Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—лучайные процессы и функции [1, 2, 25]




—лучайный процесс ’(t) представл€ет собой функцию, котора€ отличаетс€ тем, что принимаемые ею значени€ в любые произвольные моменты времени по координате t €вл€ютс€ случайными. —трого с теоретических позиций, случайный процесс X(t) следует рассматривать как совокупность временных функций xk(t), имеющих определенную общую статистическую закономерность. ѕри регистрации случайного процесса на определенном временном интервале осуществл€етс€ фиксирование единичной реализации xk(t) из бесчисленного числа возможных реализаций процесса X(t). Ёта единична€ реализаци€ называетс€ выборочной функцией случайного процесса X(t). ѕримеры выборочных функций модельного случайного процесса X(t) приведены на рис. 17.1.1. ¬ дальнейшем без дополнительных по€снений при рассмотрении различных параметров и характеристик случайных процессов дл€ сопровождающих примеров будем использовать данную модель процесса.

–ис. 17.1.1. ¬ыборочные функции случайного процесса.

— практической точки зрени€ выборочна€ функци€ €вл€етс€ результатом отдельного эксперимента, после которого данную реализацию xk(t) можно считать детерминированной функцией. —ам случайный процесс в целом должен анализироватьс€ с позиции бесконечной совокупности таких реализаций, образующих статистический ансамбль. ѕолной статистической характеристикой такой системы €вл€етс€ N-мерна€ плотность веро€тностей р(xn;tn). ќднако, как экспериментальное определение N-мерных плотностей веро€тностей процессов, так и их использование в математическом анализе представл€ет значительные математические трудности. ѕоэтому на практике обычно ограничиваютс€ одно- и двумерной плотностью веро€тностей процессов.

‘ункциональные характеристики случайного процесса.

–ис. 17.1.2. —ечени€ случайного процесса X(t).

ƒопустим, что случайный процесс X(t) задан ансамблем реализаций {x1(t), x2(t),Е xk(t),Е}. ¬ произвольный момент времени t1 зафиксируем зафиксируем значени€ всех реализаций {x1(t1), x2(t1),Е xk(t1),Е}. —овокупность этих значений представл€ет собой случайную величину X(t1) и €вл€етс€ одномерным сечением случайного процесса X(t). ѕримеры сечений по 100 выборкам случайного процесса X(t) в точках t1 и t2 (рис. 17.1.1) приведены на рис. 17.1.2.

ќдномерна€ функци€ распределени€ веро€тностей (x,ti) определ€ет веро€тность того, что в момент времени ti значение случайной величины X(ti) не превысит значени€ x:

F(x,ti) = P{X(ti)≤x}.

ќчевидно, что в диапазоне значений веро€тностей от 0 до 1 функци€ F(x,t) €вл€етс€ неубывающей с предельными значени€ми F(-¥,t)=0 и F(¥,t)=1. ѕри известной функции F(x,t) веро€тность того, что значение X(ti) в выборках будет попадать в определенный интервал значений [a, b] будет определ€тьс€ выражением:

P{a<X(ti)≤b} = F(b,ti) Ц F(a,ti).

ќдномерна€ плотность веро€тностей p(x,t) случайного процесса ’(t) характеризует распределение веро€тностей реализации случайной величины ’(ti) в произвольный момент времени ti. ќна представл€ет собой производную от функции распределени€ веро€тностей:

p(x,ti) = dF(x,ti)/dx.

ћоменты времени ti €вл€ютс€ сечени€ми случайного процесса X(t) по пространству возможных состо€ний и плотность веро€тностей p(x,ti) представл€ет собой плотность веро€тностей случайных величин X(ti) данных сечений. ѕроизведение p(x,ti)Јdx равно веро€тности реализации случайной величины X(ti) в бесконечно малом интервале dx в окрестности значени€ x, откуда следует, что плотность веро€тностей также €вл€етс€ неотрицательной величиной.

–ис. 17.1.3. –аспределение веро€тностей и плотность веро€тностей сечени€ случайного процесса

Ќа рис. 17.1.3 приведены примеры распределени€ веро€тностей и плотности веро€тностей сечени€ случайного процесса X(t) в точке t1 (рис. 17.1.1). ‘ункции веро€тностей определены по N=1000 выборок дискретной модели случайного процесса и сопоставлены с теоретическими распределени€ми при N Ѓ ¥.

ѕри известной функции плотности веро€тностей веро€тность реализации значени€ X(ti) в произвольном интервале значений [a, b] вычисл€етс€ по формуле:

P(a<X(ti)≤b) = p(x,ti) dx.

