Естественный способ изучения движения

Естественный способ задания движения

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 7). Расстояния в одну сторону от точки О по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую — отрицательными. Кроме того, следует задать начало отсчета времени. Обычно за t = 0 принимают момент времени, в который движущаяся точка проходит через точку О, или момент начала движения. Время до этого события считается отрицательным, а после него — положительным.

Если в момент времени t движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния s, отсчитываемого от точки О до точки М, т.е. s =f(t). Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть движение точки задано естественным способом, т. е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t). Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор rдвижущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке О₁(рис. 8 ). При движении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от расстояния. Используя определение скорости, имеем:

или v = sτ, где τ = dr/ds

Единичный вектор τ всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) расстояний независимо от направления движения точки.

Рисунок 8

Величина v τ =s называется алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное направление касательной к траектории. Естественное задание движения точки полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени закона изменения расстояний.

Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость.

В точке М кривой линии проведем касательную Мτ (рис. 9). В точке кривой М₁ отстоящей от точки М на расстоянии ∆ s, построим касательную M₁_τ1. В общем случае пространственной кривой касательные Мτ и M₁_τ1 будут скрещиваться. Проведем в точке М прямую линию M_τ₁, параллельную M₁_τ1. Угол ∆φ между линиями Мτ и M_τ₁^” называется углом_ смежностиКривизной кривой к в точке М называют Радиусом кривизны кривой р в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е. р=1/k=ds/dφ

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом R (рис. 10). Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол φ, выражается зависимостью s = R φ. Для радиуса кривизны имеем р=ds/dφ =R

т. е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.

Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые Мτ и М^/τ (см. рис9), Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки М₁ с точкой М называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.

В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая. Естественный трехгранник. Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 11). Первой естественной осью является касательная Мτ. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной τ, направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной Мτ располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Мп. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор п. Он определяет положительное направление второй естественной оси.

Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор b, направленный по бинормали так, чтобы три вектора τ, п и b образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси Мτ, Мп и Mb, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов τ, п, b, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем v=sτ= v_ττ (14)

в соответствии с определением ускорения, получаем: (15)

так как s² = v² и dτ/dt направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали п.

Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали п, так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускорение. Таким образом, ускорение точки a=a_τ+a_n (16)

Из (15) получим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения на положительное направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора τ, называется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору n,— нормальным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль, направленную по единичному вектору b, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

Полное ускорение (Рис. 12) равно:

нормальная составляющая ускорения a_п внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая, а_τ при s’’>0 направлена в положительную сторону касательной,

При s’>0 и s’’>0 векторы скорости и касательной составляющей ускорения направлены в одну сторону — по τ. Движение точки является ускоренным в положительном направлении касательной к траектории. При s’>0 и s’’>0 движение точки является ускоренным, но в отрицательном направлении. Если s’>0 и s’’<0 вектор касательной составляющей ускорения противоположен скорости по направлению, движение точки является замедленным.Случаи обращения в нуль касательного ускорения получаю из условия a_τ=dv_τ/dt=0

Это условие выполняется все время, пока v = \v_τ\ = const, т.е. при равномерном движении точки по траектории любо формы. Касательное ускорение обращается в нуль также в тe моменты времени, в которые алгебраическая скорость v_τ достигает экстремума. Случаи обращения в нуль нормального ускорения следуют из условия a_n= v²/p=0

Это условие выполняется при р=∞, т.е. при прямолинейном движении точки. Нормальное ускорение обращается так же в нуль в моменты времени, в которые v=0 т.е. в моменты изменения направления движения точки по траектории. Случаи обращения в нуль касательного и нормального ускорений, а так же общие формулы для них показывают, что касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а нормальное по направлению.