Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕримеры решени€ задач. «јƒј„ј 1. Ќайти модуль и направление силы, действующей на частицу массой m при ее движении в плоскости ’ќY по закону x = Asinwt




 

«јƒј„ј 1. Ќайти модуль и направление силы, действующей на частицу массой m при ее движении в плоскости ’ќY по закону x = A sinw t, y = B cosw t, где ј, ¬, w Ц посто€нные.

ƒјЌќ: m x = A sinw t y = B cosw t A = const B = const w= const
F Ц? Ц?

јЌјЋ»«. ¬ задаче требуетс€ определить силу, действующую на частицу, по известному закону движени€. ƒвижение частицы происходит в плоскости , поэтому сила имеет две составл€ющие: и , которые можно найти, вычислив проекции ускорени€ и .

–≈Ў≈Ќ»≈. ƒифференциру€ дважды уравнени€ движени€ частицы по времени, находим составл€ющие ускорени€ по координатным ос€м:

= Ц A w2sin , = Ц B w2cosw t.

–ис. 1.2.1

ѕо второму закону Ќьютона сила равна ,

тогда и

,

где Ц радиус-вектор частицы.

ћодуль силы равен

где Ц модуль радиус-вектора частицы.

ѕроверим размерность: .

¬ектор силы образует с отрицательным направлением оси ќ’ угол a (рис. 1.2.1), , и . ѕравильность формулы по размерности очевидна.

ќ“¬≈“: ; .

«јƒј„ј 2. јэростат массой = 250 кг начал опускатьс€ с ускорением м/с2. ќпределить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. —опротивлением пренебречь.

ƒјЌќ: = 250 кг = 0,20 м/с2
Ц?

јЌјЋ»«. ¬ задаче рассматриваетс€ движение аэростата, причем о его форме и размерах ничего не сказано. Ёто позвол€ет пренебречь формой и размерами аэростата и рассматривать его как материальную точку. ¬ процессе движени€ на аэростат действуют две силы: сила т€жести , направленна€ вертикально вниз, и сила јрхимеда , направленна€ вертикально вверх. Ќачальна€ скорость аэростата равна нулю, поэтому он будет двигатьс€ вертикально, и второй закон Ќьютона удобно записать в проекци€х на вертикальное направление.

–ис. 1.2.2

ѕри решении задачи уравнение динамики следует использовать дважды: дл€ аэростата массой , который опускаетс€ с ускорением , и дл€ аэростата, сбросившего баласт и уменьшившего массу до значени€ , который поднимаетс€ с тем же по величине ускорением.

–≈Ў≈Ќ»≈. ƒл€ опускающегос€ аэростата (рис. 1.2.2 а) по второму закону Ќьютона имеем проектиру€ на направление движени€, получаем:

. (1.2.1)

≈сли массу аэростата уменьшить на D m (рис. 1.2.2 б), то он будет двигатьс€ вверх с ускорением . ”равнение динамики в этом случае имеет вид:

. (1.2.2)

–еша€ совместно уравнени€ (1.2.1) и (1.2.2), получаем: .

ѕроверка размерности = (кг×(м/с2))/(с2×м) = кг. ѕодставив численные значени€, получаем: кг.

ќ“¬≈“: кг.

 

«јƒј„ј 3. Ќа тележке массой = 20 кг, котора€ может свободно перемещатьс€ вдоль горизонтальных рельсов, лежит брусок массой = 5 кг (рис.1.2.3).  оэффициент трени€ между бруском и тележкой m = 0,2. Ѕрусок т€нут с силой , направленной параллельно рельсам. Ќайти ускорение бруска и тележки, если сила измен€етс€ по закону , где Ќ/с. ѕостроить графики зависимости найденных ускорений от времени.

ƒјЌќ: = 20 кг = 5 кг m = 0,2 (Ќ) с = 4,0 Ќ/с
Ц?
–ис. 1.2.3

јЌјЋ»«. ¬ задаче рассматриваетс€ поступательное движение двух соприкасающихс€ тел, между которыми действует сила трени€. ѕри некоторых значени€х приложенной силы брусок и тележка движутс€ вместе, с одинаковым ускорением, а при больших значени€х силы брусок начинает обгон€ть тележку и будет скользить по ней. ≈сли относительна€ скорость бруска (скорость бруска относительно тележки) равна нулю, то сила трени€ будет силой трени€ поко€ и может принимать любое значение от 0 до = m N, т. е. тр.< m N, где Ц сила нормальной реакции при действии одного тела на другое. ≈сли относительна€ скорость не равна нулю, то сила трени€ будет силой трени€ скольжени€, тр = m N. —ила трени€ всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости. ѕоэтому силы трени€, действующие на тележку и брусок , направлены так, как показано на рис. 1.2.3, причем = . ѕомимо силы трени€ на тележку действуют сила т€жести , сила нормального давлени€ бруска и сила нормальной реакции рельсов . Ёти силы вертикальны и взаимно компенсируют друг друга (рис.1.2.4):

–ис. 1.2.4

.