‘ункци€ плотности веро€тностей должна быть нормирована к 1, т.к. случайна€ величина об€зана принимать какое-либо значение из числа возможных, образующих полное пространство случайных величин:

p(x,ti) dx =1.

ѕо известной плотности распределени€ вычисл€етс€ и функци€ распределени€ веро€тностей:

F(x,ti) = p(x,ti) dx.

—лучайные процессы и их функции характеризуютс€ неслучайными функци€ми математического ожидани€ (среднего значени€), дисперсии и коррел€ции:

ћатематическое ожидание (mean value) представл€ет собой статистическое усреднение случайной величины X(ti), под которым понимают усреднение по ансамблю реализаций в каком либо фиксированном сечении ti случайного процесса. —оответственно, функци€ математического ожидани€ €вл€етс€ теоретической оценкой среднего взвешенного значени€ случайного процесса по временной оси:

mx(t) º M{’(t)}º = x p(x;t) dx, (17.1.1)

ћатематическое ожидание mx(t) представл€ет собой неслучайную составл€ющую случайного процесса X(t). Ќа рис. 17.1.1. и 17.1.2 неслучайные составл€ющие m(t) модели случайного процесса X(t) выделены пунктиром и соответствуют выборкам N Ѓ ¥.

‘ункци€ дисперсии (variance) случайного процесса €вл€етс€ теоретической оценкой среднего взвешенного значени€ разности ’(t)-mx(t), котора€ называетс€ флюктуационной частью процесса:

Dx(t) = M{[’(t)-mx(t)]2} = M{X2(t)} - mx2(t) = [xo(t)]2 p(x;t) dx, (17.1.2)

xo(t) = x(t)-mx(t).

‘ункци€ среднего квадратического отклонени€ (standard deviation) служит амплитудной мерой разброса значений случайного процесса по временной оси относительно математического ожидани€ процесса:

sx(t) = . (17.1.3)

–ис. 17.1.4.

”читыва€ последнее выражение, дисперси€ случайной величины обычно обозначаетс€ индексом sx2.

Ќа рис. 17.1.4 приведен пример флюктуационной составл€ющей процесса X(t) (рис. 17.1.1) в одной из реализаций в сопоставлении со средним квадратическим отклонением ±s случайных величин от математического ожидани€ m(t).

 оррел€ционные функции случайных процессов. ќдномерные законы плотности распределени€ веро€тностей случайных процессов не несут каких-либо характеристик св€зи между значени€ми случайных величин дл€ различных значений аргументов.

ƒвумерна€ плотность веро€тностей p(x1,x2; t1,t2) определ€ет веро€тность совместной реализации значений случайных величин ’(t1) и ’(t2) в произвольные моменты времени t1 и t2 и в какой-то мере уже позвол€ет оценивать динамику развити€ процесса. ƒвумерна€ плотность веро€тностей описывает двумерную случайную величину {X(ti), X(tj)} в виде функции веро€тности реализации случайной величины X(ti) в бесконечно малом интервале dxi в окрестност€х xi в момент времени ti при условии, что в момент времени tj значение X(tj) будет реализовано в бесконечно малом интервале dxj в окрестност€х xj:

p(xi,xj; ti,tj) dxi dxj = P{|X(ti-xi|≤dxi/2, |X(tj-xj|≤dxj/2}.

’арактеристикой динамики изменени€ двумерной случайной величины {X(ti), X(tj)} €вл€етс€ коррел€ционна€ функци€, котора€ описывает случайный процесс в целом:

RX(ti,tj) = M{X(t1) X(t2)}.

 оррел€ционна€ функци€ представл€ет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса X(t) в моменты времени ti и tj по всем значени€м временных осей ti и tj, а следовательно тоже €вл€етс€ двумерной функцией. ¬ терминах теории веро€тностей коррел€ционна€ функци€ €вл€етс€ вторым начальным моментом случайного процесса.

Ќа рис. 17.1.5 приведены примеры реализаций двух случайных процессов, которые характеризуютс€ одной и той же функцией математического ожидани€ и дисперсии.

–ис. 17.1.5.

