Краткие сведения о теории погрешностей

При измерении любой физической величины невозможно определить истинное значение этой величины.

Это связано:

- с несовершенством измерительной аппаратуры

- с не совершенством органов чувств экспериментатора

- с изменчивостью внешних условий (температура, вибрация, движение потоков воздуха)

Разность между измеренным и истинным значениями физической величины называется погрешностью (ошибкой) измерения.

В зависимости от причины возникновения погрешностей их можно разбить на следующие виды:

1) Методические погрешности

Вызываются недостатками применяемого метода измерения, несовершенством теории физического явления, неточностью расчетной формулы. Например, при взвешивании тела на весах не учитываются не одинаковые выталкивающие силы, действующие на тела и на гири.

Методические погрешности могут быть уменьшены при изменении и усовершенствовании метода измерения, при введении уточнений или поправок в расчетные формулы.

2) Приборные погрешности

Вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Уменьшение приборной погрешности достигается применением более точных (и более дорогих) приборов.

3) Случайные погрешности

Вызываются факторами, не поддающимися учету, например, изменением внешних условий. Уменьшение случайной погрешности достигается за счет многократного повторения измерений. При этом влияние факторов, приводящих к завышению или занижению результатов измерений, может частично скомпенсироваться.

При расчетах рассматриваются:

1) Абсолютная погрешность – это модуль разности между истинным и измеренным значением

.

Зная абсолютную погрешность можно определить интервал, в котором лежит истинное значение измеряемой величины

.

Интервал от до называется доверительным интервалом.

 

 

Вероятность, с которой истинное значение попадает в доверительный интервал, называется доверительной вероятностью, или надежностью данных.

2) Относительная погрешность ε_А:

.

Относительная погрешность определяет точность проведенных измерений и выражается в процентах.

 

Приборная погрешность.

На шкалах многих электроизмерительных приборов указывается класс точности (0,5; 1; 1,5; 2). Класс точности определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наибольшего значения, которое может быть измерено прибором.

Например, амперметр со шкалой 300 мА и классом точности 1,5 дает абсолютную приборную погрешность ΔI = 4,5 мА в любом месте шкалы.

Абсолютная приборная погрешность:

Если класс точности на приборе не указан, то абсолютную погрешность берут равной половине цены наименьшего деления.

Например, для миллиметровой линейки Δ А = ± 0,5 мм, для микрометра (цена деления 0,01мм) Δ А = ± 0,005 мм.

При определении общей (результирующей) абсолютной погрешности учитывают и случайную, и приборную погрешности:

.

 

Физические измерения бывают 2-х видов:

Прямые – измерение физической величины производится непосредственно прибором.

 

Косвенные – физическая величина рассчитывается по формуле.

 

Обработка результатов прямых измерений

 

1) Производят измерения физической величины n раз (серию измерений):

А ₁, А ₂,… А _n (n = 3-5) затем находят среднее значение измеряемой величины

2) Находят абсолютную случайную погрешность каждого измерения:

, , .

Окончательное значение случайной погрешности принимают равным максимальному ее значению в серии измерений.

Принимая во внимание то, каким прибором проводилось измерение, находят приборную погрешность Δ А _приб.

Окончательное (результирующее) значение абсолютной погрешности:

 

.

 

Если Δ А _случ >> Δ А _приб, то Δ А = Δ А _случ, и в дальнейших расчетах учитывается только случайная погрешность.

Если Δ А _случ << Δ А _приб, то Δ А = Δ А _приб, и в дальнейших расчетах учитывается только приборная погрешность.

 

Окончательный результат записывается в виде:

 

А = (А _изм ± Δ А) (размерность измеряемой величины).

Обработка результатов косвенных измерений

 

Пусть физическая величина А связана с несколькими величинами x ₁, x ₂… x_n некоторой функциональной зависимостью A = f (x ₁, x ₂… x_n), например, R = U / I, R = ρℓ / S и т.д.

Среди величин x ₁, x ₂… x_n могут содержаться прямо измеряемые величины, а также заранее известные табличные величины, данные установки. Пусть в результате обработки всех величин, найдены их средние значения x _1ср, x _2ср… x_{n ср} и абсолютные погрешности Δ x ₁, Δ x ₂… Δ x_n. Тогда результат для косвенно измеряемой величины получают по следующей схеме:

1) среднее значение рассчитывают по формуле:

A = f (x _1ср, x _2ср… x_{n ср});

2) по виду функциональной зависимости находят относительную погрешность с помощью логарифмического дифференциала:

После нахождения значения ε_А находят абсолютную погрешность Δ А:

Δ А = А _ср·ε_А.

Окончательный результат записывают в виде:

А = (А _ср ± Δ А) (размерность).

Примеры нахождения ε для наиболее простых функций:

Функция	Относительная погрешность

Следует обратить внимание на то, что погрешности всегда складываются.

 

В расчетных формулах часто встречаются величины, взятые из таблицы (π, е т.п.).

В значении универсальной постоянной, например, числа π, надо взять столько значащих цифр, чтобы относительная погрешность этой постоянной (ε_π) была на порядок (в 10 раз) меньше, чем суммарная относительная погрешность измеренных величин, тогда ε_π не будет заметно увеличивать результирующую погрешность.

Например, π ≈ 3,14159. Пусть ε = 1%, тогда если взять π = 3,1, то погрешность округления Δπ = 3,1415–3,1 = 0,04 и

ε_π = Δπ/π = 0,04/3,1 = 0,013 = 1,3%.

В этом случае ε_π ~ ε и к результирующей погрешности добавляется 1,3% «из ничего»!

Если же взять π = 3,14, то Δπ = 3,1415–3.14 = 0,002. Тогда относительная погрешность округления числа π составляет ε_π = Δπ/π = 0,002/3,14 = 0,1%, т.е. на порядок меньше погрешности измерения, и почти не влияет на общую погрешность.

Такие же рассуждения следует применять для величин, значения которых берутся в справочных таблицах, а также для иррациональных чисел, входящих в формулы.

Если в значении величин, заданных на установках не указаны абсолютные погрешности, то считается, что они измерены с точностью равной половине единицы последнего указанного разряда:

m = 8 г → Δ m = 0,5 г;

m = 8,3 г →Δ m = 0,05 г.

 

Окончательная запись результатов измерений:

1) Округление результатов рекомендуется начать с округления абсолютной погрешности: в погрешности оставляют одну значащую цифру; если же старшая значащая цифра погрешности 1 или 2, то рекомендуется округлять погрешность до двух цифр.

 

2) Окончательный результат измерений А_ср округляют или уточняют «до погрешности»: последняя значащая цифра в результате находится в том же разряде, что и в погрешности.

3) Окончательно имеем: А = (А _изм ± Δ А) ед.