ќчевидно, если ; и , если , , где и Ц ускорени€ тележки и бруска относительно «емли. ќба этих вектора сонаправлены с силой : ускорение тележки возникает под действием одной силы трени€ , направленной так же, как и сила , ускорение бруска не может быть направлено в противоположную сторону, т. к. сила трени€ не измен€ет направлени€ движени€ на обратное.

–ис. 1.2.5

–≈Ў≈Ќ»≈. ”равнение динамики тел запишем в скал€рной форме (дл€ проекций на ось ќ’) (рис. 1.2.5):

. (1.2.3)

≈сли , то из системы уравнений (1.2.3) получаем: .

¬ этом случае и , тогда ѕравильность формулы по размерности очевидна.

“аким образом, при , ускорени€ обоих тел одинаковы, а сила трени€ поко€ зависит от F. –ешив систему (1.2.3) относительно a, получаем:

(1.2.4)

Ц ускорени€ обоих тел пропорциональны t и мен€ютс€ от 0 до .

ѕроверим размерность:

, подставив значение, получим: с; м/с2.

ѕри t > t * ускорени€ тел различны, но сила трени€ посто€нна и равна . “огда систему (1.2.3) перепишем в виде:

.

–ис. 1.2.6

–еша€ ее, получаем

м/с2 ;

. (1.2.5)

ѕравильность размерности этих выражений очевидна. »з (1.2.5) следует, что ускорение бруска растет линейно со временем, начина€ от значени€

м/с2.

√рафик зависимости ускорений от времени можно построить на основании выражений (1.2.4) и (1.2.5). Ётот график представлен на рис. 1.2.6.

ќ“¬≈“: при с ; при с м/с2, .

 

«јƒј„ј 4. ¬ системе, показанной на рис. 1.2.7, массы тел равны m 0, m 1, m 2. “рени€ нет, массы блоков пренебрежительно малы. Ќайти ускорение тела m 1. јЌјЋ»«. ¬ задаче рассматриваетс€ поступательное движение трех тел.

–ис. 1.2.7

Ќа каждое из тел массами m 1 и m 2 действует сила т€жести ( и соответственно) и сила нат€жени€ нити . Ќа тело массой m 0 действует сила нат€жени€ нити в горизонтальном направлении (под действием этой силы тело движетс€ с ускорением относительно «емли), а также вертикальные силы т€жести и нормальной реакции, уравновешивающие друг друга. Ќить, соедин€юща€ тело массой m 0 с блоком B
нераст€жима и все врем€ нат€нута, поэтому сила ее нат€жени€ одинакова по всей длине этой нити и равна силе, действующей на блок со стороны тел массами m 1 и m 2, т. е. = 2 . Ѕлок ¬ движетс€ относительно «емли с ускорением , направленным вниз и численно равен .  роме того, тела массами m 1 и m 2 движутс€ относительно блока ¬ с ускорени€ми . ƒл€ случа€ > направление указано на рис.1.2.7.

”скорение тела равно векторной сумме этих ускорений . ƒл€ определени€ и следует записать уравнени€ динамики дл€ каждого из тел и решить полученную систему уравнений.

–≈Ў≈Ќ»≈. —оставим уравнени€ динамики дл€ рассматриваемой системы тел в проекци€х на оси системы координат:

—кладыва€ все уравнени€ этой системы, получаем:

(1.2.6)

¬ычтем из второго уравнени€ третье

ќтсюда а 2 = . (1.2.7)

ѕодставив (1.2.7) в выражение (1.2.6) и реша€ относительно , имеем:

.

“огда из (1.2.7)

а 2 = .

 ак следует из рис. 1.2.7, искомое ускорение тела равно .

ѕравильность формулы по размерности очевидна.

ќ“¬≈“: .

