В лабораторной работе студент должен выполнить в соответствии с выданным преподавателем вариантом два задания.
1. Найти численное решение дифференциального уравнения в MathCAD на интервале 
. Построить график решения.
2. Численно решить систему дифференциальных уравнений в MathCAD на интервале 
. Построить графики решения.
Таблица 2
| № варианта | Задание 1 | Задание 2 |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Лабораторная работа №3 «Обработка данных в MathCAD»
Цель работы.
1. Изучить способы проведения интерполяции табличных данных в MathCAD.
2. Ознакомиться с функциями построения уравнений регрессии в MathCAD.
Задание.
1 Изучить методические указания по выполнению лабораторной работы.
2 Выполнить интерполяцию табличных данных и получить модель заданного вида с помощью регрессионного анализа в соответствии с вариантом задания (табл. 3).
Методические указания
Интерполяция
При проведении анализа различных физических явлений, технологических процессов результаты эксперимента обычно представляются в виде табличной зависимости функции y (x):
При этом число заданных точек этой зависимости ограничено.
Поэтому неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функции в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимацией или интерполяцией исходной зависимости, т.е. ее подменой какой-либо достаточно простой функцией [2]. В MathCAD имеются встроенные функции, обеспечивающие кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию исходной табличной зависимости.
При кусочно-линейной интерполяции соседние узловые точки соединяются отрезками прямых, и дополнительные точки определяются по уравнениям этих прямых. Для проведения такого вида интерполяции используется функция linterp(VX, VY, x),
где VX и VY – векторы, задающие узловые точки исходной табличной зависимости,
x – аргумент результирующей интерполяционной функции.
Например, на рис. 6 исходная табличная зависимость y (x) задается векторами VX и VY (по 5 точек). Затем определяется, так называемая, интерполяционная функция f_i (x), которая позволяет для любого значения аргумента x определить искомую величину функции y. График этой функции представлен на рис. 6 (пунктир) вместе с узловыми точками (крестики). Из рис. 6 видно, что в узловых точках VXi значения функции f_i (x) совпадают с табличными VY.
Рис. 6 Проведение кусочно-линейной интерполяции в MathCAD
Как видно из рис. 6, результаты кусочно-линейной интерполяции при достаточно малом числе узловых точек получаются довольно грубыми. Поэтому в целях повышения точности целесообразнее использовать сплайновую интерполяцию, при которой исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были их первые и вторые производные.
Для выполнения сплайновой интерполяции в MathCAD имеются четыре встроенные функции. Три из них обеспечивают получение вектора вторых производных сплайн-функций при различных способах сплайновой интерполяции:
• cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;
• pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;
• lspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.
Четвертая функция interp (VS, VX, VY, x) определяет для найденного ранее вектора вторых производных VS и заданной при помощи векторов VX и VY исходной табличной зависимости y (x) интерполяционную сплайновую функцию.
Таким образом, сплайновая интерполяция в MathCAD производится в два этапа. На первом этапе определяется вектор вторых производных VS при помощи одной из трех функций (cspline, pspline или lspline), а на втором – определяется интерполяционная зависимость посредством функции interp. Пример дан на рис. 7.
Рис. 7 Проведение сплайновой интерполяции в MathCAD
Как видно из сравнения графиков, представленных на рис. 6 и 7, сплайновая интерполяция дает более гладкий и точный график интерполяционной функции.
Регрессионный анализ
Широко распространенной задачей обработки данных является представление результатов эксперимента некоторой функцией y (x). Задача регрессионного анализа заключается в получении параметров этой функции, описывающей (аппроксимирующей) экспериментальные данные, заданные векторами VX и VY, с наименьшей среднеквадратической погрешностью (метод наименьших квадратов).
Довольно часто используется линейная регрессия, при которой аппроксимирующая функция y (x) имеет вид y (x)= a + bx, для определения коэффициентов которой в MathCAD служат следующие встроенные функции:
• intercept(VX, VY) – возвращает значение параметра a (величины отрезка, отсекаемого линией регрессии на оси OY);
• slope (VX, VY) – возвращает значение параметра b (тангенса угла наклона линии регрессии).
Пример дан на рис. 8.
Рис. 8 Линейная регрессия
В приведенном примере (рис. 8) рассчитан коэффициент корреляции (связи) двух множеств VX и VY с помощью функции corr. Чем ближе этот коэффициент к единице по модулю, тем точнее исходные табличные данные, определенные векторами VX и VY, описываются линейной зависимостью y (x)= a + bx.
Проведение полиномиальной регрессии, т.е. аппроксимации табличной зависимости полиномом n -й степени, выполняется посредством встроенной функции regress(VX, VY, n). Данная функция возвращает вектор, назовем его k, элементы которого, начиная с четвертого, представляют собой коэффициенты аппроксимирующего полинома Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn т.е.
Пример выполнения полиномиальной регрессии представлен на рис. 9.
Рис. 9 Полиномиальная регрессия
Замечание. Для нахождения корней полинома произвольной степени в MathCAD используется функция polyroots.
Кроме того, в MathCAD имеется ряд других функций для проведения регрессионного анализа [2], например, linfit, loess, genfit.