Ќа рисунке видно, что хот€ пространство состо€ний обоих процессов практически одно и то же, динамика развити€ процессов в реализаци€х существенно различаетс€. ≈диничные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечени€х оба процесса могут иметь один и тот же закон распределени€ случайных величин. ќднако динамика развити€ по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным €вл€етс€ более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеетс€ определенна€ св€зь между последовательными значени€ми случайных величин. ќценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса ’(t) в произвольные моменты времени t1 и t2 и производитс€ функцией коррел€ции. ѕо всему пространству значений случайного процесса X(t) коррел€ционна€ функци€ определ€етс€ выражением:

R(ti,tj) = x(ti)x(tj) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj, (17.1.4)

–ис. 17.1.6. ƒвумерна€ плотность веро€тностей и коррел€ционна€ функци€ процесса X(t).

Ќа рис. 17.1.6 приведена форма модельного случайного процесса X(t) в одной выборке со значительной и измен€ющейс€ неслучайной составл€ющей. ћодель задана на интервале 0-“ (“=100) в дискретной форме с шагом Dt=1.  оррел€ционна€ функци€ вычислена по заданной плотности веро€тностей модели

ѕри анализе случайных процессов второй момент времени tj удобно задавать величиной сдвига t относительно первого момента, который при этом может быть задан в виде координатной переменной:

R(t,t+t) = M{’(t)’(t+t)}. (17.1.4')

‘ункци€, задаваема€ этим выражением, обычно называетс€ автокоррел€ционной функцией случайного процесса.

 овариационные функции. „астным случаем коррел€ционной функции €вл€етс€ функци€ автоковариации (‘ј ), котора€ широко используетс€ при анализе сигналов. ќна представл€ет собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t)-mx(t) в моменты времени ti и tj и характеризует флюктуационную составл€ющую процесса:

K(ti,tj) = (x(ti)-mx(ti)) (x(tj)-mx(tj)) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj, (17.1.5)

¬ терминах теории веро€тностей ковариационна€ функци€ €вл€етс€ вторым центральным моментом случайного процесса. ƒл€ центрированных случайных процессов ‘ј  тождественна функции коррел€ции. ѕри произвольных значени€х mx ковариационные и коррел€ционные функции св€заны соотношением:

KX(t,t+t) = RX(t,t+t) - mx2(t).

Ќормированна€ функци€ автоковариации (функци€ коррел€ционных коэффициентов):

r(t,t+t) = K(t,t+t)/[s(t)s(t+t)]. (17.1.6)

ѕри t = 0 значение r равно 1, а ‘ј  вырождаетс€ в дисперсию случайного процесса:

K(t) = D(t).

ќтсюда следует, что дл€ случайных процессов и функций основными характеристиками €вл€ютс€ функции математического ожидани€ и коррел€ции (ковариации). ќсобой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеетс€.

–ис. 17.1.7. –еализации и ковариационные функции случайных процессов.

ѕримеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариационных функций приведены на рис. 17.1.7.

—войства функций автоковариации и автокоррел€ции.

1. ћаксимум функций наблюдаетс€ при t = 0. Ёто очевидно, т.к. при t = 0 вычисл€етс€ степень св€зи отсчетов с собой же, котора€ не может быть меньше св€зи разных отсчетов. «начение максимума функции коррел€ции равно средней мощности сигнала.

2. ‘ункции автокоррел€ции и автоковариации €вл€ютс€ четными: RX(t) = RX(-t). ѕоследнее также очевидно: X(t)X(t+t) = X(t-t)X(t) при t = t-t. √овор€ иначе, моменты двух случайных величин X(t1) и X(t2) не завис€т от последовательности, в которой эти величины рассматриваютс€, и соответственно симметричны относительно своих аргументов: Rx(t1,t2) = Rx(t2,t1), равно как и Kx(t1,t2) = Kx(t2,t1).

3. ѕри t Þ ¥ значени€ ‘ј  дл€ сигналов, конечных по энергии, стрем€тс€ к нулю, что пр€мо следует из физического смысла ‘ј . Ёто позвол€ет ограничивать длину ‘ј  определенным максимальным значением tmax - радиусом коррел€ции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. »нтегральной характеристикой времени коррел€ции случайных величин обычно считают эффективный интервал коррел€ции, определ€емый по формуле:

Tk =2 |rx(t)| dt º (2/Kx(0) |Kx(t)| dt. (17.1.7)

ќтсчеты (сечени€) случайных функций, отсто€щие друг от друга на рассто€ние большее Tk, при инженерных расчетах считают некоррелированными.

«аметим, что дл€ некоррелированных процессов при t Þ ¥ значение Tk стремитс€ к 2, что несколько противоречит физическому смыслу радиуса коррел€ции, который в этом случае должен был бы стремитьс€ к 1. — учетом последнего эффективный интервал коррел€ции целесообразно определ€ть по формуле:

Tk =2 |rx(t)| dt - 1 º (2/Kx(0) |Kx(t)| dt - 1. (17.1.7')

4. ≈сли к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационна€ функци€ не измен€етс€.

ќбозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). ‘ункци€ математического ожидани€ новой величины: = + f(t). ќтсюда следует, что Y(t) - = X(t) - , и соответственно Ky(t1,t2) = Kx(t1,t2).

5. ≈сли случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее коррел€ционна€ функци€ Rx(t1,t2) умножитс€ на f(t1)×f(t2). ќбоснование данного свойства проводитс€ по методике, аналогичной предыдущему пункту.

6. ѕри умножении функции случайного процесса на посто€нное значение — значени€ ‘ј  увеличиваютс€ в —2 раз.

¬заимные моменты случайных процессов второго пор€дка дают возможность оценить совместные свойства двух случайных процессов X(t) и Y(t) путем анализа произвольной пары выборочных функций xk(t) и yk(t).

ћера св€зи между двум€ случайными процессами X(t) и Y(t) также устанавливаетс€ коррел€ционными функци€ми, а именно - функци€ми взаимной коррел€ции и взаимной ковариации. ¬ общем случае, дл€ произвольных фиксированных моментов времени t1 = t и t2 = t+t:

RXY(t,t+t) = M{(X(t)(Y(t+t)}. (17.1.8)

KXY(t,t+t) = M{(X(t)-mx(t))(Y(t+t)-my(t+t))}. (17.1.9)

¬заимные функции €вл€ютс€ произвольными функци€ми (не обладают свойствами четности или нечетности), и удовлетвор€ют следующим соотношени€м:

Rxy(-t) = Ryx(t), (17.1.10)

|Rxy(t)|2 £ Rx(0)Ry(0).

≈сли один из процессов центрированный, то имеет место Rxy(t) = Kxy(t).

Ќормированна€ взаимна€ ковариационна€ функци€ (коэффициент коррел€ции двух процессов), котора€ характеризует степень линейной зависимости между случайными процессами при данном сдвиге t одного процесса по отношению ко второму, определ€етс€ выражением:

rxy(t) = Kxy(t)/(sxsy). (17.1.11)

—татистическа€ независимость случайных процессов определ€ет отсутствие св€зи между значени€ми двух случайных величин X и Y. Ёто означает, что плотность веро€тности одной случайной величины не зависит от того, какие значени€ принимает втора€ случайна€ величина. ƒвумерна€ плотность веро€тностей при этом должна представл€ть собой произведени€ одномерных плотностей веро€тностей этих двух величин:

p(x,y) = p(x) p(y).

Ёто условие €вл€етс€ об€зательным условием статистической независимости случайных величин. ¬ противном случае между случайными величинами может существовать определенна€ статистическа€ св€зь.  ак линейна€, так и нелинейна€. ћерой линейной статистической св€зи €вл€етс€ коэффициент коррел€ции:

rxy = [M{XЈY} Ц M{X)ЈM{Y}]/ .

«начений rxy могут измен€тьс€ в пределах от -1 до +1. ¬ частном случае, если случайные величины св€заны линейным соотношением x=ay+b, коэффициент коррел€ции равен ±1 в зависимости от знака константы а. —лучайные величины некоррелированны при rxy=0, при этом из выражени€ дл€ rxy следует:

M{XЈY} = M{X)ЈM{Y}.

»з статистической независимости величин следует их некоррелированность. ќбратное не очевидно. “ак, например, случайные величины x=cos j и y=sin j, где j - случайна€ величина с равномерным распределением в интервале 0Е2p, имеют нулевой коэффициент коррел€ции, и вместе с тем их зависимость очевидна.

 лассификаци€ случайных процессов. —лучайные процессы различают по степени однородности их протекани€ во времени (по аргументу).

Ќестационарные процессы. ¬ общем случае значени€ функций математического ожидани€, дисперсии и коррел€ции могут быть зависимыми от момента времени t, т.е. измен€тьс€ во времени. “акие процессы составл€ют класс нестационарных процессов.

—тационарные процессы. ѕроцесс называют стационарным, если плотность веро€тностей процесса не зависит от начала отсчета времени и если на интервале его существовани€ выполн€ютс€ услови€ посто€нства математического ожидани€ и дисперсии, а коррел€ционна€ функци€ €вл€етс€ функцией только разности аргументов t = t2-t1, т.e.:

m(t1) = m(t2) = m = const, (17.1.12)

D(t1) = D(t2) = D= const,

R(t1,t1+t) º Rx(t2-t,t2) = R(t) º R(-t),

rx(t) = Rx(t)/Dx, rx(0) = 1, |rx(t)| ≤ 1, rx(-t) = rx(t).