 

«јƒј„ј 5. Ќебольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составл€ющей угол a= 15∞ с горизонтом. Ќайти коэффициент трени€, если врем€ подъема тела оказалось в = 2 раза меньше времени спуска.

ƒјЌќ a= 15∞
Ц?

јЌјЋ»«. Ќа тело, движущеес€ по наклонной плоскости (рис.1.2.8) действуют сила т€жести , направленна€ вертикально вниз, сила нормальной реакции , направленна€ перпендикул€рно плоскости вверх, и сила трени€ , направленна€ противоположно движению: вниз по плоскости при подъеме (рис. 1.2.8 а) и вверх Ц при спуске (рис. 1.2.8 б). ”равнени€ динамики при подъеме и спуске в векторной форме имеют вид: причем сила трени€ в данном случае Ц сила трени€ скольжени€, она равна .

–ис. 1.2.8

–≈Ў≈Ќ»≈. –ассмотрим подъем тела. —проектируем уравнение движени€ на координатные оси (рис. 1.2.8 а)

откуда и уравнение движени€ принимает вид: .

¬рем€ подъема найдем из услови€ . ѕолучаем

(1.2.8)

«а врем€ тело прошло по плоскости путь , подставив и , получаем:

. (1.2.9)

ѕри спуске тела (рис. 1.2.8 б) направление силы трени€ мен€етс€ на противоположное, поэтому уравнение движени€ принимает вид: и ускорение равно

. (1.2.10)

“ело движетс€ равноускоренно без начальной скорости и проходит путь , определ€емый согласно (1.2.9). “аким образом, и врем€ спуска равно . ѕодставим в это выражение формулы (1.2.9) и (1.2.10):

.

ѕосле преобразовани€ получаем:

. (1.2.11)

ѕо условию задачи . “огда, подставив и из (1.2.8) и (1.2.11),

имеем:

–еша€ уравнение относительно m, находим m = tga( Ц 1) / (h2 + 1).

ѕравильность формулы по размерности очевидна. ѕодставив значение, получим: .

ќ“¬≈“: .

 

«јƒј„ј 6. Ќа вершине клина массой 3 = 10 кг расположен невесомый блок (рис. 1.2.9). „ерез блок перекинута невесома€ и нераст€жима€ нить, к концам которой прикреплены грузы массами 1 = 1 кг и 2 = 10 кг.  оэффициенты трени€ грузов m 1 и m 2 о плоскости клина соответственно равны m1 = 0,2 и , а коэффициент трени€ клина о горизонтальную поверхность . ”глы плоскостей клина с горизонтальной плоскостью соответственно равны ∞ и ∞. ќпределите силу нат€жени€ нити.

ƒјЌќ: 1 = 1 кг; m1 = 0,2 2 = 10 кг = 0,1 3 = 10 кг = 0,3 a1 = 30∞; a2 = 60∞
Ц?

јЌјЋ»«. ¬ задаче рассматриваетс€ поступательное движение трех тел. “ела m 1 и m 2 св€заны нитью, и, если нить считать невесомой и нераст€жимой и пренебречь трением в блоке, то ускорени€ тел будут равны между собой. ƒействующие на тела силы трени€ со стороны клина не мен€ют направлени€ движени€ тел, а лишь уменьшают ускорение и увеличивают силу нат€жени€ нити. ѕоэтому дл€ определени€ направлени€ движени€ целесообразно рассмотреть вариант движени€ грузов без трени€ о грани клина, счита€ клин неподвижным. ƒалее следует рассмотреть движение грузов m 1 и m 2 с учетом сил трени€ между клином и грузами.

–ис. 1.2.9

Ќа следующем этапе решени€ задачи имеющуюс€ систему уравнений динамики следует дополнить уравнением движени€ клина. ”скорение клина вызвано действием на него сил нормального давлени€ грузов. Ѕез вы€снени€ направлени€ движени€ клина нельз€ правильно учесть действие силы трени€ между клином и плоскостью. ѕоэтому целесообразно сначала решить систему уравнений движени€ без учета этой силы, определить направление движени€ клина, а затем ввести в рассмотрение силу трени€.

