Правило Лопиталя. Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Методические указания

К выполнению индивидуальных заданий

по теме:

 

 

«Приложения производной»

Волгодонск

 

Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением, может быть, самой точки и непрерывны в этой окрестности (включая саму точку ), причем и = =0. Тогда, если существует , то существует и эти пределы равны, то есть

Таким образом, для нахождения предела (для раскрытия неопределенностей типа ()) достаточно найти производные числителя и знаменателя дроби и вычислить предел . Такое же правило применяется при , а также для раскрытия неопределенностей типа ().

Замечание. Если производные числителя и знаменателя в свою очередь стремятся к нулю или , то описанное правило применяется повторно и так далее.

Для вычисления предела вида ,

где и , или и ,

или и , можно использовать описанное правило, предварительно прологарифмировав выражение .

Задача 1. Вычислить .

Решение: .

Задача 2. Вычислить .

Решение:

.

Задача 3. Вычислить .

Решение:

Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа . Логарифмируем выражение , получаем .

С учетом последнего равенства находим

 

= 0.

Воспользовавшись непрерывностью функции на вcей естественной области определения, получим: . Отсюда =1.

Следовательно, =1.