Физические уравнения содержат температуру 
как некоторую неизвестную функцию времени и координат точки деформируемого тепла. Ранее было отмечено, что практически вся работа пластической деформации переходит в тепло.
Составим дифференциальное уравнение движения тела. Теплопередача осуществляется теплопроводностью и переносом движущегося материала. Та часть тепла, которая не будет отведена от данной материальной частицы и которая возникла за счет её пластической деформации, пойдет на повышение температуры (внутренней энергии) тела.
Если обозначить тепловое движение в единицу времени так: Q1 – количество тепла, потерянное теплопроводностью элементарным объемом, фиксированным в пространстве; Q2 - количества тепла, потерянное теплопереносом; Q3 - количества тепла, пошедшее на повышение температуры материала в элементарном объеме; а Q4 - тепло, выделившееся в этом объеме за счет работы пластической деформации, то можно составить уравнение теплового баланса
(3.10)
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Определим
.
 | |||
 | |||
Прежде всего отметим, что количество тепла, прошедшее за счет теплопроводности через единичную площадку, перпендикулярную оси i, в единицу времени будет
,
где 
- коэффициент теплопроводности, 
- градиент температуры в соответствующем координатном направлении
Рассмотрим элементарный куб, выделенный в деформируемом теле. На рисунке изображен тепловой поток вдоль оси У. Теплопотери в направлении этой оси будут
Если подобным образом подсчитать теплопотери в остальных направлениях, то в итоге получим
(3.11)
Учтем теплоперенос с движущимся материалом через выделенный в пространстве элементарный параллелепипед dV= 
 |
Отметим, что количества тепла, протекающее с материалом через единичную площадку, перпендикулярную координатной оси i, в единицу времени, будет
,
где 
- скорость материала в соответствующем направлении; 
- массовая плотность; с – коэффициент массовой теплоемкости.
На рисунке изображен тепловой поток вдоль оси Х с перемещающимся через элементарный объем dx dy dz пространства материалом. Теплопотери в направлении оси Х будут
Если подобным образом подсчитать теплопотери в остальных двух направлениях, то в итоге получим
(3.12)
Для несжимаемого материала 
формула примет вид
(3.12 а)
Подсчитаем, далее, тепло, которое пойдет в единицу времени на повышение внутренней энергии (температуры) тела
(3.13)
Мощность теплового источника будет
(3.14)
Итак, подсчитав (3.11), (3.12 а), (3.13) и (3.14), подставив их в уравнение теплового баланса (3.10) и сократив на dV, получим искомое дифференциальное уравнение теплового баланса.
(3.15)