–ис. 1.2.10

–≈Ў≈Ќ»≈. ”простим задачу, а затем последовательно учтем сделанные упрощени€. Ѕудем считать, что клин неподвижен, . “рение грузов о грани клина отсутствует: m1 = 0; m2 = 0. ќпределим направление движени€ грузов. Ќа первое тело действуют (рис. 1.2.10) сила т€жести , сила нормальной реакции и сила нат€жени€ нити . Ќа второе тело действуют силы т€жести , нормальной реакции и нат€жени€ нити . “ак как нить невесома€ и нераст€жима€, и трение в блоке отсутствует, сила нат€жени€ одинакова по всей длине нити, поэтому . ¬ыберем направление движени€. ѕусть первое тело движетс€ вверх, а второе вниз по грани клина. —проектировав силы на направлени€ движени€, запишем уравнени€ динамики тел:

”читыва€, что модули ускорений тел относительно клина одинаковы, т. е. , решив эту систему уравнений относительно , получаем:

–ис. 1.2.11

–азмерность выражений очевидна. ѕодставив значени€ , и a1, a2, получаем м/с2;
ї 12,4 Ќ. “. к. 1 > 0, то направление движени€ выбрано правильно.

Ќа следующем этапе решени€ задачи будем учитывать трение тел и m 2 о клин. —ила трени€ не мен€ет направлени€ движени€, а только замедл€ет его, и направлена противоположно движению (рис. 1.2.11). — учетом сил трени€ уравнени€ динамики тел принимают вид в выражени€х:

(1.2.12)

«десь (см. задачу 5). –еша€ эту систему относительно и , получаем:

—ила нат€жени€ равна

–ис. 1.2.12

–азмерность выражени€ очевидна. ѕодставив значени€ вход€щих в эти формулы величин, имеем
2 ї 6,62 м/с2, ї 13,2 Ќ, т. е. ускорение уменьшилось вследствие трени€, а сила нат€жени€ увеличилась.

Ѕудем считать теперь, что клин может без трени€ перемещатьс€ по поверхности, . Ќа клин действуют (рис.1.2.12) сила т€жести , сила нормальной реакции , а также силы давлени€ и тел m 1 и m 2. Ёти силы направлены противоположно реакци€м и и равны им , . «апишем уравнени€ динамики дл€ клина в координатах ’ќY (рис.1.2.12), учитыва€, что перемещение клина возможно только в направлении оси :

(1.2.13)

–ис. 1.2.13

ћы получили систему из двух уравнений с четырьм€ неизвестными , N 3, P 1 и P 2, где а 3 ускорение клина относительно «емли.

ƒл€ нахождени€ замкнутой системы уравнений исследуем движение грузов и относительно клина. “ак как клин движетс€ ускоренно, то св€занна€ с ним система отсчета неинерциальна. „тобы записать второй закон Ќьютона дл€ каждого из тел, необходимо к действующим на эти тела силам добавить еще силу инерции (рис.1.2.13):

; .

ѕроектиру€ силы инерции на направлени€ движени€ , с учетом уравнений (1.2.12), получаем:

(1.2.14)

—проектируем силы на направлени€, перпендикул€рные . ”читыва€, что P 1 = N 1; P 2 = N 2, имеем:

(1.2.15)

”равнени€ (1.2.13), (1.2.14) и (1.2.15) представл€ют собой искомую замкнутую систему из шести уравнений с шестью неизвестными: , , T, P 1, P 2, N 3. ¬ыразим из (1.2.15) P 1 и P 2 и подставим в первое уравнение системы (1.2.13), получаем:

;

;

.

—кладыва€ уравнени€ (1.2. 14), находим :

.

“огда , размерность очевидна, подставив значение, получим: Ќ.

ќ“¬≈“: Ќ.

 

«јƒј„ј 7. «амкнута€ однородна€ цепочка массой m = 0,4 кг, надета€ вплотную на гладкий круговой конус с углом полураствора ∞, вращаетс€ вокруг оси конуса с угловой скоростью w= 10 сЦ1 (рис. 1.2.14 а). ѕри этом цепочка образует окружность, радиус которой r = 10 см. Ќайти силу нат€жени€ цепочки.

–ис. 1.2.14 а
ƒјЌќ: m = 0,4 кг ∞ w= 10 сЦ1 r = 10 см
T Ц?

јЌјЋ»«. ƒл€ нахождени€ силы нат€жени€ цепочки, т. е. силы, с которой один ее элемент действует на другой, рассмотрим движение произвольного элемента D с массой D m. Ётот элемент движетс€ в горизонтальной плоскости по окружности радиуса r с посто€нной по модулю скоростью . Ќа элемент D действует сила т€жести , сила нормальной реакции конуса (рис. 1.2.14 а), а также силы нат€жени€ и со стороны элементов, соседних с выбранным. Ёти силы направлены по касательной к окружности, образуемой цепочкой, в точках, где расположены концы элемента D . ¬торой закон Ќьютона дл€ элемента D имеет вид:

¬следствие полной симметрии все элементы, составл€ющие цепочку, наход€тс€ в совершенно одинаковых услови€х, поэтому .

