Отсюда после дифференцирования получаем

Для определения скорости и ускорения точки С следует составить уравнения выдвижения в координатной форме, проецируя радиус-вектор на оси х и у.

 

V. Кинематический анализ движения твердого тела,

катящегося без скольжения по неподвижной поверхности

И имеющего неподвижную точку. Задание К.4.

Тело А катится без скольжения по поверхности неподвижного тела В, имея неподвижную точку О. Ось Oz тела А вращается вокруг неподвижной оси Oz и имеет при заданном положении тела А угловую скорость w₁ и угловое ускорение e₁.

Определить угловую скорость и угловое ускорение тела А, а также скорость и ускорение точки М в указанном положении тела А.

Схемы показаны, на рис. 19-21, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 9.

Таблица 9

№ варианта (рис. 19-21)	OM0, см	w1 рад/с	e1, рад/с2	M0M, см	№ варианта (рис. 19-21)	OM0, см	w1 рад/с	e1, рад/с2	M0M, см
		2,3	4,0				2,4	5,4
		3,0	3,0				3,5	-3,0
		1,2	-3,6	—			1,0	2,2
		2,0	4,2				2,7	4,4
		0,8	2,0				3,3	-4,6
		4,0	5,6				4,0	-5,0
		1,5	-2,5	—			1,6	2,8
		2,1	3,2				2,0	3,7
		3,2	-4,7				3,5	4,1
		1,3	1,8				1,6	-3,0
		0,9	2,6				2,2	3,3
		2,2	3,0	—			4,1	-5,5
		3,8	4,3				3,0	4,2
		1,4	-2,8				1,4	3,6
		0,7	2,2				2,9	-5,2

Примечание. Положительный и отрицательный знаки у e1 означают соответственно, что вращение оси Oz вокруг оси Oz происходит в направлении, показанном на схеме, ускоренно или замедленно.

Пример выполнения задания. Тела А и В представляют собой прямые круговые конусы (рис. 22).

Дано: a = 60°, (b = 90°, ОМ₀ = l = – 30 см, w₁= 1,2 рад/с, e₁ = 2,7 рад/с²,М₀М = 10 см.

Решение. 1. Определение угловой скорости тела. Конус А совершает сферическое движение. Мгновенная ось вращения ОW совпадает с общей образующей конусов (рис. 23).

Выберем направления координатных осей Ох и Оу так, чтобы ось Oz, а следовательно, и ОW находились в плоскости xOz.

Скорость v_c точки С является вращательной скоростью вокруг мгновенной оси.

Рис. 22	Рис. 23	Рис. 24

Следовательно,

,

(1)

где — угловая скорость тела А.

С другой стороны, — вращательная скорость вокруг оси Oz, поэтому

,

(2)

Из (1) и (2) следует

,	(3)
Рис. 19.
Рис. 20.
Рис.21

 

С учетом исходных данных находим ω = 2,32 рад/с.

Направление определяется направлением в соответствии с (1).

Угловую скорость тела А можно найти также путем сложения вращений вокруг пересекающихся осей — построением параллелограмма угловых скоростей (рис. 24):

Здесь – угловая скорость конуса А во вращении вокруг собственной оси Oz.

По теореме синусов,

,

что совпадает с выражением (3).

2. Определение углового ускорения тела. Угловое ускорение

(4)

Вектор угловой скорости запишем в виде

(5)

где ω – модуль вектора ; – орт его направления. Следовательно,

(6)

Заметим, что

а с учетом направлений и (рис. 25)

 

Теперь вместо (6) имеем

(7)

или

(8)

где

	(9)
	(10)

Эти же выражения составляющих непосредственно следуют из условия, что угловое ускорение геометрически равно скорости конца вектора . Её составляющие и - соответственно радиальная и трансверсальная (поперечная) скорости этой точки.

Вектор направлен по мгновенной оси вращения ОΩ. Его модуль

.

Согласно (3) и учитывая, что ,

,

или с учетом исходных данных

= 5,22 рад/с². Следовательно, = 5,22 рад/с².

Знак «+» при (при ) показывает, что направления и совпадают.

Вектор , как следует из (10), имеет направление орта . Его модуль

или 1,97 рад/с².

Так как и взаимно перпендикулярны, то

или 5,58 рад/с².

Векторы , и показаны на рис. 25.

3. Определение скорости точки тела. Скорость точки М определяем как вращательную вокруг мгновенной оси:

.

(11)

Векторы и расположены в плоскости xOz; следовательно, вектор параллелен оси Оу. Он имеет одинаковое направление с вектором ;

Модуль скорости

.

(12)

Как видно из рис. 23,

;

С учетом этих соотношений по формуле (12) находим

v_M = 40,2 см/с.

4. Определение ускорения точки тела. Ускорение точки М находим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений:

Осестремительное ускорение

.

Oно направлено по перпендикуляру к мгновенной оси вращения (рис. 25). Его модуль

.

Вращательное ускорение

или, учитывая (9),

, где

	(13)
	(14)

Сравнивая (13) с (11) и принимая во внимание, что направления и совпадают, заключаем, что и направления и тоже совпадают.

Модуль составляющей ускорения точки M.

Вектор расположен в плоскости xOz и перпендикулярен ОМ. Его модуль

.

В результате вычислений находим:

= 90,4 см/с²; = 52,2 см/с².

Ускорение точки М найдем как геометрическую сумму трех составляющих:

.

Векторы и расположены в плоскости xOz, а вектор ей перпендикулярен.

Поэтому модуль ускорения точки М (рис. 20)

.

Здесь

.

Окончательно после вычислений получаем:   ам =110,9 см/с2.
Рис. 25