Лекции.Орг


Поиск:

Рекомендуем:

Почему я выбрал профессую экономиста

Почему одни успешнее, чем другие

Периферийные устройства ЭВМ

Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки)

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 
Главная
О нас
Популярное
ТОП
Новые страницы
Случайная страница
Контакты
FAQ
ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Пермь 2007

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Функции нескольких переменных

Индивидуальные задания

 

Пособие разработано доц. Гониной Е. Е. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

 

 

Пермь 2007


Вариант 1

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (y2-e-x).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, где , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z-4x+8 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: 4x2-9y2-9z2-36 = 0, M0(3,0,0).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln (x+y) в т. M0(1,3) в направлении линии y2 = 9x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию .
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.


Вариант 2

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin (x-y), б) z = ln (2-x-y) + .

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2+y2)
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (ex+e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2-xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-4y2 = -2xy, M0(-2,1,2);

б) S: x2+y2-z = 6, M0(1,-1,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к т. N(5,5).
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0, x = 3.


Вариант 3

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln (1-x2-y2)+ .

  1. Вычислить приближенно (1,03)3,98.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = yx, где x = ln (t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: , в данной точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x2+(y+1)2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+3z-xy = 7, M0(1,2,1);

б) S: 4x2-9y2 = 36, M0(-3,0,0).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(6,-8) в направлении линии y = x2 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x2-xy-2y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.


Вариант 4

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (4-x2-y2); б) z = y + arcsin (x+2).

  1. Вычислить приближенно cos 59° sin 32°.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos (x-y2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x+2, где , y = cos t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: ez+x+2y+z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z+4x = 8, M0(-1,1,2);

б) S: x2-y+z2-6 = 0, M0(1,-1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin () в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x2-xy-y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x2+y2-3xy в области

D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.


Вариант 5

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = + ln (4-x2-y2).

  1. Вычислить приближенно arсtg .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x3-2xy)
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = x2ey, где x = cos t, y = sin t, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2-z-4 = 0, в данной точке M0 (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x2-y2+z2-4x+y = 13, M0(2,1,-1);

б) S: 25y2-4x2-4z2-5 = 0, M0(1,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функциюz = x3+y2-6xy-39x+18y+20.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2xy-y2-4x в области

D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3.


Вариант 6

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ; б) z = (4-x2-y2)+ – .

  1. Вычислить приближенно (2,05)2/((2,05)2+(3,01)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (ex+ey) где x = t2, y = t3 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: z3+3xyz+3y = z, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2-6y+4z+4 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: x2+z2-5y2 = 0, M0(-1,1,3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2+xy в т. M0(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2x3+2y3-6xy+5.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+y2-2x-2y+8 в области

D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0.


Вариант 7

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = arccos (x + y); б) z = .

  1. Вычислить приближенно 0,97 1,05.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (2x3y).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = xy, где x = et,y = ln t при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: cos 2 x + cos 2y + cos 2z = 1,5 в данной точке M0 () с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin 2(x-ay) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-5yz+3y = 46, M0(1,2,-3);

б) S: 3x2+y2 = 9, M0(,2 2,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 3x3+3y3-9xy+10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x3-xy2+y2 в области

D: y = 0,y = 6, x = 0,x = 1.


Вариант 8

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin (3-x2-y2).

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (3x2y-y2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x, где x = sin t, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y),заданной неявно: e z-1 = cos x cos y + 1, в данной точке M0 (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz-yz = 0, M0(0,2,2);

б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(-2,2,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin () в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2+x-y+1.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x2-y2 в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 9

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (x2+y2-3); б) .

  1. Вычислить приближенно ln ((2,02)2+ ).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e-(x3+y3)y.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = x2e-y, где x = sin t, y = sin 2t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2-6x = 0, в данной точке M0 (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+2yz+y-2z = 2, M0(1,1,1);

б) S: x2-y2 = 16, M0(5,3,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln (x2+y2) в т. M0(1,1) в направлении линии x2+ y2 = 2 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x2-y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2y2+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3,y = 0, x = 0.

Вариант 10

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin (1-y).

  1. Вычислить приближенно .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln ( -1).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e-x+ey), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: xy = z2-1, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e - cos (x+ay) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2 _ z2-2xy+2x = z, M0(1,1,1);

б) S: 3x2-11y2+3z2+5 = 0, M0(1,1,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(6,8) в направлении линии x2+y2 = 100 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x2-3y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2xy-10 в области

D: y = 0,y = x2-4.


Вариант 11

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (y2-x2); б) z = .

  1. Вычислить приближенно (3,02)3 .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y4x3).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x-1, где x = cos t, y = sin t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2-2y2+3z2-yz+y = 2, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x2+y2+2x-2xy-y, M0(-1,-1,-1);

б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(1,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M0() в направлении линии x2+y2 = 2x в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2-6x-9y.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.


Вариант 12

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (9-x2-y2); б) z = arcsin (x+y).

  1. Вычислить приближенно ln ( – ).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2+2xz = 5, в данной точке M0 (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y2-x2+2xy-3y, M0(1,-1,1);

б) S: x2+y2-4z2 = 1, M0(1,2,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg (xy) в т. M0(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)2+2y2-10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x2-xy в области

D: y = 8, y = 2x2.


Вариант 13

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = ln (4+4x-y2).

  1. Вычислить приближенно (sin 1,56)(cos 1,58).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arccos (2x / y), где x = sin t, y = cos t при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x cos y + y cos z + z cos x = , в данной точке M0 (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x2+y2+2x+1) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2-y2-2xy-x-2y, M0(-1,1,1);

б) S: x2-5y+z2 = 0, M0(1,2,-3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg в т. M0(1,1) в направлении линии x2+ y2 = 2x в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)2+y2+1
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.

