Расчёт моментов инерции некоторых тел

Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массы dm = rdV. Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:

(1)

где r – расстояние элемента dm до оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его момент инерции относительно точки Q. Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):

Рис. 1

(2)

где r – расстояние элемента dm до выбранной точки (относительно которой вычисляется Q). Пусть эта точка является началом системы координат X, Y, Z (рис. 1). Квадраты расстояний элемента dm до координатных осей X, Y, Z и до начала координат равны соответственно y²+z², z²+x², x²+y², x²+y²+z². Моменты инерции тела относительно осей X, Y, Z и относительно начала координат

Из этих соотношений следует, что

(3)

Рис. 2

Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.

Момент инерции тонкого кольца. Все элементы кольца dm (рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольца R, от его оси симметрии (ось Y) и от его центра. Момент инерции кольца относительно оси Y

(4)

 

Момент инерции тонкого диска. Пусть тонкий однородный диск массы m с концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусы R₁ и R₂. Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиуса r, толщины dr. Момент инерции такого кольца относительно оси Y (рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):

(5)

Рис. 3

Момент инерции диска:

(6)

В частности, полагая в (6) R₁ = 0, R₂ = R, получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:

(7)

Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска. Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.

Момент инерции тонкого диска относительно его центра также вычисляется по формуле (6), Q = J_y, а моменты инерции относительно осей X и Z равны между собой, J_x = J_z. Поэтому, в соответствии с (3): 2J_x +J_y = 2J_y, J_x = J_y/2, или

(8)

Рис. 4

Момент инерции цилиндра. Пусть имеется полый симметричный цилиндр массы m, длины l, внутренний и внешний радиусы которого равны R₁ и R₂. Найдём его момент инерции относительно оси X, проведенной через центр масс перпендикулярно оси цилиндра (рис. 4). Для этого мысленно разобьём его на диски бесконечно малой толщины dy. Один из таких дисков, массой dm = mdy/l, расположенный на расстоянии y от начала координат, показан на рис. 4. Его момент инерции относительно оси X, в соответствии с (8) и теоремой Гюйгенса – Штейнера

(9)

Момент инерции всего цилиндра

(10)

Момент инерции цилиндра относительно оси X¢ (оси вращения маятника Обербека) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера

где d – расстояние от центра масс цилиндра до оси X¢. В работе 13 этот момент инерции обозначен как J_ц

(11)