Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении

 

При вычислении ускорений точек фигуры при плоском движении необходимо знать угловое ускорение. Рассмотрим некоторые приемы его определения.

1.Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение ε определяем путем дифференцирования их по времени, т.е.

 

2. Обычно требуется определить угловое ускорение в какой-либо момент времени по другим величинам, известным этот же момент времени. В этом случае угловое ускорение тоже можно получить путем дифференцирования угловой скорости по времени, считая ее для вывода формулы известной функцией времени. Угловую скорость можно найти по формуле (7)

ω= v_A/AP где А-точка плоской фигуры; Р мгновенный центр скоростей.Дифференцируем ω по времени, получаем

 

Так, например, при качении колеса без скольжения по неподвижной прямой линии (см. рис. 55), если за точку А взять центр колеса О, то, учитывая, что он движется прямолинейно, получим: ε= a_o/R, так как в этом случае

OP=R = const и а^τ_о = а_о,

где R — радиус колеса.

При качении без скольжения одного колеса по неподвиж­ному другому колесу сначала установим зависимость между угловой скоростью ω₁ подвижного колеса и угловой скоростью ю кривошипа ОА (рис. 61). Учитывая, что мгновенный центр скоростей подвижного колеса лежит в точке соприкосновения колес,

получаем

 

 

 

где R — радиус неподвижного колеса; r —радиус подвижного колеса. Дифференцируя по времени (21), имеем

 

Из сравнения (21) и (22) видно, что связь между угловыми скоростями и уг­ловыми ускорениями колес полностью аналогична. Это справедливо и для углов поворота колес, если нулевые их значения выбрать в один и тот же момент времени.

При внешнем зацеплении дуго­вые стрелки угловой скорости и уг­лового ускорения подвижного ко­леса совпадают с дуговыми стрел­ками соответственно угловой ско­рости и углового ускорения кри­вошипа ОА. При внутреннем зацеплении колес дуговые стрелки ε и ω колеса и кривошипа имеют противоположные направления.

3. Иногда угловое ускорение е можно найти путем про­ецирования на оси координат известного по направлению ускорения, например точки В, если ускорение какой-либо яругой точки А и угловая скорость фигуры ω известны или их можно вычислить предварительно.

Так, если ускорение точки В

а_в = а_А + а^-τ_ВА + а^п_ВА, (23)

то, проецируя обе части (23) на ось Ох, перпендикулярную ускорению а_в, получаем соотношение, из которого можно определить угловое ускорение, если другие величины, входящие в это соотношение, известны.

 

Задание для выполнения по разделу кинематика

 

II. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям

ее движения. Задание К.1.

 

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 1.

 

Таблица 1

Номер варианта	Уравнения движения	t1, c
x=x(t), см	y=y(t), ñì
	-2t2+3	-5t	1,5
	4соs2(pt/2)+2	4sin2(pt/2)
	-cos(pt2/3)+3	sin(pt2/3)-l
	4t+4	-4/(t+1)
	2sin (pt/2)	-3соз(pt/2)+4
	3/t2+2	-4/t	1,5
	3t2-t+1	5t2-5t/2-2
	7sin(pt2/4)+3	2-7cos(pt2/4)
	-3/(t+2)	3t+6
	-4cos(pt/2)	-2sin(pt/2)-3
	-4/t2+1	-3/t	1,5
	5sin2(pt/4)	5cos2(pt/4)-3
	5cos(pt2/3)	-5sin(pt2/3)
	-2t-2	-2/(t+l)
	4соs(pt/2)	-3sin(pt/2)
	3t	4t2+1	1,5
	7sin2(pt/4)-5	-7cos2(pt/4)
	1+3cos(pt2/3)	3+3cos(pt2/3)
	4t2-4	3t
	2-3t-6t2	3-3t/2-3t2
	6sin (t2/4)-2	6cos(pt2/4)+3
	7t2-3	5t	0,75
	4-3t2	4-5t2-5t/2
	-4cos(pt/2)-1	-4sin(pt/2)
	-6t	-2t2-4
	8cos2(pt/4)+2	8sin2(pt/4)-7
	-3-9sin(pt2/4)	-9cos(pt2/4)+5
	-4t2+1	-3t
	5t2+ 5t/2-3	3t2+t+3
	2cos(pt2/3)-2	2sin(pt2/3)+3

 

Пример выполнения задания. Исходные данные:

 

x = 4t; у=16t2-1; t1 = 0,5 (х и у — в см, t и t1 — в с).