Вариант 14

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = arcsin 3xy.

  1. Вычислить приближенно 3,1+4,2- .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x- ).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = 1-2t,

y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

  1. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: 3x2 y2+2xyz2-2x3z+4y3z = 4, в данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  2. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-2y2+z2+xz-4y = 13, M0(3,1,2);

б) S: x2-7y+z2 = 4, M0(3,2,3).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3+y3-3xy.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 + 3y2-1 в области

D: y = , y = 0.


Вариант 15

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arccos (x+2y); б) .

  1. Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = et, y = 2-e2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2-2y2+z2-4x+2z+2 = 0, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e –(x+3y) sin (x+3y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y2-z2+3z+4xy-xz = 9, M0(1,-2,1);

б) S: x2-4y2+z2-4 = 0, M0(-2,1,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M0.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x2-4y2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2xy-y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.

Вариант 16

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin ; б) z = ln (y2-x2),

  1. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)4+(2,97)2),
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos (x-2y2),
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e-x +e-2y) где x = t2, при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2+y2-3xy-x+y+2, M0(2,1,0);

б) S: x2+y2-z-6 = 0, M0(2,1,-1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M0() в направлении линии x2+ y2+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x –x2-y+6x+3.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-x-y+1 в области

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.


Вариант 17

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (x2-y2); б) z = arcsin .

  1. Вычислить приближенно (2- )3,02.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy2+ ln xy2.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2 + y2 + z2-2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2-y2+2z2+xz+xy = 3, M0(1,2,1,);

б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(2,-1,1).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg (xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x2-3y2+2.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 +2xy-0,5y2-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (x2-y2); б) z =

  1. Вычислить приближенно tg 46° sin 29°.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: ez-xyz-x+1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x+e –y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2+z2-4x+2y = 14, M0(3,1,-4);

б) S: x2+y2 = 5z, M0(1,3,2).

  1. Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2 в т. M0(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2,5y2-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0,x = 2.

Вариант 19

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = -8; б) .

  1. Вычислить приближенно (2,03)2/ .
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y2-4xy+ sin (2xy2).
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где , при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x3+2y3+z3—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x2-y2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+xz+4y = 4, M0(1,1,2);

б) S: x2+5y2+z2 = 10, M0(1,-1,2).

  1. Найти направление наибольшего возрастания функции u = x2y2z в любой точке и в т. М0(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy-x2-y2+9.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-3x-2y в области

D: y = 0, y = 4, x = 0,x = 4.


Вариант 20

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) .

  1. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (y-x2-3).
  3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin t,y = cos t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2-3y2+z2-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция e– cos (x+3y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-z2+xz-4x = -5, M0(-2,1,0);

б) S: x2-y2+z2 = 30, M0(3,2,5).

  1. В направлении какой линии: y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т.М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x2-2y2+10.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + xy-2 в области

D: y = 4x2-4, y = 0.


Вариант 21

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (3x-y); б) z = .

  1. Вычислить приближенно 3,09e 0,09.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (2x-y3)+x.
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2 = y-z+3, в данной точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ex(x cos y-y sin y) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz+yz-3x = 11, M0(1,4,-1);

б) S: x2+y2-4x+2y+4 = 0, M0(2,-2,0).

  1. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M0(-1,1,-1),чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3-6xy +1.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 y (4-x-y) в области

D: y = 6-x, y = 0, x = 0.


Вариант 22

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = y- ; б) z = .

  1. Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+y2+z2+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

  1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+2y2+z2-4xz = 8, M0(0,2,0);

б) S: 2x2-y+2z2 = 0, M0(1,10,2).

  1. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3+y3-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = y -y2-x+6y
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3-y3-3xy в области

D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.


Вариант 23

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin (1-x2-y2) + arcsin 2xy.

  1. Вычислить приближенно arсtg (0,96/1,05).
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (xy)-3xy2.
  3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin 2t, y = tg 2 t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2-y2-z2+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = 3+ ln (x2+(y+1)2) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2-y2-2z2-2y = 0, M0(-1,-1,1);

б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(-1,1,2).

  1. В направлении какой линии y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
  2. Исследовать на экстремум функцию z = x2-xy+y2+9x-6y+20.
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4(x-y)-x2-y2 в области

D: 2y + x = 4, x-2y = 4.


Вариант 24

 

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (25-x2-y2); б) z = arctg ().

  1. Вычислить приближенно (0,99)5,05.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: +z3-3z = 3, в данной точке M0 (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-3z2+xy = -2z, M0(1,0,1);

б) S: y2-4y+z = 0, M0(1,-2,-12).

  1. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т. M0(-2, 2) функция z = изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x.
  2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-y2+2xy-4x в области

D: y = x+1, y = 0, x = 3.


Вариант 25

  1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = .

  1. Вычислить приближенно (e 1,15)1,1.
  2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
  3. Вычислить значение производной сложной функции u = arctg (x+y), где x = t2+2, y = 4-t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
  4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x2+2y2+3z2 = 59, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
  5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e – cos (4y+x) указанному уравнению .
  6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2-y2+z2-6x+2y+6 = 0, M0(1,-1,1);

б) S: z = y2-y-2, M0(0, , ).

  1. С какой наибольшей скоростью может убывать функция u = ln (x2+y2+z2) при переходе т. М(x,y,z) через т. M0(1,1,1).
  2. Исследовать на экстремум функцию .
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Электротехника, Электрические машины и аппараты | Схемное и конструктивное исполнение регуляторов напряжения
Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2015-09-20; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1530 | Нарушение авторских прав

Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Большинство людей упускают появившуюся возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © Томас Эдисон
==> читать все изречения...

2529 - | 2189 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.