IV. Кинематический анализ плоского механизма.

Задание К.3.

 

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, котором) эти точки принадлежат. Схемы механизмов помещены на рис. 12-14, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 7.

Таблица 7

Номер варианта (рис. 12-14)	Размеры, см	woa рад/с	wI рад/с	eOA рад/с2	va, см/с	аА, см/с2
ОА	r	АВ	АС
				—			—		—	—
				—			—		—	—
		—		—	—	—	—	—
			—	—			—		—	—
			_	—			—		—	—
				—					—	—
			—				—		—	—
		—	_			—	—	—
		—	—			—	—	—
			—				—		—	—
		—	_			—	—	—
		—	_			—	—	—
			—				—		—	—
				—					—	—
				—			—		—	—
				—	—		—		—	—
	—		—		—	—	—
		—				—		—	—
			—			2,5		—	—
	—	—			—	—	—
		—				—		—	—
		—				—		—	—
	—	—			—	—	—
		—				-		—	—
		—				—		—	—
			—			1,2		—	—
	—		—		—	—	—
		—				—		—	—
		—				—		—	—
		—	—			—		—	—

 

Примечание. w_А и e_OA — угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; w_I — угловая скорость колеса I (постоянная); v_A и а_A — скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения.

 

Рис. 12

 

Рис. 13

 

Рис. 14

Пример выполнения задания. Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 15); исходные данные (табл. 8).

Таблица 8

Размеры, см	woa, рад/с	eOA рад/с2
ОА	АВ	АС
			1,5

 

Р е ш е н и е. 1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рис. 16). Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА при заданном положении механизма:

v_a=w_oa ОА.

Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей Р_АВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям.

Угловая скорость звена АВ

w_АВ= v_A/AP_AB.

Модули скоростей точек В и С

V_В=w_АВ•ВР_АВ; v_С=w_АВ•CP_AВ

Расстояния АР_АВ, ВР_АВ и СР_АВ определяются из рассмотрения треугольников АВР_АВ и АСР_АВ:

АР_АВ=52,0 см; ВР_АВ=30,0 см; СР_АВ=36,1 см.

В соответствии с этим v_A=15,0 см/с; w_AB=0,29 рад/с; v_B=8,7 см/с; v_с = 10,5 см/с.

Вектор направлен перпендикулярно отрезку СР_АВ в сторону, соответствующую направлению вращения звена AB.

Рис. 15	Рис. 16

 

Для проверки определим скорость точки В другим способом. Воспользуемся теоремой о равенстве проекции скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.

Направим ось х вдоль шатуна АВ в направлении от В к А.

Имеем v_a cos ( , х) = v_b cos , x), или, как видно из рис. 16,

v_A cos 60° = v_B cos 30°.

Отсюда

v_B = 8,7 см.

Полезно убедиться, что и найденная ранее скорость точки С удовлетворяет этой теореме.

Рис. 17

 

2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рис. 12). Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

; ;

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры,

,

или

(1)

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А

По приведенным формулам вычисляем:

20,0 см/с²; 22,5 см/с²; 5,0 см/с².

Вектор направлен от А к О. Вектор перпендикулярен вектору и направлен противоположно v_A (вращение кривошипа ОА – замедленное).

Вектор направлен от В к A. Что касается ускорения точки В и вращательного ускорения , то известны только линии действия этих векторов: — по вертикали вдоль направляющих ползуна, — перпендикулярно АВ.

Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям (рис. 17, а). Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства (1) на оси координат. Знак в ответе показывает, соответствует ли истинное направление вектора принятому при расчете.

Выбрав направление осей х и у, как показано на рис. 17, а, получаем:

(2)

(3)

Из уравнения (2) находим

a_В = 16,7 см/с².

Ускорение а_в направлено, как показано на рис. 17, а. Из уравнения (3) получаем

20,2 см/с².

Направление противоположно показанному на рис. 17, а.

Ускорение и все его составляющие с учетом их истинных направлений и масштаба показаны на рис. 17, б.

Угловое ускорение шатуна АВ с учетом того, что здесь — алгебраическая величина, определяется по формуле

.

Вычисляя, находим

0,34 рад/с².

Направление ускорения относительно полюса А определяет направление углового ускорения . Здесь под направлением углового ускорения понимается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения, а при замедленном — противоположно ему. В данном случае угловое ускорение противоположно направлению вращения шатуна.

Определить и можно и графически – построением многоугольника ускорений.

Отложим из точки В согласно (1) в выбранном масштабе последовательно векторы , и (рис. 17, в). Через конец вектора проведем прямую, параллельную вращательному ускорению , т. е. перпендикулярно АВ, до пересечения ее с прямой, по которой направлено ускорение .

Последнее определяется как замыкающая сторона многоугольника ускорений.

Модули а_В и а^В_АВ могут быть найдены измерением на чертеже.

Определяем ускорение точки С:

Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А

,

или

6,8 см/с², 1,7 см/с²

Вектор перпендикулярен вектору и направлен соответственно угловому ускорению .

Ускорение точки С находим способом проекций (рис. 17, а):

В результате вычислений получаем: а_Сх=11,2 см/с²; a_Cv = 21,8 см/с²; а_с = 24,5 см/с² (рис. 17, г).

Приведем решение этой же задачи другим, более общим методом.

На рис. 18 показана схема механизма в некотором произвольном положении.

Проведем оси координат. Уравнениями связи для данного механизма являются условия

(4)

( радиус-вектор точки B, проведенный из центра O),

х_в = а = const. (5)

 

Проецируя (4) на ось х, с учетом (5) имеем (6) Для определения угловой скорости звена АВ и углового ускорения нет необходимости выражать из (6). Проще непосредственно дважды продифференцировать (6). Имея в виду, что , получаем в результате первого дифференцирования . (7) Отсюда . (8) Дифференцируя (7) и учитывая, что , имеем
Рис. 18

(9)

Выражения (8) и (9) позволяют вычислять и для любого положения механизма, в частности для заданного (a=0°, b=30°).

Заметим, что и входят в эти выражения со знаком «+» или «–» в соответствии с принятым направлением отсчета угла а. В данном случае =1,5 рад/с, = -2,0 рад/с². Смысл знаков и определяется направлением отсчета угла b.

Модуль скорости точки В . Модуль ускорения . Проецируя (4) на ось у, получаем

у_в=ОA cos a + АВ cos b.