(1)

 

Решение. Уравнения движения (1) можно рассматривать как пара­метрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1). Получаем у = х2 - 1, т. е. траекторией точки является парабола, показанная на рис. 6.   Вектор скорости точки
Рис. 6
	(2)

Вектор ускорения

Здесь — орты осей x и у; — проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

		(3)

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

(4)

и модуль ускорения точки:

(5)

Модуль касательного ускорения точки

(6)

или

	(6`)
	6``

выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак “+” при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают; знак “-” — что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

(7)

Если радиус кривизны траектории r в рассматриваемой точке неизвестен, то можно определить по формуле

 

(8)

При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид

(8`)

 

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

(9)

 

После того как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения

(10)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8) и (10) для заданного момента времени t₁ =0,5 с приведены в табл. 2.

Таблица 2

Координаты, см	Скорость, см/с	Ускорение, см/с2	Радиус кривизны, см
x	y	vx	vy	v	ax	ay	a	at	an	r
2,0	3,0	4,0		16,5		32,0	32,0	31,0	7,8	35,0

На рис. 6 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор v строим по составляющим v_x и v_y причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор а строим по составляющим a_x и a_y и затем раскладываем на составляющие a_n и a_t. Совпадение величин a_n и a_t найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 1) добавляется третье уравнение (табл. 3).

Общий порядок выполнения задания в этом случае такой же, как и в приведенном выше примере.

Таблица 3

№ варианта	z=z(t), см	№ варианта	z=z(t), см	№ варианта	z=z(t), см	№ варианта	z=z(t), см	№ варианта	z=z(t), см	№ варианта	z=z(t), см
	3t		3t		2t		1,5t		4t		6t
	2t		2,5t		3t		5t		t		3,5t
	1,5t		5t		1,5t		3,5t		1,5t		4t
	4t+4		4t+8		2t+2		6t		6t		5t
	t		T		3t		2t		2t		1,5t

 

III. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. Задание К.2.

 

Движение груза 1 должно описываться уравнением

х = c2t2 + c1t + с0,

(1)

где t — время, с; с_0-2 — некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t=0) координата груза должна быть х₀, а его скорость — v₀.

Кроме того, необходимо, чтобы координата груза в момент времени t = t₂ была равна х₂.

Определить коэффициенты с₀, с₁ и c₂ при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t₁ скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схемы механизмов показаны на рис. 8-10, а необходимые данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

Номер варианта (рис.2-4)	Радиусы, см	Координаты и скорости груза 1	Расчетные моменты времени, с
R2	r2	R3	r3	x0, см	v0, см/с	x2, см	t2	t1
				—
		—
				—
				—
		—
				—
				—
				—
				—
		—
				—
				—
				—
				—
				—
				—
				—
				_
				—
				—
				—
				—
				—

 

Рис.8

 

Рис.9

 

Рис. 10

Пример выполнения задания. Дано: схема механизма (рис.7); R₂=50 см, r₂=25 см, R₃=65 см, r₃=40 см, x₀=14 см, v₀=5 см/с, x₂=168 см, t₁=1 с, t₂=2 с.

Найти уравнение движения груза, а также скорости и ускорения груза и точки М в момент времени t=t1. Решение. Уравнение движения груза 1 имеет вид x=c2t2+c1t+c0 (1) Коэффициенты с0, с1 и с2 могут быть определены из следующих условий:
Рис. 7
при t = 0	х0 = 14 см	= 5 см/с	(2)
при t2 = 2с	х2 = 168 см		(3)

Скорость груза 1

v = = 2c₂t + c₁. (4)

Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты

с₀ = 14 см, с₁= 5 см/с, с₂ = 36 см/с².

Таким образом, уравнение движения груза 1

х = 36t² + 5t + 14. (5)

Скорость груза 1

v = = 72t + 5. (6)

Ускорение груза 1

а = = 72 см/с².

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес w₂ и w₂ .В соответствии со схемой механизма

v=r2w2, R2w2=R3w3

(7)

откуда

w₃=vR₂/r₂R₃,

или с учетом (6) после подстановки данных

w₃=2,215t+0,154.

Угловое ускорение колеса 3

e₃= =2,215 рад/с².

Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам

v_m= R₃w₃;

;

	Результаты вычислений для заданного момента времени t1=1с приведены в табл. 5. Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис.11.
Рис. 11

Таблица 6

v, см/с	а, см/с2	w3, рад/с	e3, рад/с2	vM, см/с	, см/с2	, см/с2	, см/с2
		2,37	2,22	94,8		88,6