Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћодели случайных сигналов и помех [2, 28]




Ќаиболее распространенными модел€ми случайных сигналов и помех €вл€ютс€ телеграфный сигнал, белый шум, гауссовский случайный процесс, гауссовский шум.

–ис. 17.4.1. “елеграфный сигнал.

“елеграфный сигнал - это случайный процесс xk(t), представл€ющий собой последовательность пр€моугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительност€ми и детерминированными значени€ми амплитуд c и -с, причем перемены знака внутри любого интервала (t, t+t) происход€т с интенсивностью a в случайные моменты времени и не завис€т от процессов в смежных временных интервалах. ≈сли считать случайной величиной телеграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала t, то распределение веро€тностей значений n будет описыватьс€ законом ѕуассона:

P(n) = (a|t|)2 exp(-a|t|)/n! (17.4.1)

–ис. 17.4.2. ‘ункци€ коррел€ции сигнала.

ѕри вычислении коррел€ционной функции телеграфного сигнала каждое отдельное произведение xk(t)xk(t+t) равно либо с2, либо -с2 в зависимости от совпадени€ или несовпадени€ знаков xk(t) и xk(t+t), причем веро€тность с2 равна сумме веро€тностей –(0)+–(2)+–(4)+..., а веро€тность -с2 определ€етс€ соответственно суммой веро€тностей –(1)+–(3)+–(5)+....

—ледовательно:

Rx(t) = M{xk(t)xk(t+t)}= c2 (-1)nP(n) =

= c2 exp(-a|t|) (-1)n(a|t)n/n! = c2 exp(-2a|t|). (17.4.2)

ѕараметр a полностью определ€ет ковариационные и спектральные свойства телеграфного сигнала. ѕри a Þ 0 характеристики сигнала приближаютс€ к характеристикам посто€нной составл€ющей, при a Þ ¥ - к характеристикам белого шума.

»нтервал ковариации сигнала:

Tk = 2 (Rx(t)/c2) dt = 2/a. (17.4.3)

ќтсюда следует, что чем больше a, тем меньше врем€ ковариации процесса. ѕри a Þ 0 Tk Þ ¥ и процесс вырождаетс€ в детерминированный (стремитс€ к посто€нной составл€ющей). ѕри a Þ ¥ Tk Þ 0 и процесс вырождаетс€ в белый шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних временных точках.

–ис. 17.4.3. —пектр сигнала.

ƒвусторонн€€ спектральна€ плотность сигнала:

Sx(w) = Rx(t) exp(-jwt) dt = ac2/(a2+w2). (17.4.4)

ќдносторонн€€ спектральна€ плотность:

Gx(w)=2 Rx(t) exp(-jwt) dt= 2ac2/(a2+w2). (17.4.5)

Ўирина спектра телеграфного сигнала:

Bk = Gx(w) dw/Gx(0) º Sx(w) dw/Sx(0) = ap. (17.4.6)

ќтсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал ковариации процесса.

Ѕелый шум €вл€етс€ стационарным случайным процессом x(t) с посто€нной спектральной плотностью Gx(f) = s2, равной дисперсии значений x(t). ƒругими словами, все спектральные составл€ющие белого шума имеют одинаковую энергию (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра).

ѕо своему физическому смыслу спектральна€ плотность - это мощность процесса, котора€ приходитс€ на 1 √ц полосы частот. Ќо тогда идеального белого шума на практике не может существовать, так как дл€ него должно было бы выполн€тьс€ условие:

Rx(0) = Gx(f) df = (s2/2)×d(0) = ¥, (17.4.7)

т.е. мощность белого шума и его дисперси€ равны бесконечности, а значени€ шума не коррелированны дл€ любых |t| ¹ 0, так как коррел€ционна€ функци€ представл€ет собой идеальный дельта-импульс. “ем не менее многие помехи в радиотехнике, в технике св€зи и в других отрасл€х рассматривают как белый шум, если выполн€етс€ следующее соотношение между шириной спектров полезных сигналов и шумов

Bk.сигнал/Bk.шум << 1,

и спектральна€ плотность шумов слабо измен€етс€ в интервале спектра сигнала.

