Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Блок №3

«Динамика конструкций и сооружений»

Цель задачи – нахождение собственных частот и форм колебаний при помощи решения проблемы собственных значений.

Рис.3.1. Система с двумя степенями свободы

Матрица жесткости системы на рис.3.1:

(3)

Используя выражение (3), составим нижнюю треугольную матрицу: (4)

 

Транспонируем ее и найдем произведение этих матриц: (5)

 

Образуем систему уравнений, приравнивая элементы матриц [P] элементам МЖ [C]:

(6)

Учтем свойство симметрии матрицы [H] для этого подставим это равенство в систему уравнений:

(7)

Конвертируем этот список в матрицу и удаляем лишнее уравнение:

(8)

Конвертируем систему снова в список и сформируем список неизвестных:

(9)

Решаем систему относительно неизвестных. С помощью функции allvalues находим эти решения в явном виде. Выделяем из этого списка списков список с положительными элементами на главной диагонали:

(10)

Переформируем этот список в матрицу: (11)

 

Транспонируем [L], обратим [L] и . Сформируем матрицу масс, пренебрегая массами пружин:

(12)

Первое умножение в формировании матрицы [H]:

(13)

Второе умножение в формировании матрицы [H]:

(14)

Найдем определитель матрицы [H]. Он равен сумме значений этой матрицы:

(15)

Составим единичную матрицу:

(16)

Найдем определитель однородной системы. Он должен быть равен 0, т.к. другая возможность равенства нулю левой части - равенство нулю собственного вектора тривиальна, т.е. ничего не дает:

(17)

Решив Х.У., найдем собственные числа матрицы [H]:

(18)

Выделяем первое собственное значение: (19)

Выделяем второе собственное значение: (20)

 

Произведение собственных чисел матрицы Р равно ее определителю:

(21)

Сумма собственных чисел матрицы Р равна сумме ее диагональных членов:

(22)

Находим первую собственную частоту: (23)

 

Находим вторую собственную частоту: (24)

Теперь найдем их произведение, оно обратно к произведению собственных чисел:

(25)

Сформируем вектор собственных чисел матрицы [H]: (26)

 

 

Сформируем вектор собственных частот: (27)

Найдём собственные формы системы с равными параметрами. Вектор х найдём, подставив:

(28)

В первое уравнение, поэтому в квадратных скобках стоит [1]

 

(29)

В этом первом уравнении произвольно положим

Тогда 1-е уравнение примет вид: (30)

Решив его, найдем вторую компоненту 1-го собственного вектора

Сформируем 1-й собственный вектор, соответствующий первому собственному значению:

(31)

Найдем 1-ю собственную форму колебаний:

(32)

Так как она известна с точностью до произвольного множителя, то:

(33)

Мы получили ту же форму, что и в теории колебаний. Теперь, чтобы найти второй вектор, соответствующий второму собственному числу, сформируем вначале этот вектор. Пока только обозначения

(34)

Также произвольным положим .

Так как работаем со вторым собственным числом, то надо взять второе уравнение и положили и на

(35)

Найдем

Сформируем второй собственный вектор: (36)

Найдем вторую собственную форму колебаний:

 

(37)

Так как она известна с точностью до произвольного множителя, то она будет равна:

(38)

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Внутренние женские половые органы | Отношения доступа и их представления в АС
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 414 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наука — это организованные знания, мудрость — это организованная жизнь. © Иммануил Кант
==> читать все изречения...

2229 - | 2034 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.