Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


»сследование функций и построение графиков




ќбщее исследование функций и построение их графиков удобно выполн€ть по следующей схеме:

1. Ќайти область определени€ функции.

2. Ќайти точки пересечени€ с ос€ми координат.

3. ¬ы€снить, не €вл€етс€ ли функци€ четной или нечетной, периодической или непериодической.

3. Ќайти точки экстремума функции, вычислить значени€ функции

в этих точках. ”становить интервалы монотонности функции.

4. Ќайти точки перегиба графика функции, вычислить значени€ функции в этих точках. ”становить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

6. Ќайти асимптоты графика функции.

7. »спользу€ результаты исследований, построить график функции.

«адача 4. »сследовать функцию и построить ее график.

–ешение: 1. ‘ункци€ определена и непрерывна на всей оси, кроме точек , в которых функци€ не существует. »так,

.

2. Ќайдем точки пересечени€ с ос€ми координат.

а) с осью ќ’: .

—ледовательно, точка пересечени€ с осью ќ’ - ;

б) с осью ќY: ,

следовательно, точка пересечени€ с осью ќY - .

3. ‘ункци€ нечетна€, так как (при замене на она мен€ет знак на противоположный, поэтому график ее будет симметричен относительно начала координат). ‘ункци€ непериодическа€.

4. — помощью первой производной найдем промежутки возрастани€ и убывани€ функции.

»меем

.

–ешим уравнение , т.е. .

“очки , , будут подозрительными на экстремум. “очки , в которых производна€ не существует, но в этих точках не существует и функци€. –азбиваем всю область определени€ функции на промежутки: , , , , , и исследуем функцию дл€ . »нформаци€ о поведении функции на интервале (-2; 0) необходима дл€ анализа функции в точке х=0.

«нак производной устанавливаем методом интервалов. ѕо знаку производной определ€ем монотонность функции на каждом промежутке. –езультаты исследований заносим в таблицу:

 

      Ќе сущест.      
¬озрас- тает Ќет экстре- мума ¬озрас-тает Ќе сущест. ¬озрас-тает   ћакс.   ”бывает

 

5. „тобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: .

Ќаходим точки, в которых или не существуют: при и не существует при . »сследуем знак второй производной на промежутках , , , и результаты исследований представим в таблице:

 

  Ќе сущест.       Ќе сущест.  
¬ыпук-ла Ќе сущест- вует   ¬огну- та “очка переги-ба ¬ыпук-ла Ќе —ущест- вует ¬огну-та

6. Ќайдем вертикальные асимптоты:

»сследуем поведение функции в окрестности точки :

= = =+ ;

= = - .

„то касаетс€ точки , то в окрестности ее имеем:

; ;

Ќайдем наклонную асимптоту :

= ;

=

.

“аким образом, наша функци€ имеет наклонную асимптоту .

јналогично провер€етс€, что эта же пр€ма€ будет дл€ нее асимптотой и при ;

7. на основе проведенного исследовани€ функции строим ее график (рис.1).

 

–ис. 1

«адача 5. »сследовать функцию и построить ее график.

–ешение:

1. ќбласть определени€ функции Ц вс€ числова€ пр€ма€.

2. Ќайдем точки пересечени€ графика функции с ос€ми координат:

а) с осью OX: ; так как , то ,

т.е. точка пересечени€ с осью OX Ц начало координат O (0,0);

б) с осью OY: при ,

т.е. точка пересечени€ с осью OY Ц начало координат O (0,0).

»спользу€ результаты, можно определить промежутки, на которых функци€ сохран€ет знак.

ѕоскольку , то знак функции совпадает со знаком множител€ . √рафически промежутки знакопосто€нства функции изображены на рис.2.

__ +

0

3. ќпределим, €вл€етс€ ли функци€ четной или нечетной:

= . ясно также что

.

“о есть функци€ не €вл€етс€ ни четной, ни нечетной.

4. Ќайдем интервалы монотонности и экстремумы функции с помощью первой производной.

= .

Ќайдем возможные точки экстремума.  ритические или подозрительные на экстремум точки определ€ютс€ как точки, в которых или не существует:

=0. “ак как при любом , то . —ледовательно, или .

ћетодом интервалов находим знаки первой производной (см. рис.3).

 

+ __

2

–ис. 3

»з рис. 3 видно, что возрастает дл€ , так как дл€ этих значений выполн€етс€ неравенство и убывает дл€ , так как при указанных значени€х .

ѕри УпереходеФ через точку функци€ мен€ет знак с У + У на У __ У, следовательно, в точке функци€ достигает максимума.

–езультаты исследовани€ заносим в таблицу:

 

 
       
¬озрастает ћакс. 0,7 ”бывает  

 

5. ќпределим интервалы выпуклости и вогнутости функции, а также ее точки перегиба с помощью второй производной:

.

Ќайдем точки, в которых втора€ производна€ равна нулю или не существует:

= . ќтсюда и, значит, .

ѕрименим метод интервалов. Ќаходим знаки второй производной. (см. рис.4).

 

__ +

4

–ис.4

»з рис.4 видно, что вогнута дл€ , так как на этом промежутке и выпукла дл€ , так как здесь . —ледовательно, €вл€етс€ точкой перегиба функции.

ѕоскольку 0,541, то точка €вл€етс€ точкой перегиба графика функции .

–езультаты исследовани€ заносим в таблицу:

 

 
  -     +  
    ¬ыпукла ѕерегиб   ¬огнута  

 

6. Ќайдем асимптоты графика функции.

“ак как функци€ непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

ќпределим, имеет ли функци€ горизонтальные асимптоты.

“ак как = = , то при горизонталь-ной асимптоты нет. ƒалее,

= = = .

«десь мы применили правило Ћопитал€.

»так, при функци€ имеет горизонтальную асимптоту: .

ќпределим, имеет ли функци€ наклонные асимптоты, которые представл€ютс€ в виде .

Ѕудем искать наклонную асимптоту при :

= . —ледовательно, при наклонной асимптоты нет.

–ассмотрим теперь случай, когда . ѕоскольку при функци€ имеет горизонтальную асимптоту, то искать наклонную асимптоту при не имеет смысла.

—ледовательно, функци€ имеет только одну асимптоту Ц горизонтальную при .

7. Ќа основании полученных данных строим график функции (рис.5).

 

 

2 4

 

 

–ис.5

 

 

3. Ќаибольшее и наименьшее значени€ функций на отрезке

«адача 6. Ќайти наибольшее и наименьшее значени€ функции на отрезке .

–ешение. ≈сли функци€ непрерывна на замкнутом промежутке , то наибольшее и наименьшее значени€ она принимает или на концах этого отрезка или в точках ее экстремума. —ледовательно, дл€ решени€ поставленной задачи надо найти ее значени€ на концах отрезка и в точках, принадлежащих этому отрезку, подозрительных на экстремум. «атем из них выбрать наименьшее и наибольшее значени€. ќпредел€ем критические, или стационарные, точки функции :

; ; ; , .

–ассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку .

“акой точкой будет точка (точку получаем при ).

¬ычисл€€ значени€ функции на концах промежутка и в точке , находим:

1) ;

2) = ;

3) = .

ясно, что наибольшее значение функции будет равно , которое она принимает в точке ; наименьшее значение принимаетс€ функцией в точке и равно .

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 801 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

505 - | 523 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.058 с.