Уравнение связи напряжений с прирощениями

деформаций (скоростями деформаций)

 

Возвратимся к гипотезе о коаксиальности (совпадении главных направлений) тензоров и ( и ) и к гипотезе о подобии девиаторов и ( и ) для изотропного материала.

В силу условия (3.1)

= =

имеем

(3.1 а)

Аналогичное соотношение можно записать для девиатора приращений деформации

(3.1 б)

Коэффициент пропорциональности - бесконечно большая величина, так как - бесконечно малые величины, а - конечные напряжения.

Ограничемся в начале случаем (3.1 б), свойственным процессу холодной деформации. Если перейти в правой и левой части от базиса, совпадающего с направлениями главных нормальных напряжений к произвольному базису , то условие коаксиальности и подобия девиаторов примет вид

или

(3.4)

Подставив значение в формулу интенсивности касательных напряжений

получим

 

 

Откуда

Если сейчас подставить значения в формулу (3.4), то получим уравнение связи и , справедливые для любой изотропной среды

(3.5)

Если нам дана единая кривая упрочнения металла в холодном состоянии (3.2) Т= Т , то уравнения (3.4) примут вид

(3.6)

При развитой пластической деформации можно пренебречь упругой частью компонентов девиатора приращения деформации связанной с изменением объема, тогда получим

, (3.6 а)

где

, так как

Действительно, если известно деформированное состояние и кривая упрочнения

Т= Т , то по этим формулам можно подсчитать компоненты девиатора напряжения.

 

Аналогично для задач, решаемых в скоростях, будет

(3.7)

или

(3.8)

Для несжимаемых материалов эти формулы будут проще

(3.8 а)

где , так как

В этих формулах значение Т полагаем заданным уравнением (3.3)