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Ћегко убедитьс€, что при таком выборе системы координат, при условии сохранени€ обозначени€ х, у и z дл€ новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a33 z2 + 2q´y = 0 (19)

которое €вл€етс€ уравнением параболического цилиндра с обра≠зующими, параллельными новой оси ќх.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 506 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

1976 - | 1953 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.026 с.