–≈Ў≈Ќ»≈.  оординатные оси выберем как показано на рис. 1.2.14 а. ясно, что ; ; .

—проектируем уравнение динамики на координатные оси

(1.2.16)

–ис. 1.2.14 б

«десь Da Ц центральный угол, соответствующий элементу дуги . “огда .

–еша€ совместно первые два уравнени€ системы (1.2.16) и учитыва€, что, , получим:

откуда

. (1.2.17)

÷епочка однородна€, масса m равномерно распределена по ее длине, поэтому .

Ёлемент мал, следовательно, угол Da также мал и sin(Da/2)ї Da/2.

ѕодставив полученные выражени€ дл€ D m и sin(Da/2) в уравнение (1.2.17), получим

.

ѕроверим размерность: [ ] = кг×м/с2 = Ќ. ѕодставив значение, получим: Ќ.

ќ“¬≈“: Ќ.

 

«јƒј„ј 8. Ќад горизонтальным столом, каса€сь его нижним концом, вертикально висит тонкий однородный шнур массой и длины
(рис. 1.2.15). ¬ерхний конец шнура освобождают. Ќайти силу давлени€ шнура на стол в процессе падени€ как функцию длины уже лежащей на столе части шнура и как функцию времени.

 

 

ƒјЌќ: (кг) (м)
h Ц?

јЌјЋ»«. ≈сли бы не было стола, шнур после освобождени€ его верхнего конца двигалс€ бы в состо€нии невесомости (при отсутствии сил сопротивлени€ воздуха). Ёто значит, что в любой момент времени все элементы шнура обладали бы одинаковыми скорост€ми и ускорени€ми, равными . Ќикаких деформаций и сил нат€жени€ не возникало бы. ≈сли предположить, что шнур м€гкий, то при падении его нижней части на стол обусловленна€ этим падением деформаци€ не вызовет по€влени€ сил нат€жени€ в шнуре, и свободна€ часть шнура будет двигатьс€ так же, как если бы не было стола. ¬ процессе падени€ шнура длина лежащей на столе части непрерывно возрастает, при этом каждый элемент , приход€щий в соприкосновение со столом, полностью тер€ет скорость, которую он приобрел во врем€ свободного падени€ (удар такого элемента о стол надо считать абсолютно неупругим). ѕо изменению импульса этого элемента можно определить силу действи€ стола на него и, следовательно, силу , с которой данный элемент давит на стол. ѕолна€ сила давлени€ шнура на стол в процессе падени€ складываетс€ из силы и силы т€жести лежащей на столе части шнура:

, (1.2.18)

ƒл€ определени€ силы необходимо определить импульс, приобретаемый элементом к моменту его соприкосновени€ со столом.

–ис. 1.2.15

–≈Ў≈Ќ»≈. ќсь ќY направим вертикально вниз (по движению шнура), за начало отсчета примем точку подвеса шнура (рис.1.2.15).

–ассмотрим, что происходит за некоторый произвольный промежуток времени . Ќа рис. 1.2.15 показаны положени€ шнура в моменты времени и . «а врем€ верхний конец шнура сместитс€ вниз на рассто€ние .   моменту времени скорость любой точки шнура

, (1.2.19)

где Ц рассто€ние, пройденное за врем€ как верхним концом шнура, так и любым другим элементом, в том числе и элементом , который за врем€ ударилс€ о стол. ясно, что , где Ц длина той части шнура, котора€ лежит на столе. ќчевидно, что сила, действующа€ на элемент со стороны стола, равна: , где Ц изменение импульса элемента за врем€ . “огда сила, действующа€ на стол со стороны элемента , равна

(1.2.20)

»зменение импульса элемента , где Ц масса элемента, Ц скорость, которой он обладал перед ударом, т. е. в момент времени . «нак Ђминусї объ€сн€етс€ тем, что конечный импульс элемента равен нулю. ѕерепишем уравнение (1.2.20) в скал€рной форме, получаем:

. (1.2.21)

ћасса элемента равна . — учетом (1.2.19) изменение проекции импульса за врем€ определ€етс€ выражением:

. (1.2.22)

ѕодставив (1.2.22) в (1.2.21), получаем: ќднако Ц скорость любой точки шнура, тогда

¬ начальный момент шнур касалс€ поверхности стола: ; в момент времени : . “огда масса этой части шнура = 0 / 0. —проектировав векторное уравнение (1.2.18) на ось ќY и подставив значени€ и , получаем:

Ц в любой момент времени при сила давлени€ шнура на стол втрое больше силы т€жести той части шнура, котора€ к этому моменту уже лежит на столе.