ѕоследние выражени€ свидетельствует о четности коррел€ционной (а равно и ковариационной) функции и функции коррел€ционных коэффициентов. »з него вытекает также еще одно свойство смешанных моментов стационарных процессов:

|Rx(t)| £ Rx(0), |Kx(t)| £ Kx(0) º Dx.

„ем медленнее по мере увеличени€ значений t убывают функции Rx(t) и rx(t), тем больше эффективный интервал коррел€ции случайного процесса, и тем медленнее измен€ютс€ во времени его реализации.

—реди стационарных процессов выдел€ют строго стационарные процессы, дл€ которых посто€нны во времени не только математическое ожидание, дисперси€ и коррел€ци€, но и все остальные моменты высших пор€дков (в частности, асимметри€ и эксцесс).

—тационарные случайные процессы наиболее часто встречаютс€ при решении физических и технических задач. “еори€ стационарных случайных функций разработана наиболее полно и дл€ ее использовани€ обычно достаточно определени€ стационарности в широком смысле: случайна€ функци€ считаетс€ стационарной, если ее математическое ожидание посто€нно, а коррел€ционна€ функци€ зависит только от одного аргумента. —лучайные процессы, удовлетвор€ющие услови€м стационарности на ограниченных, интересующих нас интервалах, также обычно относ€т к числу стационарных в широком смысле и называют квазистационарными.

Ёргодические процессы. —трого корректно характеристики случайных процессов оцениваютс€ путем усреднени€ по ансамблю реализаций в определенные моменты времени (по сечени€м процессов). Ќо большинство стационарных случайных процессов обладает эргодическим свойством. —ущность его заключаетс€ в том, что по одной достаточно длинной реализации процесса можно судить о всех его статистических свойствах так же, как по любому количеству реализаций. ƒругими словами, закон распределени€ случайных величин в таком процессе может быть одним и тем же как по сечению дл€ ансамбл€ реализаций, так и по координате развити€. “акие процессы получили название эргодических (ergodic). ƒл€ эргодических процессов имеет место:

mX(t) = M{x(t)} = x(t) dt, (17.1.13)

D(t) = M{x(t) - m(t)]2} = (x(t) - m(t))2 dt, (17.1.14)

R(t) = M{x(t)x(t+t)} = x(t)x(t+t) dt. (17.1.15)

 

Ёргодичность €вл€етс€ очень важным свойством случайных стационарных, и только стационарных процессов. ћатематическое ожидание эргодического случайного процесса равно посто€нной составл€ющей любой его реализации, а дисперси€ €вл€етс€ мощностью его флюктуационной составл€ющей. “ак как определение функций производитс€ по ограниченным статистическим данным одной реализации и €вл€етс€ только определенным приближением к соответствующим фактическим функци€м процессов, целесообразно называть эти функции статистическими. «аметим, что, как это следует из (17.1.15), вычисление коррел€ционной функции подобно свертке (с делением на интервал реализации) и может записыватьс€ символически:

R(t) = (1/T) x(t) * x(t+t).

—войства эргодичности могут про€вл€тьс€ только по отношению к двум первым моментам случайного процесса, что вполне достаточно дл€ использовани€ соответствующих методик исследовани€ процессов. ѕрактическа€ проверка эргодичности процесса обычно производитс€ проверкой выполнени€ услови€ —луцкого:

K(t) dt = 0. (17.1.16)

≈сли ковариационна€ функци€ процесса стремитс€ к нулю при возрастании значени€ аргумента (t), то процесс относитс€ к числу эргодических, по крайней мере относительно моментов первого и второго пор€дков.

ѕример. —лучайна€ функци€ задана выражением Z(t)=X(t)+Y, где X(t) - стационарна€ эргодична€ функци€, Y- случайна€ величина, некоррелированна€ с X(t). Ёргодична ли функци€ Z(t)?

mz(t) = mz(x)+my, Kz(t) = Kx(t)+Dy.

‘ункци€ Z(t) стационарна, но не эргодична, так как при t Þ ¥ имеет место Kz(t) Þ Dy.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 733 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћибо вы управл€ете вашим днем, либо день управл€ет вами. © ƒжим –он
==> читать все изречени€...

2037 - | 1763 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.066 с.