–ис. 17.4.4. ‘ункции коррел€ции белого шума в частотном интервале 0-¬.

≈сли частотный диапазон спектра, на котором рассматриваютс€ сигналы и помехи, равен 0-¬, то спектральна€ плотность шума задаетс€ в виде:

Gx(f) = s2, 0 £ f £ B; Gx(f) = 0, f > B, (17.4.8)

при этом коррел€ционна€ функци€ шума определ€етс€ выражением:

Rx(t) = s2B×sin(2pBt) / 2pBt. (17.4.9)

Ёффективна€ шумова€ ширина спектра:

Bk = Rx(0)/Gx(f)max = B. (17.4.10)

Ёффективное шумовое врем€ ковариации:

Tk = 2 |Rx(t)|dt /Rx(0). (17.4.11)

–еальное шумовое врем€ ковариации целесообразно определить по ширине главного максимума функции Rx(t), в котором сосредоточена основна€ часть энергии шумов, при этом Tk = 1/¬ и BkTk = 1, т.е. соотношение неопределенности выполн€етс€.

 ак следует из всех этих выражений и нагл€дно видно на рис. 17.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах по€вл€етс€ определенна€ ковариаци€ между значени€ми и чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус ковариации. ѕо существу, ограничение частотного диапазона шумов определенным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускани€, при этом, в полном соответствии с выражением (17.3.7), коррел€ционна€ функци€ импульсного отклика фильтра переноситс€ на шум.

√ауссовский шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию коррел€ции:

Rx(t) = a exp(-2ps2t2). (17.4.12)

—пектральна€ плотность шумов:

Sx(f) = (a/s ) exp(-f2/2s2), - ¥ < f < ¥. (17.4.13)

Ёффективные шумовые ширина спектра и врем€ ковариации:

Bk = s /2 = 1.25s, Tk = 1/s = 0.4/s. (17.4.14)

—оотношение неопределенности превращаетс€ в равенство: BkTk = 1/2.

√ауссовские случайные процессы преобладают в практических задачах. —лучайный процесс x(t) называетс€ гауссовским, если дл€ любого набора фиксированных моментов времени tn случайные величины x(tn) подчин€ютс€ многомерному нормальному распределению. ѕлотность веро€тностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссовского процесса определ€етс€ выражением:

p(x) = (sx )-1 exp(-(x-mx)2/2s2). (17.4.15)

—реднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу “:

mx = xp(x) dx, mx ї (1/T) x(t) dt.

ѕри нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) дл€ упрощени€ расчетов) дисперси€ не зависит от t и равна:

sx2 = x2 p(x) dx.

ќценка дисперсии при больших “:

sx2ї (1/T) x2(t) dt = Sx(f) df = 2 Sx(f) df = Gx(f) df. (17.4.16)

—ледовательно, плотность веро€тностей гауссовского процесса полностью характеризуетс€ спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. Ќа вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладываетс€.

 

литература

1. Ѕаскаков —.». –адиотехнические цепи и сигналы: ”чебник дл€ вузов. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1988.- 448 с.

2. Ѕендат ƒж., ѕирсол ј. ѕрикладной анализ случайных данных. Ц ћ.: ћир, 1989. Ц 540 с.

25. —ергиенко ј.Ѕ. ÷ифрова€ обработка сигналов. Ц —ѕб.: ѕитер, 2003. Ц 608 с.

26. ¬еро€тностные методы в вычислительной технике: ”чебное пособие дл€ вузов./ ј.¬. райников и др. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1986. - 312 с.

26. ¬еро€тностные методы в вычислительной технике: ”чебное пособие дл€ вузов./ ј.¬. райников и др. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1986. - 312 с.

27. √урский ≈.». “еори€ веро€тностей с элементами математической статистики: ”чебное пособие дл€ вузов. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1971.- 328 с.

28. »гнатов ¬.ј. “еори€ информации и передачи сигналов. - ћ.: —оветское радио, 1979.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1071 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„еловек, которым вам суждено стать Ц это только тот человек, которым вы сами решите стать. © –альф ”олдо Ёмерсон
==> читать все изречени€...

2085 - | 1937 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.