ѕредставим теперь как функцию времени. ясно, что

тогда .

ѕроверим размерность: .

—ледовательно, при падении шнура на стол сила давлени€ растет пропорционально квадрату времени.

ќ“¬≈“: .

 

«јƒј„ј 9. ѕарашютист массой = 100 кг делает зат€жной прыжок с начальной скоростью . Ќайти закон изменени€ его скорости до раскрыти€ парашюта, если сила сопротивлени€ воздуха пропорциональна скорости движени€ парашютиста: , где = 20 кг/с.

ƒјЌќ: = 100 кг м/с (Ќ) = 20 кг/с
Ц?

јЌјЋ»«. Ёта задача на динамику тела под действием переменной силы. —ила сопротивлени€ воздуха €вл€етс€ функцией скорости, поэтому, представив ускорение тела как производную от скорости по времени, на основании второго закона Ќьютона получим дифференциальное уравнение первого пор€дка, решение которого даст закон изменени€ скорости со временем.

 

–ис. 1.2.16 –ис. 1.2.17

 

–≈Ў≈Ќ»≈. Ќа парашютиста действуют сила т€жести , направленна€ вниз, и сила сопротивлени€ , направленна€ вверх (рис. 1.2.16). ѕо второму закону Ќьютона имеем: .

–аздел€€ переменные, получаем дифференциальное уравнение первого пор€дка относительно : ,которое можно представить в виде: .

ѕосле интегрировани€ получаем: . (1.2.23)

ѕосто€нную определ€ем из начальных условий: в момент времени скорость парашютиста , отсюда . ѕодставл€€ значение в выражение (1.2.23) и потенциру€, получаем:

.

ѕроверим размерность: . Ёто искомый закон изменени€ скорости. »з него следует, что при скорость стремитс€ к максимальному значению м/с.

”сложним задачу. ѕусть начальна€ скорость парашютиста направлена горизонтально: , где Ц орт оси ќX (рис. 1.2.17). “ело движетс€ по кривой, скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории вниз, а сила Ц противоположно скорости.

ѕо второму закону Ќьютона имеем: ; .

–аздел€€ переменные, получаем: ; .

»нтегриру€, учитыва€ начальные услови€ (при ; ; ) и затем потенциру€, получаем закон изменени€ скорости: ; .

ѕроверка размерности аналогична предыдущей.

ќ“¬≈“: .

 

ƒјЌќ: (Ќ); (Ќ/с) (м/с); (кг)
Ц?

«јƒј„ј 10. ƒвигатель тормозной системы развивает силу т€ги, пропорциональную времени: , где . ѕренебрега€ трением, определить, через сколько времени от момента включени€ тормозного двигател€ тело массой m, на котором установлен такой двигатель, остановитс€. ¬ момент включени€ двигател€ скорость тела составл€ла . —читать, что масса двигател€ много меньше массы тела.

јЌјЋ»«. «адача на динамику тела под действием переменной силы Ц силы т€ги тормозного механизма, котора€ €вл€етс€ функцией времени. ƒл€ определени€ времени торможени€ необходимо записать второй закон Ќьютона, представив ускорение как производную скорости по времени, найти закон изменени€ скорости (движение одномерное, скорость мен€етс€ от значени€ до нул€, т.е не мен€ет своего направлени€, поэтому проекци€ скорости на направление движени€ равна модулю скорости в любой момент времени) и, приравн€в скорость нулю, найти врем€.

–≈Ў≈Ќ»≈. ƒвижение тела пр€молинейное замедленное, уравнение движени€ по второму закону Ќьютона имеет вид: .

–аздел€€ переменные, получаем дифференциальное уравнение: .

ѕроинтегрировав, имеем: .

ѕодставив начальные услови€ ( при ), найдем ,

тогда (1.2.24)

Ц это закон изменени€ скорости во времени. ¬ момент времени тело остановитс€, , отсюда .

ѕроверим размерность: .

ќ“¬≈“: .






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 6994 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2177 - | 1914 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.157 с.