Точка, подозрительная на экстремум

Вариант 32

1.

Задание:

Исследовать функцию:

 

Решение:

1) Область определения функции:

D(f) = (−∞; -3) (-3;+∞)

При f(x) ∞;

При f(x) + ∞;

 

Асимптоты:

 

 

 

2) Точки пересечения с осями координат:

f(0) = 0 и точка пересечения – (0,0);

Только (0,0), других пересечений нет.

 

3) Функция общего вида(не четная и не нечетная)

 

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Находим критические точки:

Исследуем знак производной на интервалах, на

которые критическая точка делит область определения функции:

 

Функция убывает на интервалах (- , возрастает на интервале

Функция имеет точку разрыва второго рода,

При справа f(x) +∞;

При слева f(x) - ∞;

 

Функция имеет локальный максимум в точке

Функция имеет локальный минимум в точке

 

5)Область значений функции:

Пусть

Детерминант отрицателен при (-12, 0), а значит

R(f) = (- ∞; -12) (0, + )

 

 

6) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

 

.

Находим критические точки:

.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области

определения функции.

 

Функция выпукла вниз на интервале , выпукла вверх на интервалах (−∞;- ),

(-3;+∞).

 

7) Строим график функции по наиденным точкам

 

 

2.

Задание:

Найти экстремумы функции:

 

Решение:

 

 

 

Решим следующую систему:

точка, подозрительная на экстремум.

2

 

и точка (3, 0) не является точкой экстремума, экстремумов нет.

 

 

3.

Задание:

Найти условные экстремумы:

 

Решение: