Закон Ламберта. Коэффициент яркости.

Многие предметы из числа тех, с которыми нам постоянно приходится иметь дело (например, бумага, побеленная стенка или потолок, кусок мела, деревянная доска, песок, камень) рассеивают падающий на них свет таким образом, что их яркости в разных направлениях оказыва­ются близкими друг к другу. Бо­лее двухсот сорока лет тому назад (1760 г.) немецкий ученый Лам­берт сформулировал закон, согласно которому яркости светорассеивающей поверхности во всех направле­ниях одинаковы. Благодаря своей простоте и удобству математиче­ского использования этот закон очень быстро вошел во всеобщее употребление. Во многих случаях им пользуются и сейчас, хотя еще во времена Ламберта было известно, что этот закон верен только приближенно. В настоящее время установлено, что среди окружающих нас предметов нет ни одного, который строго подчинялся бы закону Ламберта, поскольку случаи диффузного отражения или пропускания света весьма разнообразны. Рассмотрим предельный и идеальный случай при котором соблюдается этот закон.

 

Рис.4 – К выводу закона Ламберта

Пусть S (рис. 4) обозначает площадь малой площадки, с яркостью L одинаковой во всех направлениях, независимо от угла падения светового потока, направление которого определяется вектором силы света I, т.е.

L=L_n=L_a.

Поскольку L_n=I_n/S,a L_a=I_a/Scosa,то из этих выражений:

I_n/S=I_a/Scosa, а значит, I_a= I_ncosa.

Из последнего выражения видно, что изменение силы света, испуска­емой или отражаемой от диффузной поверхности по различным направлениям, происходит по закону косинуса. Это значит, что си­ла света, испускаемая диффузной (равнояркой) поверхностью, с увеличением угла излучения (отражения) уменьшается пропорцио­нально косинусу этого угла. Под углом a понимают угол между нормалью к данной поверхности и направлением определяемой си­лы света.

Световой поток, излучаемый диффузной поверхностью, может быть определен по силе света, излучаемой этой поверхностью в перпендикулярном направлении.

Предположим, что середина диффузной поверхности совпадает с центром сферы, имеющей радиус r (рис. 4). В этом случае весь световой поток, излучаемый диффузной поверхностью, попадает на внутреннюю поверхность полусферы радиусом г. Если на внутренней поверхности полусферы выделить площадку DS, кото­рая наблюдается из центра сферы под телесным углом w и на ко­торую от диффузной поверхности направлена сила света I_a, то све­товой поток, падающий от диффузной поверхности на площадку DS, будет равен DF= I_aw, но, поскольку I_a= I_ncosa, а w= DS / r², то DF= I_nDScosa / r². Чтобы получить световой поток, излучаемый диффузной по­верхностью во всю верхнюю полусферу, нужно просуммировать световые потоки, которые падают на отдельные площадки всей внутренней поверхности сферы с радиусом r, т. е. общий световой поток диффузной поверхности в верхнюю полусферу будет равен:

F=SDF= I_nSDS cosa / r²

Произведение DScosa, равное DS₁, представляет собой проек­цию площадки DS сферы на плоскость большого круга этой сферы, а сумма проекций всех площадок полусферы SDScosa пред­ставляет собой не что иное, как площадь круга радиусом r.

Следовательно, общий световой поток диффузной поверхности равен

F= I_npr² / r² = pI_n.

Зная соотношение между световым потоком F, излучаемым диф­фузной поверхностью, и силой света этой поверхности в перпенди­кулярном направлении, нетрудно найти соотношение между свети­мостью M, освещенностью E и яркостью L диффузной поверхности.

Известно, что светимость диффузной поверхности есть отношение излучаемого ею светового потока F к величине этой поверхности S:

M=F/S.

Подставляя в это выражение значение F для светового потока диффузной поверхности, получаем

M=pI_n /S,

а так как отношение

I_n /S=L, то

M=pL или L= M/p.

Если светимость выразим через освещенность M=rE, то получим соотношение между яркостью и освещенностью диф­фузной поверхности:

L=rE/p.

Таковы соотношения для поверхности, удовлетворяющей за­кону Ламберта. Из последнего выражения видно, что яркости L =1 кд/м² соответствует светимость M =3,14 лм/м², т. е. что для идеально рассеивающей поверхности число единиц свети­мости в p раз больше числа единиц яркости.

Ранее в светотехнической практике пользовалась такими единицами яркости, как апостильб (1 асб=0,3183 кд/м²) и ламберт (1 лб=3,183×10³ кд/м²).

Как уже отмечалось, ни одно из существующих тел не рас­сеивает свет в строгом соответствии с законом Ламберта. Ни одно из них не отражает также всего падающего на него све­тового потока. Между тем в светотехнике, фотометрии и смеж­ных дисциплинах широко пользуются представлением об иде­альном рассеивателе, считая, что это поверхность такого вооб­ражаемого тела, которое удовлетворяет обоим требованиям, т.е. отражает 100 % (r =1) падающего на него потока и рассеивает его так, что его яркость во всех направлениях оказывается оди­наковой. При этом считается, что идеальный рассеиватель об­ладает этими свойствами независимо от угла, под которым на него падает световой поток.

Если на поверхности идеального рассеивателя создана ос­вещенность Е (в люксах), то его светимость (в люменах на квадратный метр) cоставит М=Е, а яркость (в канделах на квадрат­ный метр) L=E/p.

Значение такого идеального рассеивателя состоит в том, что с его предельными свойствами удобно сравнивать свойства всех ре­альных материалов. В частности, коэффициент отражения тоже можно рассматривать как отношение светового потока, отра­женного от данной поверхности, к световому потоку, отражен­ному от поверхности идеального рассеивателя, находящегося в тех же условиях освещения.

Поверхность каждого диффузно рассеивающего тела имеет более или менее значительные отступления от свойств идеального рассеивателя, т. е. ее яркости в разных направ­лениях оказываются различными. Для того чтобы численно охарактеризовать изменения яркости поверхности в разных на­правлениях, пользуются представлением о коэффициенте яркости. Под коэффициентом яркости светорассеивающей поверх­ности понимается отношение яркости этой поверхности в неко­тором направлении L_a к яркости идеального рассеивателя L_i, нахо­дящегося в тех же условиях освещения. Коэффициент яркости принято обозначать буквой b:

b=L_a /L_i.

Для диффузно отражающей поверхности коэффициент яркости равен коэффициенту отражения, поскольку L_a=rE/p, а L_i=E/p, то b=(rE/p)/ (E/p), т.е. b=r.

Понятно, что коэффициент отражения не может быть больше единицы в силу закона сохранения энергии. Но это нельзя ут­верждать относительно коэффициента яркости, который в пре­делах ограниченного телесного угла может быть сколь угодно велик без нарушения каких-либо закономерностей. Вместе с тем увеличение светового потока, отраженного в каком-то направлении, связанное с увеличением коэффициента яркости, должно компенсироваться его уменьшением в других направ­лениях.

Систематизируя распределение в пространстве отраженного или пропущенного све­тового потока, можно классифицировать процессы отражения и пропускания.