Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
К выполнению индивидуальных заданий
по теме:
Пределы, непрерывность.
Производные»
Волгодонск
Пределы и непрерывность
Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.
Если существуют конечные пределы 
и 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
(если 
).
Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
Задача 1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
; г) 
;
б) 
; д) 
;
в) 
; е) 
; ж) 
;
з) 
; и) 
;
к) 
; л) 
; м) 
.
Очевидно, что в каждой из перечисленных задач нельзя непосредственно применить теоремы 1-3.
Решение. а) Если 
, то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на 
, где 
- степень многочлена, стоящего в знаменателе: 
.
Здесь мы воспользовались равенством 
при 
.
б) Прежде чем решать эту задачу, отметим, что если два многочлена 
и 
обращаются в нуль при 
, т.е. 
, то они представляются в виде
и 
.
И тогда
и т.д.
Постараемся свести нашу задачу к указанному случаю предела частного двух многочленов, для чего и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, умножим на 
, избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,
.
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:
(Так как 
при 
).
г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит 
, где 
.
д) Для решения этой задачи применим первое следствие из второго замечательного предела:
(Здесь 
).
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.
Например, задача ж имеет следующее решение: 
.
Задача 2. Задана функция 
аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной:
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение. Из непрерывности элементарных функций на их естественной области определения следует, что точками разрыва нашей функции могут быть только точки 
и 
. Исследуем функцию на непрерывность в указанных точках, для чего найдем пределы функции справа и слева в этих точках. Если предел справа будет равен пределу слева и совпадет со значением функции в точке, то функция в точке непрерывна:
; 
; 
.
Из этих равенств следует непрерывность функции в точке . Проверим, будет ли функция непрерывна в т. :
; 
.
Так как 
, то в точке функция терпит разрыв первого рода (пределы справа и слева существуют и конечны).
Для того чтобы сделать чертеж, изобразим графики функций 
для 
; 
для 
и 
для 
(рис. 3).
Рис.3
